2024年全國普通高中九省聯考模擬數學試題（二）（解析版）

2024年高考模擬數試題(二)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

I.從小到大排列的數據1，2,3,國4,5,6,7,8,乂9,1°的第三四分位數為()

【答案】D

【解析】

【分析】由百分位數的估計方法直接求解即可.

【詳解】?.T2x75%=9,該組數據的第三四分位數為

2

故選：D.

22

2.若橢圓C：土+匕=1(加＞0)上一點到C的兩個焦點的距離之和為2加，貝|加=()

m9

A1B.3C.6D.1或3

【答案】B

【解析】

【分析】討論焦點的位置利用橢圓定義可得答案.

【詳解】若/"〉9,貝U由=2加得加=1(舍去)；

若0＜加＜9,則由2加=6得陰=3.

故選：B.

3.設等差數列｛4｝的前〃項和為5“，若%+為=—1°，5=-42,貝!1品=()

A.12B.10C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】設等差數列｛4｝的公差為d,根據已知條件可得出關于外、d的方程組，解出這兩個量的值，在

利用等差數列的求和公式可求得So的值.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,則的+生=(%+24)+(q+44)=2q+61=-10,①

6x5

S6=6al+2d=6ax+15d=-42,②

聯立①②可得q=-17,d=4,

10x9

因止匕，Sl0=10^+^—c/=10^+456?=10x（-17）+45x4=10.

故選：B.

4.同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其

他人根據個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）

A.32種B.128種C.64種D.256種

【答案】C

【解析】

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類，利用分類計數原理求解.

【詳解】若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25種去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25種去法.

故一共有25+25=64種去法.

故選：C.

5.在某次數學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板45C折起,

使得二面角Z-8C-Z）為直二面角，得圖2所示四面體48CD.小明對四面體48CD中的直線、平面的

位置關系作出了如下的判斷：①平面45C；②481平面/CD；③平面48。，平面/CD；④平

面4a0,平面BCD.其中判斷正確的個數是（）

A

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于①中，因為二面角Z-5C-￡>為直二面角，可得平面45C工平面BCD,

又因為平面/BCc平面BCD=5C,DCLBC,且。C<z平面BCD,

所以。C，平面45C,所以①正確；

對于②中，由。平面45。，且48u平面48C,可得48,CD,

又因為且ZCnCD=C,NC,CDu平面/C。，

所以48/平面/CD,所以②正確；

對于③中，由481平面ZCD,且48u平面NAD,所以平面48。，平面/CD,所以③正確;

對于④，中，因為。CJ_平面/BC,且。Cu平面BCD,可得平面NBC1平面BCD,

若平面48。，平面5cD,且平面NRDc平面48C=48,可得451平面5cD，

又因為BCu平面BCD,所以4815C,

因為48與BC不垂直，所以矛盾，所以平面/AD和平面8c。不垂直，所以D錯誤.

故選：C.

A

B

D

6.已知點尸在圓（x-lf+r=1上，點A的坐標為（-1,、回）,。為原點，則N0.NA的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

【答案】D

【解析】

【分析】設尸（X/），利用平面向量數量積的坐標運算結合直線與圓的位置關系可得結果.

【詳解】設尸（xj）,因點A的坐標為（―1,8），所以而=（1,—W）,萬=1+1/—6）,

則=x+1-一V3j=x-y/3y+4,

設/=x—+4,即>=^^x+[（4-7），

依題意，求才的范圍即求直線y=[x+'（4-/）與圓（x-l>+/=l有公共點時在y軸上截距的范圍，

即圓心（1,0）到y(tǒng)=[x+]（4T）的距離d="4<1，解得3<f<7,

所以芥?石的取值范圍為［3,7］,

故選：D.

7.若/(x)=2sinx(逝cosx-sinx),且/(再)/伍)=一3,則歸一引的最小值為()

7C?71

A.兀B.—C.27rD.——

24

【答案】B

【解析】

【分析】化簡AM解析式，得函數最大最小值與周期，利用/(再)/(9)=-3條件轉化為與最值的關系,

再由最值與周期的關系可得.

【詳解】,.■/(%)=2sinx^V3cosx-sinxj

=V3sin2x-2sin2x=V3sin2x+cos2x-1

=2sin12x+?！?,/(x)的周期為丁=兀，且

令f=sin12x+\,則

則/(x)=g(0=2t-l,由g(0的值域為［—3』，

故/(x)max=l，/(x)min=一3,

-3</(^)<1

,故_3W/(XJ/(69,

-3</(X2)<1

由//\O/\3知，Jf(x)-=17(^2)=1

即/(七)，/(》2)為函數的最大與最小值，或最小與最大值,

當西,々對應/1(X)圖象上相鄰兩最值點時，-馬|的值最小，

故歸一引?^=：=/

故選：B.

22

8.如圖，已知片，月是雙曲線C0—==1的左、右焦點，P,0為雙曲線。上兩點，滿足公尸〃耳0,且

因。|=|與P|=3陽P|,則雙曲線C的離心率為()

V157

丁

【答案】D

【解析】

【分析】根據雙曲線的定義和性質分析可得f=。，進而可得/片尸'。=/片尸￡=90°,結合勾股定理運算

求解.

【詳解】延長然與雙曲線交于點P，

因為公P//F2P',根據對稱性可知陽P|=\F2P'\,

設|工尸［=閨尸|="則內尸|=||=3/,

可得優(yōu)尸|一閨尸|=2/=2a,即f=a,

所以尸Q|=4/=4a,則|Q周=上用+2a=5a,陽尸［=］用P|=3a,

即尸。『+|甲邪=|。耳「，可知』公P'。=/為隼=90。,

在△尸有與中，由勾股定理得優(yōu)+怩p「=E閭2,

SPa2+（3a）2=4c2,解得e=/半.

【點睛】方法點睛：1.雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a,6,c的等量關系或不等關系，然后把6

用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設復數z=——（。,6611且6/0）,則下列結論正確的是（）

a+bi7

A.z可能是實數B.目=同恒成立

C.若z2eR，則。=0D,若z+^eR,則目=1

Z

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據復數的運算和復數的類型的概念求解即可.

a-bia

【詳解】對于A：若z=」7T一Ur是實數,

a+bia2+b2a

則方=0,與已知矛盾，故A錯誤;

-CLbi

對于B：由A項知z=EH-----z--------r

a+b

2ab

則F"T+b入不），因為方彳0,所以。=0,故c正確;

11,.ab.

對于D：z+—=--------+a+PI==7+a+b——iGRo

za+bi[a2+b2)\a2+b2J

則b——-~-=0,因為bwO,所以/+〃=],

a+b

故D正確

故選：BCD.

JIo

10.在&43。中，若tan-------=sinC,則下列結論正確的是（）

2

tanAr

A.------二]B.0<sin+sin5<V2

tan5

C.sin2+cos25=1D.cos2A+cos2B=sin2C

【答案】BD

【解析】

4+B

【分析】由tan-------=sinC化簡得到。=90。，再逐項判斷.

2

C

4+B(7cC、]coscc

【詳解】解：由tan-------=sinC=>tan--------=--------=——4=2sin—cos—,

2I22JC.C22

'7ttan——sin——

22

C71C

因為0v—<上，所以cos2wO,

222

rC

所以l=2sin2—nl—Zsin?—=0ncosC=0nC=90。，

22

所以tanS=tan(工一4]二---,1alM=tan?/不一定為1,A錯；

12)taib4taaS

因為siih4+siaS=sinA+cosA=msin(4+45°),0°<A<90°n45°<A+45°<135°，

芋<sin(4+45°)V1n1<0sin(4+45°)<41，

從而有0<siib4+sia5<yjl，所以B正確,

又cosB-cos1_4卜siiL4,所以5由24+8$23=25m24也不一定等于1,C錯;

而cos2y4+COS25=cos?/+sin2A=1=sin2C，D正確；

故選：BD

11.已知函數/(x)的定義域為R,滿足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),且/(1)=—1,則()

A./(0)=1

B./(X)為奇函數

C./(1)+/(2)+-+/(2024)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】采用賦值法為突破口，分析函數的有關性質.

【詳解】對A：令x=l,y=0,則2/(l)=2/(l)/(O),

因為/。)=一1，所以/(。)=1，故A正確；

對B：令x=0得：/(力+/(-力=2/(0)/(力,結合/(。)=1可得/(刃=/(一力,

所以/(X)為偶函數，故B錯誤；

對C：令y=l可得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),因為/(1)=T,

所以/(x+l)+/(x—1)=—2/(x)n/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-l)],

進一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)],

又/(0)=1,/⑴=—1,故/(0)+/⑴=0,

故/。)+/(2)=0,依次有

/(2)+/(3)=/(3)+/(4)=---=/(2022)+/(2023)=/(2023)+/(2024)=0,

所以/(1)+/(2)+/(3)+-??+/(2023)+/(2024)=0x1012=0,故C正確；

對D：令x=y可得:/(2X)+/(O)=2[/(X)Tn[/⑴了=/(2；)+1；

用x+；代替x,歹得：〃2x+l)+/(O)=2/卜+￡|n+/(27)+1,

結合C的結果，可得：[/⑴丫+]小+^J(2X)+/'+1)+2J⑼+”+2=],故口

正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點睛：如何賦值是解決問題的關鍵.AB相對簡單，對C,令＞=1得到

/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-3后進一步可得到數列相鄰項之間的關系，可求結果，對D,用x=V

和用x+工代替尤，V是解決問題的關鍵.

2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若關于x的不等式0Wax2+bx+cV2（a〉0）的解集為{x|—l＜x?3},貝!13a+6+2c的取值范圍是

【答案】1,4J

【解析】

【分析】先根據一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據端點得到兩個等式和一個不等式，求出。的取

值范圍，最后3a+6+2c都表示成。的形式即可.

【詳解】因為不等式0＜狽2+桁+042（4〉0）的解集為{x|—lW3},

所以二次函數/（x）=ox2+Zzx+c的對稱軸為直線X=1,

/（-1）=2a-b+c=2

且需滿足（）,即＜b=-2a

|/3=29a+3b+c=2,解得<

c——3。+2

/?！?a+b+c>Q

所以aw］。,：

月f以6/+Z?+c—6/—2a—3cl+220=>aW—,

2

所以3a+b+2。=3。-2a-6。+4=4—5?！?/p>

故答案為：I，4

【點睛】關鍵點睛：一元二次不等式的解決關鍵是轉化為二次函數問題，求出對稱軸和端點的值，繼而用

同一個變量來表示求解.

13.已知直三棱柱ABC-A^C^AB±BC,AC=2AB,A,C=2,則三棱柱ABC-A^C,的體積的最大值

為；此時棱柱的高為.

【答案】①.|②.宜1##2百

333

【解析】

【分析】利用直三棱柱的特征、體積公式結合導數求單調性及最值計算即可.

Bi

如圖所示，不妨設|48|=x,由題意則2。=2羽8。=屈,44]="=？(％?0,1),

則％=,4-4x?X；XX#)X=6[(]一32卜4,

令/=—7)*/(/=必6(0,1))=>/，?)=2t—3t2,

22

則i〉/〉3時，/'(/)<o,]〉/〉o時，/'(/)>o,

即/?)在上單調遞增，在上單調遞減，

則/(7)=/E]=^n%max=^xg=M

max

J\/max，I3127A/273

故答案為：半

14.已知正實數a,b,c,d滿足a2-ab-^l=0,c2+/=1,則當()2+(z)-(z)2取得最小值時，

ab=

【答案】立+1

2

【解析】

【分析】設出點之間的距離，由基本不等式求出最值，利用點和圓的位置關系確定自變量取值，代入求解

即可.

【詳解】設點(。*)與點(c/)之間的距離為/,則/=("°『+伍—[)2,

易知("C『+(b-1)2的幾何意義是點(。/)與點(c,d)之間的距離的平方，

點(c,d)在以(0,0)為圓心，半徑為1的圓上，又/-仍+1=0,則b=—,

a

設點S/)與點(0,0)之間的距離為m,則優(yōu)2=。2+/=/+伍+J_)2=2/+4+2,

aa

故加2=2/+4+222^2/.)+2=2夜+2,當且僅當4=七時取等，

此時加取得最小值，由點與圓的位置關系得加min—1此時/=+3=。,+1，

a

代入a=：口得，ab=a2+\=-^-+1.

V22

故答案為：正+i

2

【點睛】關鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關鍵是利用基本不等式找到關于。的取值.再利用點與圓的

位置關系確定此時(a-+0-1)2也取得最小值，然后將。代入目標式，得到所要求的結果即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數/(%)=211]%+34%2一(21+1)%.

(1)若曲線y=/(x)在處切線與X軸平行，求a；

(2)若/(x)在x=2處取得極大值，求。的取值范圍.

【答案】(1)1(2)1一0°,g]

【解析】

【分析】(1)先對/(x)求導，利用導數的幾何意義即可得解；

(2)分類討論。的取值情況，利用導數分析/(x)的單調情況，從而得到其極值情況，由此得解.

【小問1詳解】

因為/(x)=21nx+—ax1一(2。+l)x(x>0),

，/、2/、ax?-(2a+l)x+2

所以=—+a、_(2a+1)=---------------』——二-----——L，

因為曲線y=/(x)在(1,/。))處切線與x軸平行，

所以芻=0,解得4=1,

又/(l)=g_3=—所以a=L

【小問2詳解】

/(x)的定義域為(0,+"),/，⑴J"-1)"),

X

①當a=0時，令#(x)>0,得0<x<2,令/。)<0,得x>2,

\/(x)在(0,2)上單調遞增，在(2,+⑹上單調遞減.

\/(x)在x=2處取得極大值，滿足題意；

②當a<0時，令/%)〉0,得0<x<2,令/'(x)<0,得x>2,

\/(x)在(0,2)上單調遞增，在(2,+8)上單調遞減.

\/(x)在x=2處取得極大值，滿足題意；

③當Q>0時，

(i)當時，l=2,7,(x)>0

所以/(x)在(0,+動上單調遞增，/(x)無極值，不滿足題意；

(ii)當a〉一時，一<2,

2a

令八力<0,得!<x<2,令#(x)>0,得0<x<2或x>2

aa-

\/(X)在上單調遞增，在［;二］上單調遞減，在(2,+⑹上單調遞增.

\/(x)在x=2處取得極小值，不滿足題意；

(iii)當0<。<一時，一>2,

2a

令/'(x)<0,得2<X<L,令/小)〉0,得0<X<2或X〉L

aa

\/(X)在(0,2)上單調遞增，在12,J上單調遞減，在g+s］上單調遞增.

\/(x)在x=2處取得極大值，滿足題意；

綜上所述，〃的取值范圍為8,；).

16.盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現從盒子中一次摸一個球.不放回.

（1）若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次.記摸出的紅球個數為X.求隨機變量X的

分布列和數學期望.

（2）若A盒中有4個紅球和4個白球，3盒中在2個紅球和2個白球.現甲、乙、丙三人依次從A號盒中

摸出一個球并放入3號盒，然后丁從3號盒中任取一球.已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

3

【答案】（1）分布列見解析；期望為一

4

、44

(2)——

49

【解析】

【分析】（1）列出X的所有可能的值，求出對應的概率，可得分布列，并求期望.

（2）用條件概率公式求解.

【小問1詳解】

A2is3

X可取0,1,2.且：尸(、=0)=^^=一，尸(￡=1)=352=一尸(x=2)=^^=

')CC14')CC28')CC'28

O/O/O/

所以X的分布列為:

X012

5153

P

142828

1533

貝|］：EX=lx—+2x—=-

28284

【小問2詳解】

設事件。="丁取到紅球“，事件E="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球

3C；C?4

當甲、乙、丙三人取得1個白球,則丁取到紅球的概率為X—?

C?C：7'

3cle93

當甲、乙、丙三人取得2個白球,則丁取到紅球的概率為1卻"行;

C8c7c6/

C1^^12

當甲、乙、丙三人取得3個白球,則丁取到紅球的概率為x-；

c?吃7

5

當甲、乙、丙三人取得3個紅球，則丁取到紅球的概率為士!法x三;

則所求概率為:

3c；C；C：*4?3C；C；C；x31C；C；C；2

X——

P(DE)744

P'E"卜P⑼=3C：C；C；5y5L36C；C/；C；43C；C/；C；37y3C；C；C；2

49

c8c7c6/7y/u8c7c6/c8c7c6/

jr

17.在梯形/BCD中，ABHCD,NBAD=—,AB=2AD=2CD=4,P為AB的中點，線段ZC與。P

3

交于O點（如圖1）.將AZCD沿ZC折起到△/CD位置，使得平面力ZC，平面A4c（如圖2）.

D'

圖1圖2

（1）求二面角/—5。'—C的余弦值;

（2）線段PD'上是否存在點。，使得CQ與平面BCD'所成角的正弦值為彳？若存在，求出券的值;

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）一立

7

PQ__1

（2）存在,

PD'~3

【分析】（1）建立空間直角坐標系，由空間向量求解；

（2）設&=x訪（owxwi）,表示出西，利用向量的夾角公式代入列式，即可得解.

【小問1詳解】

7T

因為在梯形Z5CO中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,NBAD=—,P為AB的中點，所以，CD11PB,

3

CD=PB,

所以△4DP是正三角形，四邊形。必。為菱形,

可得ZCIBC,ACLDP,

而平面。'ZC,平面A4C，平面。'ZCc平面氏4C=ZC,

￡>'Ou平面"ZC，D'OLAC^

.?.。’0，平面氏4。，所以CM,OP,0。'兩兩互相垂直,

如圖，以點。為坐標原點，OA,OP,0。'分別為x,了，z軸建立空間直角坐標系,

則/（G,o,o）,C（-V3,o,o）,5（-V3,2,0）,力（0,0,1）,P（0,l,0）,

.-.AD7=（-73,0,1）,A8=（-273,2,0）,Bb=（V3,-2,1）,CD'=（V3,0,l）

設平面48。'的一個法向量為加二（』,％,2j,則

m-AD'=0—\3x.+Zj=01—

_，即4l，令X]=1,則％=4=J3,

m-AB=0_2%+2%=0

設平面CBD’的一個法向量為〃=（々J2/2），則

n-BD'=0V3X2-2J2+Z2=0人_[而W

—.，即《

，令％—1，則%—0，z2——A/3

n-CD'=0V3X2+Z2=0

/.cos（m.n

哂Vl+3+3xVl+37

所以二面角A-BD-C的余弦值為-立

【小問2詳解】

線段PD上存在點Q，使得CQ與平面BCD所成角的正弦值為—.

8

設&=2訪因為麗=（百,1,0）,PD7=（O,-I,I）,所以

CQ=CP+TQ=CP+XPD'

設CQ與平面BCD'所成角為氏則5也8=卜05(質,弱=『4=/(―'==E

?'A儂忖2V222-22+48

即322—74+2=0，??-0<2<1,解得2=g,

所以線段產。’上存在點。，且絲=工，使得。。與平面BCD'所成角的正弦值為逅.

PD38

18.已知拋物線J?=4x,頂點為。，過焦點的直線交拋物線于A,3兩點.

圖1圖2

⑴如圖1所示，已知以a=8|,求線段中點到了軸的距離；

(2)設點尸是線段N3上的動點，頂點。關于點尸的對稱點為C,求四邊形O/C3面積的最小值；

(3)如圖2所示，設。為拋物線上的一點，過D作直線ZW,QN交拋物線于N兩點,過。作直線

DP,。。交拋物線于尸，。兩點，且D/LDN,DPLDQ,設線段與線段尸。的交點為T,求

直線。7斜率的取值范圍.

【答案】(1)3(2)4

-1r

(3)一一

L22」

【解析】

【分析】(1)根據拋物線的性質求解即可；

(2)由題意可知四邊形048。的面積等于2sMOB，設出直線方程，與拋物線方程聯立，結合韋達定理和

2SVAOB=2叫OF|%-旬求解即可；

(3)設。點坐標為(片,2a),將拋物線方程與直線。河，DN聯立,利用韋達定理將點M和點N坐標用

。表示,進而可得到直線跖V的方程，證明直線跖V過定點即可求解.

【小問1詳解】

因為過焦點的直線交拋物線于A,8兩點，且|/@=8,

設/（國,凹）,B（x2,y2）,

由拋物線的性質可得為+%+2=|28|=8,

所以西+x2=6,

所以線段中點的橫坐標，即為線段中點到了軸的距離為幺士三=3.

2

【小問2詳解】

由點。與原點。關于點尸對稱，可知P是線段0C的中點，

所以點。與點。到直線/的距離相等，所以四邊形OABC的面積等于2S^AOB，

x=my+1.

設直線/的方程為X=W+1,聯立＜2'，消去X可得y2—4加V—4=0,

y=4x

設/（%%），8（》4，%），由韋達定理可得%+”=4加，y3y4=-4,

+

所以2S,“=2醋|阿|卜-外卜^3yJ-4y3y4=4而可T,

當a=0時，四邊形。45c的面積取最小值為4.

【小問3詳解】

由題意可知直線。M的斜率左存在，且不為0,

則直線￡）河的方程為y-2a=kQ_/）,

與拋物線V=4x聯立，消去X得/—士y+區(qū)—4/=0,

kk

44

由韋達定理可得2。+=—,解得為"—2a,

kk

直線ON的方程為y-2o=--(t-a2),

k

與拋物線F=4X聯立，消去x得/+4ky-Ska-4a2=0,

由韋達定理可得2。+}^,=-4左，解得力?=一4左一2。，

顯然直線跖V斜率不為零,

當直線"N斜率存在時，直線跖V的方程為

VN~加XN~XM

整理得：y=4x+N加,

yN+yM

4

將加=7—2。，yN--4k-2a代入lMN得：

k

_?+[：-2"](一伙一2")_丘一4左一2a+2成2+力左.k(x-a2-A)

i-2a-4k-2a1-碗-左-\-ak-k-

k

2(7

所以直線。過定點(4+邕—2二),即T點坐標為(4+a2,-2a),直線。丁的斜率為自/二------7

4+。

1

?！狄粦?4

當Q〉0時,2,當且僅當一二a,即Q=2時，等號成立,

—+aa

a

1

一4

2,當且僅當—=—ci,即。=—2時，等號成立,

a

當Q=0時，kOT=0,

當直線"N的斜率不存在時，設M點坐標為“2,2。，N點的坐標為(r,-2。，

則加=(——/2—2a),DN=(t2-a2,-2t-2a),且根據題意。一力彳。,

所以加.麗=(〃—*2一4(J—*=°,解得r=4+/,

所以直線跖V的方程為》=4+/過點(4+/,—2a),

綜上所述，直線07斜率的取值范圍為-.

L22J

【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交(過定點、定值)問題的常用步驟：

⑴得出直線方程，設交點為/(國,%),8(%,%)；

(2)聯立直線與曲線方程，得到關于x或V的一元二次方程；

(3)寫出韋達定理；

(4)將所求問題或題中關系轉化為X1+x2,X1x2形式；

(5)代入韋達定理求解.

19.已知無窮數列{。"}滿足an=max{a—,a“+2}-min[an+x,an+1}(〃=1,2,3,…)，其中max{x,y}表示x,

y中最大的數，min{x,y}表示x,y中最小的數.

(1)當%=1,?=2時，寫出％的所有可能值；

(2)若數列{4}中的項存在最大值，證明：0為數列{4}中的項；

(3)若%〉0(〃=1,2,3,…)，是否存在正實數使得對任意的正整數“，都有見(”?如果存在，寫

出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

【答案】⑴{1,3,5)

(2)證明見解析(3)不存在，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據定義知見20,討論生〉2、生<2及。3，為大小求所有應可能值；

(2)由%20,假設存在4eN*使4〈%。，進而有%。<max{6Z?o+1,6Z?o+2)<6Z?o,可得

min{%。+”4+2}=0,即可證結論；

(3)由題設%w?！?1("=2,3,…)，令5={〃”,〉氏+”〃21},討論5=0、5/0求證%>M即可

判斷存在性.

【小問1詳解】

由4=max{all+l,an+2)-min{tz;I+1,an+2}>0,aA=max{2,a3}-min{2,tz3}=1,