高考數學專題 集合與簡單邏輯講學案原卷

【2016考綱解讀】集合知識一般以一個選擇題的形式出現，其中以集合知識為載體，集合與不等式、解析幾何知識相結合是考查的重點，難度為中、低檔；對常用邏輯用語的考查一般以一個選擇題或一個填空題的形式出現，以集合、函數、數列、三角函數、不等式及立體幾何中的線面關系為載體，考查充要條件或命題的真假判斷等，難度一般不大.【重點知識梳理】1．集合的概念、運算和性質(1)集合的表示法：列舉法，描述法，圖示法．(2)集合的運算：①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．③補集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．(3)集合的關系：子集，真子集，集合相等．(4)需要特別注意的運算性質和結論．①A∪?＝A，A∩?＝?；②A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A2．四種命題(1)用p、q表示一個命題的條件和結論，?p和?q分別表示條件和結論的否定，那么若原命題：若p則q；則逆命題：若q則p；否命題：若?p則?q；逆否命題：若?q則?p.(2)四種命題的真假關系原命題與其逆否命題同真同真；原命題的逆命題與原命題的否命題同真同假．3．充要條件(1)若p?q，則p是q成立的充分條件，q是p成立的必要條件．(2)若p?q且q?/p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．(3)若p?q，則p是q的充分必要條件．4．簡單的邏輯聯(lián)結詞“且”、“或”、“非”用邏輯聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作“p∧q”；用邏輯聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作“p∨q”；對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作“?p”．5．全稱量詞與存在量詞(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)．(2)特稱命題(存在性命題)p：?x0∈M，p(x0)．它的否定?p：?x∈M，?p(x).【高頻考點突破】考點一、集合的概念及運算例1、(1)(2015·山東卷)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，則A∩B＝()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)(2)已知全集U＝R，設集合A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合B＝{y|y＝sin(x－1)}，則(?UA)∩B為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))D．?【方法技巧】解答集合運算問題的策略首先正確理解各個集合的含義，認清集合元素的屬性，代表的意義．然后根據集合中元素的性質化簡集合．(1)若給定集合涉及不等式的解集，要借助數軸．(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn圖．(3)若給定集合是點集，要注意運用數形結合．【舉一反三】已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，則(?UA)∪B＝()A．{3,4,5}B．{2,3,5}C．{5}D．{3}考點二、命題的真假判定與否定例2、(2015·山東卷)設m∈R，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是()A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m>0D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0【方法技巧】1．三步辨明“或”“且”“非”命題的真假性(1)弄清構成命題的p和q的真假性；(2)弄清結構形式；(3)根據真值表判斷構成新命題的真假性．2．全(特)稱命題的否定全稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞，并把結論否定；特稱命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞，將把結論否定．【舉一反三】(1)“若α＝eq\f(π,3)，則cosα＝eq\f(1,2)”的否命題為()A．“若α≠eq\f(π,3)，則cosα≠eq\f(1,2)”B．“若α≠eq\f(π,3)，則cosα＝eq\f(1,2)”C．“若cosα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,3)”D．“若α＝eq\f(π,3)，則cosα≠eq\f(1,2)”(2)已知命題p：?x∈R,2x<3x；命題q：?x0∈R，使xeq\o\al(3,0)＝1－xeq\o\al(2,0)，則下列命題為真命題的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)考點三、四種命題及其關系例3、已知a、b、c都是實數，則命題“若a>b，則ac2>bc2”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數是()A．4B．2C．1D．0【方法技巧】1．要嚴格區(qū)分命題的否定與否命題．命題的否定只否定結論，否命題既否定條件，也否定結論．常見命題的否定形式有：原語句是都是>至少有一個至多有一個?x∈A使p(x)真?x0∈m，p(x0)成立否定形式不是不都是≤一個也沒有至少有兩個?x0∈A使p(x0)假?x∈M，p(x)不成立原語句p或qp且q否定形式?p且?q?p或?q2.要注意掌握不同類型命題的否定形式，(1)簡單命題“若A則B”的否定．(2)含邏輯聯(lián)結詞的復合命題的否定．(3)含量詞的命題的否定．3．解答復合命題的真假判斷問題，先弄清命題的結構形式，再依據相關數學知識判斷簡單命題的真假，最后確定結論．考點四、充分條件與必要條件例4、(1)設a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)“m<1”是“函數f(x)＝x2＋x＋m有零點”的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【方法技巧】1．充分、必要條件的判斷方法先判斷p?q與q?p是否成立，然后再確定p是q的什么條件．2．判斷充分、必要條件時應注意的問題(1)先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.(2)舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當的反例來說明．(3)準確轉化：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，那么p是q的充要條件．【舉一反三】設a>0且a≠1，則“函數f(x)＝ax在R上是減函數”是“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【經典考題精析】【2015年高考真題】【2015高考四川，理1】設集合，集合，則（）【2015高考廣東，理1】若集合，，則（）A．B．C．D．【2015高考陜西，理1】設集合，，則（）A．B．C．D．【2015高考重慶，理1】已知集合A=,B=，則（）A、A=BB、AB=C、ABD、BA【2015高考福建，理1】若集合（是虛數單位），，則等于()A．B．C．D．【2015高考新課標2，理1】已知集合，,則（）A．B．C．D．【2015高考山東，理1】已知集合，,則（）（A）（1，3）（B）（1，4）（C）（2，3）（D）（2，4）【2015高考浙江，理1】已知集合，，則（）A.B.C.D.【2015高考江蘇，1】已知集合，，則集合中元素的個數為_______.,，則集合中元素的個數為5個.【2015高考上海，理1】設全集．若集合，，則．【2015高考新課標1，理3】設命題：，則為()（A）（B）（C）（D）【2015高考浙江，理4】命題“且的否定形式是（）A.且B.或C.且D.或【2015高考湖北，理5】設，.若p：成等比數列；q：，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【2015高考天津，理4】設，則“”是“”的()（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【2015高考重慶，理4】“”是“”的（）A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件【2015高考安徽，理3】設，則是成立的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【2015高考湖南，理2】.設，是兩個集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【2014年高考真題】1.【2014高考北京版理第1題】已知集合，，則（）A.B．C．D．2.【2014高考廣東卷理第1題】已知集合，，則（）A.B.C.D.3.【2014高考江蘇卷第1題】已知集合，，則.4.【2014遼寧高考理第1題】已知全集，則集合（）A．B．C．D．5.【2014全國1高考理第1題】已知集合，則（）A．B．C.．D．6.【2014山東高考理第2題】設集合，則（）B.C.D.7.【2014四川高考理第1題】已知集合，集合為整數集，則（）A．B．C．D．8.【2014浙江高考理第1題】設全集，集合，則（）B.C.D.9.【2014重慶高考理第11題】設全集______.10.【2014陜西高考理第1題】已知集合，則（）11.【2014大綱高考理第2題】設集合，，則（）A．B．C．D．12.【2014天津高考理第7題】設，則|“”是“”的（）（A）充要不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充要也不必要條件13.【2014高考上海理科第15題】設,則“”是“”的（）充分條件（B）必要條件（C）充分必要條件（D）既非充分又非必要條件14.【2014重慶高考理第6題】已知命題對任意，總有；是的充分不必要條件則下列命題為真命題的是（）15.【2014陜西高考理第8題】原命題為“若互為共軛復數，則”，關于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假16.【2014高考福建卷第6題】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（）充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分又不必要條件17.【2014高考湖北卷理第3題】設為全集，是集合，則“存在集合使得是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件18.【2014高考安徽卷理第2題】“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件19.【2014高考湖南卷第5題】已知命題在命題①中，真命題是（）A①③B.①④C.②③D.②④【2013年高考真題】1.（2013·新課標I理）1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)｝，則( )A、A∩B=B、AB=RC、BA D、AB2.（2013·新課標Ⅱ理）（1）已知集合M=｛x|(x-1)2<4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，則M∩N=（）（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}3.（2013·浙江理）2.設集合，則（）B.C.D.4.（2013·天津理）1.已知集合A={x∈R||x|≤2},A={x∈R|x≤1},則（）(A) (B)[1,2] (C)[－2,2] (D)[－2,1]5.（2013·山東理）2.設集合,則集合中元素的個數是 A. B. C. D.6.（2013·遼寧理）（2）已知集合A．B．C．D．7.（2013·廣東理）8．設整數,集合.令集合若和都在中,則下列選項正確的是()A., B．,C．, D．,8.（2013·大綱理）1.設集合，，，則M中元素的個數為（）A．3B．4C9.（2013·北京理）1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，則A∩B=()A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}10.（2013·廣東理）1．設集合,,則()A. B． C． D．11.（201