陜西省銅川市2024屆高三年級下冊第三次模擬考試 數(shù)學(xué)（理）含解析

銅川市2024年高三年級第三次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）試題

注意事項：

1.本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時間120分鐘

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.己知集合2={12機(jī)},8={x|2x—3<0},若AuB=B,則實數(shù)機(jī)的值可能是（）

A.OB.lC.2D.3

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（i-l）=4i,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知雙曲線C：/+21=1（機(jī)wo）的一條漸近線方程為>=則C的焦點坐標(biāo)為（）

A.（±V3,0）B.（0,±V3）C.（±l,0）D.（O,±l）

4.己知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜交水稻的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為

9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則下列說法錯誤的是（）

A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差

B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)

C.甲種的樣本中位數(shù)等于乙種的樣本中位數(shù)

D.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差

（3a—l）x+2a,x<1,

5.若函數(shù)〉=。）在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是（)

logax,x...1

]_]_D.|,1

abC.

-O4-O4553

6.已知cos(o—]J—cosa=,則sin12a+Ej=()

7.己知a,b為正實數(shù)，貝1|“幺＜1”是“的()

bbb+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知函數(shù)/(%)=5由2%-(：052%，則下列說法中不正確的是()

Aj(x)的最小正周期為兀

B./(x)的最大值為夜

JTJT

Cj(x)在區(qū)間-77上單調(diào)遞增

9.己知函數(shù)/⑴是定義域為R的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù)，若/(0)+/⑶=3,則()

A./(x-l)=/(x+l)B./(2025)=3

C.函數(shù)/(x)的周期為2D./(2024)=3

10.在正方體4BC。—中，￡,E,G分別為5C,CD,￡)A的中點，若48=4,則平面EFG截正

方體所得截面的面積為()

A.672B.6V3C.12V2D.12V3

11.樺卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重

量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得樟卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種

簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊

形48。是邊長為2的正方形，且ANQEQBC戶均為正三角形，EF〃CD,EF=4,則該木楔子的外

接球的體積為()

64兀

D.——

3

22

12.已知片、片為橢圓C：=+與=1（。〉6〉0）的左、右焦點，點尸在C上且位于第一象限，圓&與線段

ab~

公戶的延長線、線段產(chǎn)鳥以及x軸均相切，△尸片鳥的內(nèi)切圓的圓心為。2?若圓01與圓。2外切，且圓a與

圓。2的面積之比為9,則橢圓。的離心率為（）

百

A1B2ND

2522

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個景點游玩，每名學(xué)生必須去一個景點，每

個景點至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有種.

14.已知點O為△48C外接圓的圓心，且次+礪+函=0，則cos（ZC,BC〉=.

15.已知△4SC的內(nèi)角4民。所對的邊分別是見，點。是4g的中點.若2a+b=2ccos8,且

AC=1,CD=—，則"=

2

InY

16.若函數(shù)/（x）=ax2+—有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為.

X

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛4｝滿足：%+4%+…+4"%“=?4",〃eN*.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

1111

（2）若——+——+??-+------<—,求正整數(shù)機(jī)的最大值.

a2a3amam+l"

18.（本小題滿分12分）

學(xué)校團(tuán)委和工會聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.

決賽共設(shè)三個項目，每個項目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的獲

得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為0.4,0.6,0.6,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.甲、乙獲得冠

軍的概率分別記為月,夕2?

（1）判斷甲、乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若加「夕2卜―0+0],則認(rèn)為甲、乙獲得冠軍

的實力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；

（2）用X表示教師甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐尸-48CD的底面是正方形，尸。，平面48。，點￡是上4的中點，廠是線段P8上

（包括端點）的動點，PD=AD=2.

（1）求證：PC〃平面￡8。；

PF

（2）若直線與平面P3C的夾角為60°，求不荔的值.

20.（本小題滿分12分）

過拋物線C:「=2/（夕〉0）焦點廠的直線/交C于〃,N兩點，若直線/垂直于x軸，則AOMN的面積

為2,其中O為原點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）拋物線C的準(zhǔn)線上是否存在點尸，使得當(dāng)時，AOMN的面積為2夜.若存在，求出點尸

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（%）=—+—+ax--.

xxe

（1）當(dāng)a=l時，求曲線＞=/（x）在點（1J（1））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（x）存在零點，求實數(shù)。的取值范圍.

（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計

分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=5cosa+4,

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線。的參數(shù)方程為｛「.一（。為參數(shù)），以原點。為極點，1軸

y=5sina+3

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)是曲線。上的兩點，且(WLON,求AOMN面積的最大值.

23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x—l|+2]x+2|.

(1)求不等式/(X),,9的解集；

123

(2)記函數(shù)/(x)的最小值為“，若正數(shù)“c滿足一+：+—=M+5,證明：3a+2b+c...2+43.

abc

銅川市2024年高三年級第三次模擬考試

數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.A【解析】依題意8={x|—l<x<3},由幺。8=8,可得加當(dāng)加=0時，符合題意，應(yīng)選A

項；當(dāng)加=1或2時，不符合集合中元素的互異性，從而排除B,C項；當(dāng)機(jī)=3時，從而排除D

項.

2.D【解析】復(fù)數(shù)z=-,.、=2-2i,.?.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選

1-1(-1+1)(-1-1)

。項.

3.A【解析】易知加<0,令丁+乙二。，解得y=故=也，即加=一2,從而

m

C=V1+2=A/3;從而。的焦點坐標(biāo)為卜6,0).故選/項.

4.D【解析】10.2-9.8=0.4,10.5-9.6=0.9>0.4,故N正確；

后=-x(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10.0,力=-x(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=,

故8正確；甲種的樣本中位數(shù)為10.0,乙種的樣本中位數(shù)為10.0,故C正確.

2_(9.8-10)2+(10.2-10)2

§甲二5，

2_(9.6-10)2+(9.7-10)2+(10.2-10)2+(10.5-10)2

殳=5'

顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，故。錯誤.

(3a-l)x+2a,x<1.

5.C【解析】?.?函數(shù),在R上單調(diào)遞減，

logflx,x..1

3ci—1<0,

「.<0<<2<1,解得一”。<一.故選C項.

r1cli53

3a-l+2a...log1,

V3

V3.1,71

6.A【解析】a.?COsf6Z-y-cosa=——sma——cosa=sma——

226

7171兀=l-2sin2卜一看

sin2?+—=sin2a--+—=cos2a--.故選A.

66262

7.C【解析】若:<1,根據(jù)糖水不等式可得，〈爐，充分性得證;

bbb+1

若9<"I,則即a<6,故@<1,必要性得證.

bb+1b

8.C【解析】依題意/（x）=J^sin2x—：,則函數(shù)/（x）的最大值為夜，最小值正周期為兀，從而

可排除A,B選項.

兀71r兀兀jr兀

「<一士/-1，/，故/（x）在區(qū)間—『4上不可能

單調(diào)遞增，應(yīng)選C項.

行sin2x71:=J^sin12x—]J=—J^cos2x為偶函數(shù)，從而

4

，從而可排除。選項.

9.D【解析】???/(x+l)為奇函數(shù)，二./(—%+1)=-/(%+1),

又/(x)為偶函數(shù)，x+l)=/(xT),，/(xT)=-/(x+l),故/項錯誤.

即/(X)=_/(X+2),,/(X+4)=_/(X+2)=/(X),.?.函數(shù)/("的周期為4,即C項錯誤.

由/(-x+1)=—/(%+1),令x=0,得

/(1)=0,/(3)=/(-1)=/(1)=0,.-./(2025)=/(l+506x4)=/(1)=0,即8項錯誤.

又/（0）+/（3）=3,.?./（0）=3,;./（2024）=/（0+506X4）=/（0）=3,故選。項.

10.D【解析】如圖，過點G作環(huán)的平行線交5用于點J,過點，作尸G的平行線交4月于點/,

過點/作跖的平行線交4。于點〃，易知點〃都在截面EEG內(nèi)，且都是其所在棱的中點，從而

所得截面是邊長為2也的正六邊形，所求面積5=6x11x2V2x2V2xsin60。）=12G.故選D.

ll.c【解析】如圖，分別過點48作的垂線，垂足分別為G,〃，連接。G,S,則

4-7______________

EG==1,故AGZAE?-EG。=也2—丁=百.

取/￡）的中點。，連接GO',

又AG=GD,:.G（y：LAD,則GO=JzG?—J=也.

由對稱性易知，過正方形48。的中心01且垂直于平面48CD的直線必過線段跖的中點Q，且所求

外接球的球心。在這條直線上，如圖.

設(shè)球O的半徑為R,則氏2=。。；+2。：，且氏2=。。；+￡第，

從而00；=0。；+2,即（。?+。。2）（?！?一。。2）=2，

當(dāng)點O在線段。1。2內(nèi)（包括端點）時，有。。1+。。2=G0'=應(yīng)，可得。。。2=C，

從而。。1=后，即球心O在線段跖的中點，其半徑R=2.

當(dāng)點O在線段。1。2外時，。1。2=行，（、匯+。。2『=。。；+2,解得。。2=0（舍）.

故所求外接球的體積V=471g=些.故選c項.

33

12.A【解析】由已知及平面幾何知識可得圓心。卜。2在/尸原"的角平分線上.

如圖，設(shè)圓。i、Q與x軸的切點分別為48,由平面幾何知識可得，直線因為兩圓的公切線，公切點。

也在NP7祀的角平分線上，則忸叫=閨可=2c,

由橢圓的定義知耳|+|P月|=2。，則|Pg|=2a—2c,

:.\F2D\=^\PF2\=a-c,:.\F2A\=\F2B\=\F2D\=a-c,

.,.閨H=17^7^|+1gH=2C+Q_°=Q+C,

\FXB\=2c-（a-c）=3c-a.

又圓。1與圓Q的面積之比為9,，圓。i與圓Q的半徑之比為3,

EB\\OB\故橢圓C的離心率0=’.

*.*OyB//。/,??—\—2r，

2畢Ia+c32

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.240【解析】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有C；=10種方法，

然后將4組學(xué)生分配到4個景點，有=24種方法，

由分步計數(shù)原理知共有10x24=240種不同的游玩方式.

14.—g【解析】由次+南+力=0，得厲+礪=反，由O為A48C外接圓的圓心，得

|al|=|O5|=|oc|,如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形CMC8為菱形，且/。。=60°，故

ZACB=120。.故cos（就灰）=—〈.

15.V?【解析】*?*2a^b-2ccos5,/.2siib4+sin5=2sinCcosjB,

又丁siib4=sin（5+C）=sinScosC+cosSsinC,

/.2sinScosC+siiiS=0,.,.cosC=--.

2

?.?CD為ANBC的一條中線，.?.麗=，（田+赤），

CD=—^CA+CB+2CA-CBj,即7=7]+/+2xlxtzx1—5],解得a=2,或tz=—l

(舍).

由余弦定理得ZB=c='片+萬—2abeosC=,22+T—2>1>2)]—

【解析】/'(x)=2ax+^^,

令/''(x)=o，得a=31.

2x

/、lnx-1，/、4-31rw

令A(yù)g(")=W]，則8⑺=2..

令g'(Xo)=O,則31nx0=4,即1%)=3，即x；=e，

當(dāng)0<x</時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x〉/時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

a

?■)"8(*=要=%=*

又當(dāng)x->0+時，g(x)f-“；當(dāng)xf+e時，g(x)->0+,

方程。=生?有兩個正根，從而函數(shù)/(x)有兩個極值點.

.??當(dāng)0<Q<64時，

2x

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第11?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.解：(1)當(dāng)〃=1時，%=4=4,

1

當(dāng)n...2時，t/j+4a。H—+4"cin=n'4",

%+4a2+???+4”—2anl=(?-1)-4”。

兩式相減，得4"T%=?-4"-(n-l)-A=4"1.(3/7+1),

/.an=3〃+l,

顯然q=4也符合上式，

數(shù)列｛4｝的通項公式為an=3〃+1.

i=iJ/i______LJ]

（2）由⑴知金冊+]（3機(jī)+1）（3機(jī)+4）3v3m+l3m+4J'

1111（111111、

------1-------F???H----------=---------1---------F???H--------------------

多出a2a3amam+\3<477103m+13m+4J

—J,

3（43m+4）13

解得機(jī)<16.

正整數(shù)機(jī)的最大值為15.

18.解：（1）不妨設(shè)教師甲在三個項目中獲勝的事件依次為48。，

則教師甲獲得冠軍的概率Pi=P（ABC）+P（1BC）+P（ABC）+P（ABC

=0.4x0,6x0.6+0.6x0,6x0.6+0.4x0,4x0.6+0.4x0,6x0.4=0.552,

則教師乙獲得冠軍的概率2=1—Pi=0448,

:.\Pl-p2\=0.104,J—;~~-+0.1。0.376,

■■\Px-P^<^---------+0-1，

..?甲、乙獲得冠軍的實力沒有明顯差別.

（2）易知X的所有取值為一15,0,15,30,

P（X=-15）=0.6x0.4x0.4=0,096,

P（X=0）=0.6x0.4x0.6+0.6x0.6x0.4+0.4x0.4x0.4=0.352,

p（X=15）=0.4x0.6x0.4+0.4x0.4x0.6+0.6x0.6x0.6=0.408,

P（X=30）=0.4x0.6x0.6=0.144,

則X的分布列為：

X-1501530

P0.0960.3520.4080.144

=-15x0.096+0x0.352+15x0.408+30x0.144=9.

19.解：（1）證明：如圖，連接ZC交8。于點O,連接EO,

???四邊形48CD是正方形，為ZC的中點，

,.?￡是？4的中點，，￡0〃尸。,

???EOu平面EBD,PC平面EBD,PC//平面EBD.

(2)易知。4DC,。尸兩兩垂直,

以。為原點，尸分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則B（2,2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,E（l,0,l）.

...C8=（2,O,O）,P5=（2,2,—2）,PE=（1,O,—1）,

設(shè)方=4而，則0”A,1.

=PF=2（2,2,-2）-（1,0,-1）=（22-1,22,1-22）.

設(shè)平面P5C的法向量為萬=(x,y,z),

n-CB=0,2x-0,/、

則_即〈⑵+2—z=0,Q=葭則萬=（。，-

n-PB=0,

n-EF11

/.cos<n.EF>=

\n\\EF\V2x7（22-l）2+（22）2+（l-22）22&外—4/U1

又直線EF與平面PBC的夾角為60°，

1

解得

"2A/622-42+1

■\BF\2,

20.W：(1)根據(jù)拋物線概念易知尸go，

???直線/垂直于x軸,

不妨設(shè)M”，N外。,代入/=2/(P〉0),可得|%)|=?，

:.\MN\=2p.

11n

■■■SMMN=-\OF\\MN\=-x^x2p=2,解得夕=2.

，拋物線C的方程為/=4x.

（2）由（1）易知拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-l,尸（1,0）,

設(shè)點尸（-1,加）也（西,必）,,

當(dāng)直線/的斜率等于0時，不符合題意；

故可設(shè)直線/的方程為：X=ty+1,

y2=4x,,

聯(lián)立,消去x得/―時―4=0,

x=ty+l,

A=16r+16>0;得/eR,

由韋達(dá)定理得%+%=47,%%=一4,

?/PM±PN,PM-PN=(%]+1,%—機(jī))?(％+1,,2—機(jī))=0，

(演+1)(々+1)+(%-加)(歹2-加)

=玉%2+玉+%2+1+%>2—機(jī)(必+>2)+機(jī)之

2

="哈)+%；+jf)+l+j1j2-m(j1+j2)+m

m2

=+：1(%+%y―2%>2+1+必％一加(％+y2)+

164L」

=1+；[(4/)2+8^|+1-4-4mt+m2

=At2-4mt+加2=(2t-m)2=0,

/.2t=m.

,/\MN\=,1+J-y2\=Jl+/x，(必+%y-4必%=Jl+/xJ16/+16=4(1+J卜

l-ll

原點O到直線/的距離

Vi+/2

/.m=±2.

???存在點尸(-1,±2),符合題目要求.

Y13

21.解：(1)當(dāng)Q=1時，f(x)=—+-+X——,

xxe

.?/(“=—粵+1.

X

a

e

3

???所求切線方程為y-/(l)=(x—1),即y=x+l__.

e

inri3

(2)函數(shù)/(x)存在零點，等價于方程一+—+ax-—=0有正根,

xxe

13]

lux—x+1/々刀

n即ne有解，

—a=----------------

,3,3

人lux—x+1-x-21nx-l

令g(x)=^^則，(、

g(x)=e

332

令//(%)=—x-21nx-l,則hf(x\=------,

eex

令=2——=0,得%=—,

ex3

2e

當(dāng)0<x<3-時，〃'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減;

2

當(dāng)x〉§e時，Ar(x)>單調(diào)遞增；

當(dāng)xf0+時，/z(x)—+e；當(dāng)L+8時，/z(x)—+e,

又〃L=l—21吟<0,〃⑴=3—1〉0,

二.存在1<西<X2，使得力(%)=%(％2)=0.

33

/.一/一21iiX1—1—0,即In%]—Xj+1——liiX],

ee

.,.當(dāng)0<》<七時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)西<》<》2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x〉當(dāng)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

又g(xj=

當(dāng)x.0+時，g(x)-＞一0°;當(dāng)Xf+e時，g(x)f(T,

一。＜0,即Q＞0.

?1.實數(shù)。的取值范圍為(0,+").

(-)選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計

分.

x=5cosa+4,

22.解：(1)曲線。的參數(shù)方程為《(。為參數(shù))，