2023-2024學年北師版八年級數(shù)學寒假專題基礎作業(yè) 第8節(jié)分式方程（含答案）

第8講分式方程（學生版）目標層級圖課前檢測1．（1）當為何值時，方程會產(chǎn)生增根．（2）當為何值時，方程無解．（3）已知關于的方程的解為正數(shù)，求的取值范圍．2．解方程：（1）（2）課中講解一、分式方程的定義及解法1．分式方程的定義：含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊且的未知數(shù)的值，這個值叫分式方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程的步驟①去分母（即在方程兩邊都乘，把分式方程化為）；②求出整式方程的解；③檢驗（驗根，把整式方程的根代入最簡公分母；①→是原方程的根；②→是原方程的）．增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．④得出結論．例1.下列各式中分式方程有個．（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．以上都不對過關檢測1．下列關于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個例2．解分式方程，去分母得A． B． C． D．例3．解方程：（1）（2）（3）（4）（5）過關檢測1．解分式方程時，去分母可得A． B． C． D．2．解方程：（1）（2）（3）（4）（5）二、分式方程含參例4．（1）若關于的方程有增根，則的值是A． B． C．3 D．（2）若分式方程有增根，則實數(shù)的取值是A．0或2 B．4 C．8 D．4或8（3）若方程有增根，則它的增根是A．0 B．1 C． D．1和過關檢測1．關于的方程有增根，則方程的增根是A． B．4 C． D．22．關于的方程有增根，則A．或6 B．或 C．或6 D．或或63．分式方程有增根，則的值為A．0和3 B．1 C．1和 D．3例5．（1）若關于的方程無解，則的值是A． B．2 C． D．3（2）若關于的分式方程無解，則的值為A． B．1 C．或2 D．或過關檢測1．若關于的分式方程無解，則的值是A．或 B． C． D．或2．若關于的分式方程無解，則．例6．（1）已知關于的方程有解，則的取值范圍是．（2）關于的分式方程有解，則字母的取值范圍是A．或B． C． D．且（3）若分式方程有正數(shù)解，則的取值范圍是．過關檢測1．已知關于的方程有解，則的取值范圍是．2．已知關于的分式方程有解，則應滿足的條件是A．且 B． C．或 D．或3．若關于的分式方程，有負數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．

三、分式方程的應用列分式方程解應用題步驟（1）審（審題，明確已知量和未知量）（2）設（設出未知數(shù)）（3）列（找出等量關系，列出分式方程）（4）解（解這個分式方程）（5）驗（檢驗根是否滿足原分式方程且符合題意）（6）答（寫出答案并作答）例7．（1），兩地相距48千米，一艘輪船從地順流航行至地，又立即從地逆流返回地，共用去9小時，已知水流速度為4千米時，若設該輪船在靜水中的速度為千米時，則可列方程A． B． C． D．（2）在臨桂新區(qū)建設中，需要修一段全長的道路，為了盡量減少施工對縣城交通工具所造成的影響，實際工作效率比原計劃提高了，結果提前8天完成任務，求原計劃每天修路的長度．若設原計劃每天修路，則根據(jù)題意可得方程．過關檢測1．，兩地相距，新修的高速公路開通后，在，兩地間行駛的長途客車平均車速提高了，而從地到地的時間縮短了．若設原來的平均車速為，則根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．2．某商場銷售一種商品，第一個月將此商品的進價提高作為銷售價，共獲利1200元，第二個月商場搞促銷活動，將商品的進價提高作為銷售價，第二個月的銷售量比第一個月增加80件，并且商場第二個月比第一個月多獲利300元．設此商品的進價是元，則可列方程．例8．列方程解應用題今年1月下旬以來，新冠肺炎疫情在全國范圍內(nèi)迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企業(yè)復工復產(chǎn)急需口罩，某大型國有企業(yè)向生產(chǎn)口罩的、兩廠訂購口罩，向廠支付了1.32萬元，向廠支付了2.4萬元，且在廠訂購的口罩數(shù)量是廠的2倍，廠的口罩每只比廠低0.2元．求、兩廠生產(chǎn)的口罩單價分別是多少元？例9．某快餐店欲購進、兩種型號的餐盤，每個種型號的餐盤比每個種型號的餐盤費用多10元，且用120元購進的種型號的餐盤與用90元購進的餐盤的數(shù)量相同．（1）、種兩型號的餐盤單價為多少元？（2）若該快餐店決定在成本不超過3000元的前提購進、兩種型號的餐盤80個，求最多購進種型號餐盤多少個？過關檢測1．某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元．（1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？（2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤率不低于（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？2．某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用40天時間完成整個工程：當一號施工隊工作5天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前14天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程．（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？學習任務1．在下列方程中，關于的分式方程的個數(shù)有①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．將分式方程去分母后得到的整式方程，正確的是A． B． C． D．3．分式方程有增根，則的值為A．0和2 B．1 C．1和 D．24．當時，方程無解．5．要使方程有正數(shù)解，則的取值范圍是．6．甲、乙兩地相距，如果乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用，已知高鐵列車的平均速度是特快列車的1.6倍，設特快列車的平均速度為，根據(jù)題意可列方程為．7.解分式方程：（1）（2）（3）（4）（5）8．某文化用品商店用2000元購進一批學生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應求，商店又購進第二批同樣的書包，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的3倍，但單價貴了4元，結果第二批用了6300元．（1）求第一批購進書包的單價是多少元？（2）若商店銷售這兩批書包時，每個售價都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？第8講分式方程（解析版）目標層級圖課前檢測1．（1）當為何值時，方程會產(chǎn)生增根．（2）當為何值時，方程無解．（3）已知關于的方程的解為正數(shù)，求的取值范圍．【解答】解：（1）方程會產(chǎn)生增根，，，分式方程化為整式方程后得，，當時，；當時，；當或時，方程會產(chǎn)生增根；（2）分式方程化為整式方程后得，，整理得，，當時，，經(jīng)檢驗是分式方程的增根，當時，方程有無數(shù)個解，當時，方程無解；（3）分式方程化為整式方程后得，，整理得，，，關于的方程的解為正數(shù)，且，，且，的取值范圍，且；

2．解方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解；（2）去分母得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗是增根，分式方程無解．課中講解一、分式方程的定義及解法1．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫分式方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程的步驟①去分母（即在方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程）；②求出整式方程的解；③檢驗（驗根，把整式方程的根代入最簡公分母；①最簡公分母→是原方程的根；②最簡公分母→是原方程的增根）．增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．④得出結論．例1.下列各式中分式方程有個．（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．以上都不對【解答】解：（1）不是等式，故不是分式方程；（2）是分式方程；（3）是無理方程，不是分式方程；（4）是分式方程．故選：過關檢測1．下列關于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：關于的方程②，③中，分母中都含有字母，都是分式方程；關于的方程①，④中，程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程．綜上所述，是分式方程的有②、③，共2個．故選：．例2．解分式方程，去分母得A． B． C． D．【解答】解：分式方程整理得：，去分母得：，故選：．例3．解方程：（1）；（2）（3）（4）（5）【解答】解：（1），解得，經(jīng)檢驗是方程的根．（2）解得經(jīng)檢驗：是原方程的根原方程的解是．（3）解得檢驗：把代入到中，得：原分式方程無解．（4），解得，經(jīng)檢驗是方程的增根．方程無解．（5）原方程可變形為：，左右兩邊分別通分得：，整理得：，去分母得：，解得：．檢驗：將代入．得：是增根，原方程無解．過關檢測1．解分式方程時，去分母可得A． B． C． D．【解答】解：去分母得：，故選：．

2．解方程：（1）（2）（3）．（4）．（5）【解答】解：（1）去分母，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化為1，得：，經(jīng)檢驗，當時，，即是原分式方程的解，所以原方程的解是．（2）去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解．（3）去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的增根，原分式方程無解．（4）方程兩邊同乘得，，解這個方程，得，把代入原來的分母，有一個分母等于0，所以不是原分式方程的解，即是原方程的增根，原方程無解．（5）方程兩邊同乘，得：，整理解得．經(jīng)檢驗是增根，故原方程無解．二、分式方程含參例4．（1）若關于的方程有增根，則的值是A． B． C．3 D．【解答】解：由得，關于的方程有增根，，當時，，解得，故選：．（2）若分式方程有增根，則實數(shù)的取值是A．0或2 B．4 C．8 D．4或8【解答】解：方程兩邊同乘，得，由題意得，分式方程的增根為0或2，當時，，解得，，當時，，解得，，故選：．（3）若方程有增根，則它的增根是A．0 B．1 C． D．1和【解答】解：方程兩邊都乘，得，由最簡公分母，可知增根可能是或．當時，，當時，得到，這是不可能的，所以增根只能是．故選：．過關檢測1．關于的方程有增根，則方程的增根是A． B．4 C． D．2【解答】解：由分式方程有增根，得到，解得：．故選：．2．關于的方程有增根，則A．或6 B．或 C．或6 D．或或6【解答】解：原方程去分母得：因為分式方程的増根為，所以或得或．故選：．3．分式方程有增根，則的值為A．0和3 B．1 C．1和 D．3【解答】解：分式方程有增根，，，，．兩邊同時乘以，原方程可化為，整理得，，當時，代入得：，當時，代入得：，當時，方程為，此時，即方程無解，時，分式方程有增根，故選：．例5．（1）若關于的方程無解，則的值是A． B．2 C． D．3【解答】解：方程無解，是方程的增根，，．故選：．（2）若關于的分式方程無解，則的值為A． B．1 C．或2 D．或【解答】解：方程兩邊都乘以得：，即，分兩種情況考慮：①當時，此方程無解，此時，②關于的分式方程無解，或，即，，當時，代入①得：，解得：此方程無解；當時，代入①得：，解得：，的值是或，故選：．過關檢測1．若關于的分式方程無解，則的值是A．或 B． C． D．或【解答】解：去分母得：，由分式方程無解，得到或，把代入整式方程得：；把代入整式方程得：．故選：．2．若關于的分式方程無解，則或6或1．【解答】解：（1）為原方程的增根，此時有，即，解得．（2）為原方程的增根，此時有，即，解得．（3）方程兩邊都乘，得，化簡得：．當時，整式方程無解．綜上所述，當或或時，原方程無解．例6．（1）已知關于的方程有解，則的取值范圍是．【解答】解：去分母得：，，，，關于的方程有解，，，，解得：，故答案為：．（2）關于的分式方程有解，則字母的取值范圍是A．或 B． C． D．且【解答】解：，去分母得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，關于的分式方程有解，，且，即，系數(shù)化為1得：，且，即，，綜上所述：關于的分式方程有解，則字母的取值范圍是，，故選：．（3）若分式方程有正數(shù)解，則的取值范圍是且．【解答】解：去分母得：，解得：，由分式方程有正數(shù)解，得到且，解得：且，則的取值范圍是且；故答案為：且．過關檢測1．已知關于的方程有解，則的取值范圍是．【解答】解：去分母得：，，，，關于的方程有解，，，，解得：，故答案為：．2．已知關于的分式方程有解，則應滿足的條件是A．且 B． C．或 D．或【解答】解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，分式方程有解，，且，故選：．3．若關于的分式方程，有負數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是且．【解答】解：，分式方程去分母得：，移項合并得：，解得：，分式方程的解為負數(shù)，且，解得：且．故答案為：且．三、分式方程的應用列分式方程解應用題步驟（1）審（審題，明確已知量和未知量）（2）設（設出未知數(shù)）（3）列（找出等量關系，列出分式方程）（4）解（解這個分式方程）（5）驗（檢驗根是否滿足原分式方程且符合題意）（6）答（寫出答案并作答）例7．（1），兩地相距48千米，一艘輪船從地順流航行至地，又立即從地逆流返回地，共用去9小時，已知水流速度為4千米時，若設該輪船在靜水中的速度為千米時，則可列方程A． B． C． D．【解答】解：順流時間為：；逆流時間為：．所列方程為：．故選：．（2）在臨桂新區(qū)建設中，需要修一段全長的道路，為了盡量減少施工對縣城交通工具所造成的影響，實際工作效率比原計劃提高了，結果提前8天完成任務，求原計劃每天修路的長度．若設原計劃每天修路，則根據(jù)題意可得方程．【解答】解：原計劃用的時間為：，實際用的時間為：．所列方程為：，故答案為：．過關檢測1．，兩地相距，新修的高速公路開通后，在，兩地間行駛的長途客車平均車速提高了，而從地到地的時間縮短了．若設原來的平均車速為，則根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．【解答】解：設原來的平均車速為，則根據(jù)題意可列方程為：．故選：．2．某商場銷售一種商品，第一個月將此商品的進價提高作為銷售價，共獲利1200元，第二個月商場搞促銷活動，將商品的進價提高作為銷售價，第二個月的銷售量比第一個月增加80件，并且商場第二個月比第一個月多獲利300元．設此商品的進價是元，則可列方程．【解答】解：方程為：，故答案為：．

例8．列方程解應用題今年1月下旬以來，新冠肺炎疫情在全國范圍內(nèi)迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企業(yè)復工復產(chǎn)急需口罩，某大型國有企業(yè)向生產(chǎn)口罩的、兩廠訂購口罩，向廠支付了1.32萬元，向廠支付了2.4萬元，且在廠訂購的口罩數(shù)量是廠的2倍，廠的口罩每只比廠低0.2元．求、兩廠生產(chǎn)的口罩單價分別是多少元？【解答】解：設廠生產(chǎn)的口罩單價為元，則廠生產(chǎn)的口罩單價為元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，．答：廠生產(chǎn)的口罩單價為2.2元，廠生產(chǎn)的口罩單價為2元．例9．某快餐店欲購進、兩種型號的餐盤，每個種型號的餐盤比每個種型號的餐盤費用多10元，且用120元購進的種型號的餐盤與用90元購進的餐盤的數(shù)量相同．（1）、種兩型號的餐盤單價為多少元？（2）若該快餐店決定在成本不超過3000元的前提購進、兩種型號的餐盤80個，求最多購進種型號餐盤多少個？【解答】解：（1）設型號的餐盤單價為元，則型號的餐盤單價為元，由題意可列方程，解得．經(jīng)檢驗：是原分式方程的根．則．答：型號的餐盤單價為40元，型號的餐盤單價為30元；（2）設購進種型號餐盤個，由題可知，解得．答：最多購進種型號餐盤60個．過關檢測1．某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元．（1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？（2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤率不低于（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？【解答】解：（1）設該商家購進的第一批襯衫是件，則購進第二批這種襯衫是件，依題意有，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：該商家購進的第一批襯衫是120件．（2），設每件襯衫的標價元，依題意有，解得．答：每件襯衫的標價至少是150元．2．某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用40天時間完成整個工程：當一號施工隊工作5天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前14天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程．（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？【解答】解：（1）設二號施工隊單獨施工需要天，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解．答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要60天．（2）根據(jù)題意得：（天．答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要24天．學習任務1．在下列方程中，關于的分式方程的個數(shù)有①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：①是一元二次方程，②，是數(shù)字