湖南省株洲市炎陵縣2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

炎陵縣2023年高二年級(jí)期末素質(zhì)檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）

r?小人A=（尤|4尤<1]3=（才-3<6尤<81n.4n

1.已知集合II1,L/,則AD5=（）

f11413

A.<XX<一>B.<X——<%<—>C.<X%<—>D.<X——<%<—

4,243]24

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合4B,再利用并集的定義求解作答.

【詳解】依題意，A={x[x<；},3={x[—g<x<g},所以AB={x\x<^}.

故選：C

2

2.若復(fù)數(shù)z=—,則以+2—3i|=()

l+i

A.V13B.V17C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)z=2,再由復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算求出z+2-3i,由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.

1+1

22.2(5―一

【詳解】因?yàn)閦=——,所以z=「=

l+il+i(l+i)(j)

所以z+2—3i=l—i+2—3i=3—4i,

所以|z+2—3i|=|3—4i|=*2+(—4J=5.

故選：D.

3.若正實(shí)數(shù)。、6滿足a+2)=l,則當(dāng)ab取最大值時(shí)，。的值是()

11

A.；B,-C.-D.一

2468

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式等號(hào)成立的條件可求得ab取最大值時(shí)”的值.

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。、6滿足a+2b=l,則a+26220^，可得a人

8

1

當(dāng)且僅當(dāng)4a=?2b，時(shí)，即當(dāng)。=2人=—時(shí)，等號(hào)成立.

a+2b=l2

故選：A.

4.如圖所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過(guò)3分鐘漏完.已知圓

柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則”與下落時(shí)間”分)的函數(shù)關(guān)系

表示的圖象只可能是()

【答案】A

【解析】

【分析】

利用特殊值法，圓柱液面上升速度是常量，表示圓錐漏斗中液體單位時(shí)間內(nèi)落下相同的體積，當(dāng)時(shí)間取

1.5分鐘時(shí)，液面下降的高度與漏斗高度的|■比較.

【詳解】由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當(dāng)時(shí)間取1.5分鐘時(shí)，液面下降的高度不會(huì)達(dá)到漏斗高度

的得，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)的圖象可得結(jié)果.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的判斷，常利用特殊值和函數(shù)的性質(zhì)判斷，屬于中檔題.

5.已知函數(shù)/(x)滿足/(2%)=log2X,則/(16)=()

。=5或11,

...當(dāng)刃=11時(shí)，/(%)=sinfllx+yj,

llx+ge（手,牛],此時(shí)與/（x）在上單調(diào)矛盾;

綜上可得：，。=5,

故選：A.

7.已知a、尸是兩個(gè)不同的平面，加、九是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若7〃//〃，"?//?,nll/3,則?！ㄊ珺.若a〃/7,mua,nu/3,則根//〃

C.若m_1_〃，m-La.nVp,則tz_L/7D.若加_L〃，m±a,nil/3,則。_L，

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間中線面、面面、線線位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若〃"/〃，mlla,nil[3,則?！??或a、相交，A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，若aH/3,mua,n^/3,則就歷或加、“異面，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，由于相_1_〃，m±a,可得"ua或〃〃夕，

若〃ua,因?yàn)椤癬L尸，則（z_L/7,

若n/la,過(guò)直線〃作平面/,使得。c7=a,則山/。,

因?yàn)椤癬L〃，則a_L〃，aua,因此，a±/3,C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，若加_1_〃，m±a,n///3,則?！ㄊ騛、相交（不一定垂直），D錯(cuò).

故選：C.

8.蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮

革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月

20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）

的表面上有四個(gè)點(diǎn)A,3,C,P,=平面ABC，則該鞠（球）的表

【答案】C

【解析】

【分析】取旅的中點(diǎn)為。，連接OAOC,可證。為外接球的球心，故可求半徑，從而可得球的表面積.

p

因?yàn)樯?_L平面ABC,而ABu平面ABC,故FALAB,

故。。=Q4=06.

同理B4L5C,而C4L5C,CAPA=AC4,R4u平面Q4C,

故平面PAC,而PCu平面PAC,故6CLPC,

故OP=OC=O瓦

綜上，。為三棱錐尸-A3C外接球的球心，

而P3=7^42+C42+CB2=,4+16+16=6，故外接球的半徑為3,

故球的表面積為4TIX9=36TI，

故選：C

二、多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）

9.以下各選項(xiàng)中，°是q的充分不必要條件的是（）

A.p：某四邊形是菱形，q：某四邊形對(duì)角線相互垂直

B.p：三角形有兩邊上的高相等，q：三角形為等腰三角形

C.p:ac1>be1,q:a>b

D.p:x&AB,q:xeAB

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】A：p-.某四邊形菱形，q：某四邊形對(duì)角線相互垂直，由p可推出q,由q推不出p,

所以p是q的充分不必要條件，故A正確；

B：若三角形有兩邊上的高相等，由等面積法，得這兩邊相等，故三角形為等腰三角形，反之顯然成立，

所以P是q的充分必要條件，故B錯(cuò)誤；

C：若p:砒2>加2成立，顯然CHO,。？〉。，所以所以p是q的充分條件；反之若a>b,取

c=0,ac2-be1,所以p是q的不必要條件，故C正確；

D：因?yàn)樗裕魺o(wú)eAB,則xeAUB,故p是4的充分條件；xeAUB不能得

到xwAB,故p是q的不必要條件，故D正確.

故選：ACD.

10.若不等式or?—法+c>o的解集是(―1,2),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.a+b+c=0B.a<0

C.6>。且c<0D.不等式的解集是R

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集求得a,4c的關(guān)系式，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由于不等式公2—法+°>0的解集是(—1,2),

所以a<0,B選項(xiàng)正確，

-1+2」卜上

且I"，即，"，則b=/°=—2a,

,cCcC

—1x2=——2=一

、a[a

所以Q+Z?+C=Q+Q-2Q=0,A選項(xiàng)正確，

b=a<0,c=—2a>0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

不等式ar?+cx+Z?>0,即ax2-2ax+a>0，

即％2—2x+l=(x—1)2<0,無(wú)解，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB

11.給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有()

A非零向量a，b，滿足,|〉卜|且a與6同向，則a>b

B.若單位向量6，02的夾角為60。，則當(dāng)囚-聞(teR)取最小值時(shí)，t=l

/、

ABAC

C.在，ABC中，若I_|+r_IBC=0,則ABC為等腰三角形

UABIlACU

D.己知0=(1,2),b=(l,l),且a與a+的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是|,+s]

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)向量的定義，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積求得=—iy+3,可判定B正

ABAC

確；由g+E表示與/A的平分線共線的向量，結(jié)合三角形的性質(zhì)，可判定C正確；當(dāng);1=°時(shí)，

得到向量a與向量a+的夾角為0,可判定D項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，因?yàn)閱挝幌蛄縂,e2的夾角為60，可得e”?同COS60=；,

則pq—fej=J(2q-te,)-=J4e1一+廠e2—-e,=y/t~—2t+4=_1)2+3，

當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，|2，-加2]取得最小值，最小值為舊，所以B正確；

ABAC

對(duì)于C中，因?yàn)閑+g表示與NA的平分線共線的向量，

/\

ABAC

又因?yàn)?~|+i—?BC=0,可得/A的平分線與垂直，所以ABC為等腰三角形，所以C正

確；

對(duì)于D中，當(dāng)4=0時(shí)，此時(shí)向量a與向量a+XZ，的夾角為0,所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

12.如圖.尸為，ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角AB,C的對(duì)邊分別為a,4c,總有優(yōu)美等式

SPBCQA+SPACM+SPABPCMO成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題

是真命題的有（）

A.若P是右ABC的重心，則有P4+PB+PC=0

B.若。24+b。3+°。。=0成立，則P是_ABC的內(nèi)心

21

C.若AP=—AB+—AC,則以加戶：S^ABC=2:5

D.若P是&ABC的外心，4=弓，PA=mPB+nPC＞則加+"千-逝」）

【答案】AB

【解析】

【分析】對(duì)于A：利用重心的性質(zhì)SAPBC=SAPAC=SAPAB，代入SPBC^+SPACPB+S卸PC=O即

可；

對(duì)于B：利用三角形的面積公式結(jié)合SM%+SPACPB+SPABPC=O與a~4+匕PB+cPC=O可知

點(diǎn)P到AABC、C4的距離相等.

對(duì)于C：利用ARAC將PAPRPC表示出來(lái)，代入SPBCK4+SHCPB+SPMPC=0,化簡(jiǎn)即可表

示出S^PBC、SAPAC^S4PAB的關(guān)系式，用Sp"將打9、S^BC表示出來(lái)即可得處其比值.

對(duì)于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將PA="zPB+〃PC兩邊平方，化簡(jiǎn)可得

m2+n2-1-結(jié)合加、”的取值范圍可得出答案.

【詳解】對(duì)于A：如圖所示：因?yàn)?。、E、尸分別為C4、AB.5c的中點(diǎn),

所以c尸=2尸￡，sAEC=hABC,sAPC=hAEC=^SABC,

同理可得sAPB=—SABC>sBPC=-SABC'

所以S△pBc~S△PAC-'△PAB，

又因?yàn)镾PA+SPACPBSPADPC—01

uuUULuinui

所以24+23+2。=0.正確；

對(duì)于B：記點(diǎn)尸到AB、BC、C4的距離分別為九、4、用，

S/iPBC-5"%，SAPAC=%，s△尸AB=50,4，

因?yàn)镾PBCPA.+SPACPB+SDARPC—0,

11-1

則5a?^?叢+萬(wàn)力4,3+5c

即a-/z2H4+6/z3P5+c-4PC=0,

又因?yàn)閍PA+ZjPB+cPC=O，所以4=%=%,所以點(diǎn)「是_45。的內(nèi)心，正確;

對(duì)于C：因?yàn)锳P=2AB+」AC,

55

2131

所以PA=—《AB—§AC,所以BB=PA+AB=《AB—《AC,

24

所以尸C=PA+AC=—《AB+yAC,

_§AB_gA°+S241

PAC^|AB-|ACJ+S-AB+-AC=0,

所以SPBCPAB55J

-s+h-hPAJAB+1—《SPBC4)

化簡(jiǎn)得:PBCPAC--SPAC+JSPABIAC=0,

5

又因A3、AC不共線,

2+3sPAC-[S

—scPBC5PAB二0

5SPBC=2SPAB

所以《，所以V

_J-SSPAC=2S,PAB

--SPBC50PAB二0

、5

qv1

所以資型二^一幽—=-,錯(cuò)誤;

AABC3PBC+?PAC+DPAB°

15.已知a/eR,a+3i是關(guān)于x的方程%2+2%+人=。的根，則〃+/,=.

【答案】9

【解析】

【分析】代入方程的根，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解即可

【詳解】由題可知（a+3i）2+2（a+3i）+〃=0,即（a?+2a—9+Z?）+（6a+6）i=。，所以

a2+2a-9+b=0,fa=-1

\解得1所以a+Z?=9.

[6a+6=0,〔"=10,

故答案為：9

16.2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，弦圖是由

四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），直角三角形中較小的銳角為9,若

sine+cos8=|行，則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為

【答案】5

【解析】

【分析】用三角函數(shù)表示直角三角形的兩條直角邊，得小正方形的邊長(zhǎng)為cos。-sin。，由

sine+cos。=|百解出cos?！猻in。，即可求大正方形與小正方形的面積之比.

【詳解】如圖所示,

設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為1,則。G=sin8=CR,CG=cos。，小正方形的邊長(zhǎng)為cos6—sin。,

3r~94

由sine+cos9=g\/5,兩邊同時(shí)平方得l+2sin6cose=s，2sin6cose=《

所以（cos。-sin=1-2cos^sin6>=—,

5

儼

則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為=5

（cos^-sin^）2

故答案為：5

四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.四邊形ABC。是圓柱。。1的軸截面，￡為底面圓周上的一點(diǎn)，AE=2百，BE=4,AD=5.

(1)求證：BE,平面ADE；

(2)求圓柱的表面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)48萬(wàn)

【解析】

【分析】(1)推導(dǎo)出BE^AD,由此能證明BE，平面ADE.

(2)利用勾股定理求出A3,從而得到底面圓的半徑乙由此能求出圓柱的表面積.

【小問(wèn)1詳解】

證明：四邊形ABCD是圓柱。。1的軸截面，E為底面圓周上的一點(diǎn)，

所以平面ABE,BEu平面ABE,所以3石，4)

.-.BE±AE,

AD^AE=A，AD,AEu平面ADE,二跖，平面ADE.

【小問(wèn)2詳解】

解：AE=2逐,BE=4>AD=5.

圓柱的表面積：S=2^r+2^r-Ar>=2^x9+2^x3x5=48^.

18.在一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.滿足（2a-c）cos5=bcosC.

(1)求角8的大小;

(2)設(shè)a=4,b=2幣.

(i)求c的值；

(ii)求sin(2C+5)的值.

7T

【答案】(1)-

3

(2)(i)c=6；(ii)—巫

14

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和誘導(dǎo)公式求解即可.

(2)(i)利用余弦定理求解即可；(ii)利用二倍角公式，兩角和的正弦定理結(jié)合即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)正弦定理得，（2sinA-sinC）cosB=siaBcosC,

可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA,

因?yàn)镺VA<TI,故sinAwO,貝Ucos5='，

2

IT

又所以8=

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，B=|,且。=4,b=2幣,

即工=16+128,解得c=—2（舍），。=6.

22x4xc

故。=6.

（ii）由（2a-c）cos5=Z?cosC,

M（2x4-6）x1=2V7cosC,

解得cosC=——>貝！lsinC=Jl-3721

14\14

貝!Isin2C=2sinCcosC=

14

,13

cos2C=2cos2C-l=-----,

14

貝(Isin(2C+B)=sin2CcosB+cos2csinB

地」+13代=一空

14214214

19.如圖所示，ABC。是正方形，。是正方形的中心，POJ_底面A8CD,底面邊長(zhǎng)為a,E是尸C的中

點(diǎn).

(1)求證：朋〃平面BOE；

(2)平面E4C_L平面BDE；

(3)若二面角E-8。-C為30。，求四棱錐尸-ABCD的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析(3)逅

18

【解析】

【分析】(1)連接。石可證OEPA從而得到要證明的線面平行;

(2)再通過(guò)證明平面？AC得到要證明的面面垂直.

(3)設(shè)OC的中點(diǎn)為歹，可證石產(chǎn)上平面且NEO/是二面角￡—50—C的平面角，從而

ZEOF=3QP,故可得E到平面ABCD的距離，它的兩倍是尸到底面ABCD的距離，最后根據(jù)公式計(jì)算

四棱錐的體積.

【小問(wèn)1詳解】

證明:

p,

連接OE,如圖所示.：。,￡分別為4。,/＞。中點(diǎn)，，?！辍ā?.

；OEu面BDE,上4＜2面5￡）石，，刈//面瓦）石.

【小問(wèn)2詳解】

面ABC。，BDu面ABCD,APOYBD.

在正方形ABC。中，BD±AC,又,：POAC=O,二5。上面PAC.

又：u面3￡）E,?..面B4C，面3Z）E.

【小問(wèn)3詳解】

取OC中點(diǎn)尸，連接石R.：E為PC中點(diǎn)，；.ER為APOC的中位線，PO.

又：PO1面ABC。，.?.所上面ABC。，

由（1）可知3D上面PAC,而OEu面？AC,所以0￡_15￡）,*.?OFLBD,

：.NEOE為二面角E—8D—C的平面角，

ZEO尸=30。.

在R/AOEF中，OF^-OC^-AC^—a，

244

AEF=OFtan30°=—tz，：.OP=2EF=Ja.

126

.T/_12屈_A/63

',VP-ABCD^~xax~^xa=-^a.

3618

20.已知函數(shù)/（》）=25皿25+。），20,|同＜5的圖像向右平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到且（力的圖像,

g（X）圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/（%）的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是y.

（1）求“X）的解析式，并求其在［0,句上的增區(qū)間；

(2)若/(x)+2m—3=0在xe0,1上有兩解，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

n7

【答案】(1)/(x)=2sin|2x+-I，—>冗;(2)

3。修12

【解析】

【分析】⑴根據(jù)平移變換得到g(x)圖像，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得"%)的解析式，令

77"77"77"

2k兀-----<2x-\——<2k兀+—,可得結(jié)果

232

JTJnI4

(2)令+問(wèn)題等價(jià)于2siiU=3-2根在此可上有兩解，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.

33

【詳解】解:由/(%)的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是工，則7=二="，,0=1,

22a)

71

「./(x)=2sin(2x+0)g(x)=2sin2x——I+—2sinf2%-—~\-(p

3

函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，—。+夕=左不，隔<5所以夕=。

71

/./(x)=2sinI2x+—

3

TTJT7T5TT

(1)由2k?！?lt;2x-\——<IkjrH——，左￡Z得kn-----7i<x<kjiH----,keZ

2321212

57T713

令k=0得—一^-<x<—,左二1得一71<X<——71

12121212

717

\/(X)在［0,司增區(qū)間是0,—K

1212

八乃71,乃4

(2)令”2%+g,XG0,一，貝。％￡一,—71所以2sinte[-a,2]

233

n4

若〃x)+2加一3=0有兩解,即2sin%=3-2zn在1￡y,—上有兩解,

由y=2sin/的圖象可得，6<3—2根<2，即1<2/〃W3—G

13-V3

22

13-y/3

m的取值范圍是

22

21.已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為40萬(wàn)元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還需另外投入16元，設(shè)該公司一

年內(nèi)共生產(chǎn)x萬(wàn)件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為R（x）萬(wàn)元，且已知

400-6x,0<%<40

刈力=,740040000,c

----------廣，龍>40

xx

（1）求利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式:

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)？公司在該款產(chǎn)品生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).

—6x"+384%—40,0<xK40

【答案】（1）W=一理°%6x+7360,x>40；

X

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為32萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6104萬(wàn)元.

【解析】

【分析】（1）利用利潤(rùn)等于收入減去成本，分兩種情況討論得到分段函數(shù)的解析式;

（2）求出分段函數(shù)的每一段的最大值，再比較最大值即得解.

【小問(wèn)1詳解】

由題得利潤(rùn)等于收入減去成本.

當(dāng)0<x44。時(shí)，W=xR(x)-(16%+40)=—612+384%-40；

當(dāng)1>40時(shí)，W=(x)-(16%+40)=_f9922-16%+7360.

—6九2+384%—40,0<x?40

40000

-16%+7360,%>40

x

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)0<x<40時(shí)，W=—6^+384元-40=—6(九一32)2+6104,.?.元=32時(shí)，%=W(32)=6104；

當(dāng)x>40時(shí)，W=_f2222_16x+7360<-2-16x+7360,

XX

當(dāng)且僅當(dāng)上‘=16x,即1=50時(shí)，暝1ax=W(50)=5760,

X

6104>5760

.?.尤=32時(shí)，W的最大值為6104萬(wàn)元，

即當(dāng)年產(chǎn)量為32萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6104萬(wàn)元.

22.已知函數(shù)/(力=1082(4*+1)+依為偶函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)人的值；

(2)解關(guān)于用的不等式/(2加1)