24.1.4 圓周角（第1課時） 教學(xué)設(shè)計

24.1.4圓周角（第1課時）教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用在學(xué)習(xí)了圓的基本概念、性質(zhì)以及圓心角概念、性質(zhì)等相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，本節(jié)學(xué)習(xí)圓周角的概念及其圓周角定理。圓周角與圓心角的關(guān)系在圓的有關(guān)證明、計算中應(yīng)用比較廣泛。圓周角內(nèi)容既是前面所學(xué)知識的延續(xù)，又是后面研究圓與其它平面幾何圖形的橋梁和紐帶。概念解析圓周角指的頂點在圓周上，角的兩邊與圓相交的角。因此圓周角的兩個的特征：（1）頂點在圓周上；（2）角的兩邊與圓相交。這就意味著角的邊與圓有除頂點外的還有另外一個交點。同時圓周角與同弧所的圓心角之間存在不變的數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系能夠深刻反映與圓有關(guān)的幾類特殊的角之間的相互聯(lián)系。思想方法通過對同一圓弧所對的圓周角進(jìn)行分類討論、探究證明，體會到特殊到一般思想、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想。圓周角定理的“探索——證明”過程能培養(yǎng)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，同時讓學(xué)生掌握從特殊到一般、分類討論的等思維方法。圓周角知識揭示了幾何領(lǐng)域中“位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系”的辯證統(tǒng)一，蘊(yùn)含著“變中不變”的思想，即在變化過程中把握不變的規(guī)律（位置變化、結(jié)論不變）。知識類型圓周角的概念屬于概念性知識，圓周角定理是關(guān)于原理與規(guī)則的知識。由知識類型所決定，教學(xué)中要突出圓周角定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程。教學(xué)重點本節(jié)課的教學(xué)重點是圓周角的概念和圓周角定理的發(fā)現(xiàn)與證明。教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)：1．理解圓周角的概念；2．理解并證明圓周角定理；3．能運用圓周角定理進(jìn)行簡單的證明和計算。目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是能在具體的圖形中正確識別一條弧所對的圓周角；達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是能通過畫圖、觀察、度量、歸納等方式發(fā)現(xiàn)一條弧所對的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，并能證明一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半；達(dá)成目標(biāo)3的標(biāo)志是能在具體問題中運用圓周角定理進(jìn)行簡單的證明和計算。教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“圓心角”等概念知識，學(xué)生對于圓的相關(guān)內(nèi)容有一定的了解，對探究具體的幾何圖形的性質(zhì)與判定已具備了一定的思維經(jīng)驗。與本課目標(biāo)的差距分析由于一條固定的弧所對的圓周角有無限多個，如何讓學(xué)生將“無限個”轉(zhuǎn)化成“有限個”來研究，這種理解的難度較高。存在的問題：對圓周角定理的證明要對所有情況進(jìn)行分類，對每類加以討論，再概括得出一般結(jié)論。這種分情況證明命題的方法學(xué)生還不熟悉。同時，先證明分類中最為特殊情況的正確性，再將其它較為復(fù)雜的情況轉(zhuǎn)化這種特殊情形加以解決，這種從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法對于學(xué)生而言也具有相當(dāng)?shù)碾y度。應(yīng)對策略：教學(xué)時要注重在直觀認(rèn)識圓周角的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，要關(guān)注將弧的度數(shù)向圓心角、圓周角遷移，將弧與之所對的圓心角、圓周角作多維聯(lián)系、多向思考。通過動手、觀察、類比、猜想、合作交流等方式，加強(qiáng)直觀感知的過程。適當(dāng)借助信息技術(shù)，動態(tài)地展示圓周角的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解。教學(xué)難點本節(jié)課的教學(xué)難點：圓周角定理的探究與證明。教學(xué)支持條件分析探索圓周角定理時，為了將抽象問題直觀化，可以利用幾何畫板的動畫功能，讓學(xué)生通過一個圓周角的頂點在圓上旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)與另一個圓周角之間的關(guān)系，讓兩上知識的產(chǎn)生非常自然；再利用動畫功能，將圓周角所對的弦特殊化（經(jīng)過圓心），讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)此時圓周角的特殊性。教學(xué)過程設(shè)計課前檢測1．下列說法錯誤的是（）A．直徑是圓中最長的弦B．長度相等的兩條弧是等弧C．面積相等的兩個圓是等圓D．半徑相等的兩個半圓是等弧2．如圖，在⊙O中，若點C是劣弧AB的中點，∠A=50°，則∠BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°3．如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是__________．設(shè)計意圖：檢查學(xué)生對圓心角概念和性質(zhì)的掌握程度，如果學(xué)生對于第1題做得不好，則需要復(fù)習(xí)圓和等弧的概念；如果學(xué)生對于第2、3題做得不好，則需要回顧圓心角的概念和性質(zhì)定理。課堂引入問題1上節(jié)課，我們研究了“圓心角”，下面請同學(xué)們在下圖中畫出一個圓心角。根據(jù)畫出的說出“圓心角”的概念，并說明“圓心角”的性質(zhì)?問題2現(xiàn)在將圖中的圓心角∠AOB的頂點O移到圓周上，點A、B不變，此時記這個角為∠ACB，則∠ACB有什么特征?師生活動設(shè)計：學(xué)生畫圖、回答、交流，教師評價。設(shè)計意圖：通過畫圖，復(fù)習(xí)圓心角的概念，并回憶“圓心角”的性質(zhì)，為下面研究“圓周角”的概念與性質(zhì)作鋪墊。讓學(xué)生通過觀察圖形，得到這個角有“頂點在圓周上”和“角的兩邊都和圓相交”這兩個特點。問題3：如果我們把“像上圖中的∠ACB”這樣的角叫“圓周角”，那么你能給“圓周角”下個定義嗎?(圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角。)追問：根據(jù)圓心角的學(xué)習(xí)過程，我們將從哪幾個方面來研究“圓周角”?師生活動設(shè)計：教師引導(dǎo)學(xué)生思考問題，學(xué)生回答問題并交流。設(shè)計意圖：讓學(xué)生根據(jù)圖形特征，說出“圓周角”的概念，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和語言表述能力。追問則進(jìn)一步強(qiáng)化研究幾何問題的“定義——判定——性質(zhì)——應(yīng)用”研究過程。問題4對的，我們還要繼續(xù)研究圓周角的判定條件、性質(zhì)和應(yīng)用。那么如何判定一個角是圓周角呢?下面這些角是圓周角嗎？師生活動設(shè)計：教師要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生利用“定義法”判定圓周角。設(shè)計意圖：讓學(xué)生想到用“定義法”作出判定，這是對圖形作判定的通法。測評1找出圖中的所有圓周角______________.設(shè)計意圖：檢測目標(biāo)（1）是否達(dá)成．若測評不合格，則回到圓周角概念教學(xué)環(huán)節(jié)。合作探究問題5：下面，我們來探究一下圓周角的性質(zhì)。一條弧所對的圓周角有多少個?請你在圖中畫圖并嘗試。這個問題與上節(jié)課學(xué)習(xí)的一條弧所對的圓心角有什么不同?追問1：同一條弧上的無數(shù)個圓周角，你認(rèn)為可以用什么思想方法來研究?追問2：同一條弧上的圓周角可分成幾種情況?用什么分類標(biāo)準(zhǔn)對同一圓弧所對的圓周角進(jìn)行分類?設(shè)計意圖：通過畫圖、觀察，感受一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，而一條弧所對的圓心角只有一個，并產(chǎn)生認(rèn)知沖突，為下面將“無限型”問題轉(zhuǎn)化成“有限型”來研究作鋪墊。讓學(xué)生感悟當(dāng)研究對象的數(shù)量為無數(shù)個時，一般可以運用分類的方法來研究問題，從而讓學(xué)生用類比的思維方式得到要研究這無數(shù)個圓周角的性質(zhì)，就必須用分類的思想方法。問題6：如何研究這三類圓周角的性質(zhì)?在分類討論基礎(chǔ)上，以情形1為例進(jìn)行具體研究。情形1：圓心O在∠BCA的一邊上（特殊情形）針對情形2、3，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過添加輔助線CD，可以將問題轉(zhuǎn)化為情形1的基本圖形，從而讓學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。情形2：圓心O在∠BCA的內(nèi)部情形3：圓心O在∠BCA的外部證明完畢后，小結(jié)得到分類討論問題的一般步驟，以及圓中的常見輔助線添加方法。追問：從對上述關(guān)于圓周角的三類問題的解決中，你可得到什么結(jié)論?圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半。設(shè)計意圖：要研究這三類圓周角的性質(zhì)，就可以先從最為特殊的“圓心在圓周角的一邊上”這個問題開始，然后再去研究其他兩種情況，即運用“從特殊到一般”的方法來解決問題。追問的目的是讓學(xué)生明晰研究路徑，小結(jié)探究結(jié)論和解決問題的探索經(jīng)驗，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)經(jīng)驗。鞏固練習(xí)1.如圖1，A、B、C是圓上的點，且∠C=70°，則∠AOB=__________，∠OAB=__________．2.如圖2，A、B、C、D是圓上的點，∠BPD=70°，∠A=40°，則∠D=__________．問題：圓周角定理聯(lián)系的是哪兩類角？在圓中求角的大小，一般可以從哪幾個角度切入？回答：根據(jù)同一圓弧聯(lián)系圓心角和圓周角。可以從圓心角（圓周角）——弧——圓周角（圓心角）進(jìn)行研究。師生活動設(shè)計：學(xué)生回答問題并交流，教師反饋、小結(jié)。設(shè)計意圖：通過練習(xí)，讓學(xué)生體會在解決與圓有關(guān)的問題時，要牢牢抓住圓中出現(xiàn)的弧，找到同弧所對的圓周角或圓心角，再利用它們之間的關(guān)系解決問題。測評2在圓O中，弦AB所對圓心角度數(shù)為40°.其中點C在圓上，則∠ACB的度數(shù)為__________.設(shè)計意圖：檢測目標(biāo)（2）是否達(dá)成.若測評不合格，則講解測評2，完成后再測（測評3）.測評3在圓O中，C是弧AB上的一點，∠AOB=n°，求∠ACB的度數(shù).測評4如圖，在圓O中，∠AOC=140°，∠ACB=50°，求∠BAC的度數(shù).設(shè)計意圖：檢測目標(biāo)（1）（3）是否完成.若測評不合格，則講解測評4，完成后再測（測評5）測評5已知：如圖，CD，AB是圓O的兩條弦，且弧AD=弧BC.求證CD∥AB.課堂小結(jié)問題1本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些新知識？問題2我們是怎么探索并證明圓周角定理的？問題3圓周角定理的探索與證明過程體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？師生活動設(shè)計：師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答問題。設(shè)計意圖：梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法、思路，養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的良好習(xí)慣，加強(qiáng)學(xué)習(xí)反思，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果。目標(biāo)檢測設(shè)計1．下列說法正確的是（）A．頂點在圓上的角是圓周角B．兩邊都和圓相交的角是圓周角C．圓心角是圓周角的2倍D．圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半2．如圖，在⊙O中，∠BOC=50，則∠BAC=()A.50°B.25°C.30°D.65°3．在⊙O中，同弦所對的圓周角（）A．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)D．都不對4．如圖，AB和CD都是⊙O的