2023-2024學(xué)年浙江省寧波市九年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷（12月份）

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄲州區(qū)宋詔橋中學(xué)九年級（上）競

賽數(shù)學(xué)試卷（12月份）

一\填空題（1-10題每題4分，11-16題每題6分，共76分）

1.（4分）甲、乙、丙三個(gè)箱子原本各裝有相同數(shù)量的小球，已知甲箱內(nèi)的紅球占甲箱內(nèi)小

球總數(shù)的工，乙箱內(nèi)沒有紅球，丙箱內(nèi)的紅球占丙箱內(nèi)小球總數(shù)的工，小榮將乙、丙兩箱

412

內(nèi)的球全部倒入甲箱后，要從甲箱內(nèi)取出一球，若甲箱內(nèi)每個(gè)球被取出的機(jī)會相等，則小榮

取出的球是紅球的概率為一.

2.（4分）（2023?市北區(qū)■模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,尸是AB中點(diǎn)，以

點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作弧交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)3為圓心，5尸為半徑作弧交3c于點(diǎn)G,

則圖中陰影部分面積的差H-邑為—.

3.（4分）（2022?山西）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊CD的

延長線上，且BE=DF,連接￡F交邊AD于點(diǎn)G.過點(diǎn)A作ANLEF,垂足為點(diǎn)交

邊CD于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8,則線段4V的長為.

4.（4分）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形

面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為。、6、c,則三角形的面積S可由公式

S=（P（P-a）（p-b）（p-c）求得,其中0為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦

九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足。=3,。+c=5,則此三角形面積的最大值為一.

5.（4分）如圖，O的弦AB=8,直徑CD_LAB于OM:MD=3:2,E是劣弧CB上

一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交AB的延長線于點(diǎn)F連結(jié)DE,則CE-CF的值為

c

6.（4分）二次函數(shù)y=依?+4x+l（a為實(shí)數(shù)，且。<0）,對于滿足啖上機(jī)的任意一個(gè)x的

值，都有-2麴，2,則機(jī)的最大值為

7.（4分）（2022?吉州區(qū)模擬）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=1,BC=6,點(diǎn)、P是AD

邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)8P,點(diǎn)C關(guān)于直線B尸的對稱點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C1也隨之

運(yùn)動.若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)￡>,則線段CG掃過的區(qū)域的面積是

APD

BC

8.（4分）已知拋物線b,c為常數(shù)，a/0）經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,（0,4）,其對

稱軸在y軸左側(cè).有下列結(jié)論：@abc>0;②方程g?+6x+c=-5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③T<a<0.其中，正確結(jié)論的序號為.

9.（4分）（2022?高青縣一模）已知點(diǎn)A（2,4）,8（0,1）,點(diǎn)/在拋物線y=上運(yùn)動，則

AM+5M的最小值為.

10.（4分）（2021秋?恩陽區(qū)期中）設(shè)AABC的重心為G,且4G=6,BG=8,CG=10.則

q-—-?

11.（6分）（2020?姜堰區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AO=6,點(diǎn)E在邊BC上，

且破:EC=2:1,動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動到點(diǎn)。停止，過點(diǎn)后作灰,收交矩形

ABCD的邊于尸，若線段EF的中點(diǎn)為〃，則點(diǎn)尸從C運(yùn)動到。的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動的路

線長為.

12.（6分）（2023?成縣三模）我國是最早了解勾股定理的國家之一.如圖，在RtAABC中，

ZACB=90°,以其三邊為邊分別向外作正方形，即可證明勾股定理.連接CG交互于點(diǎn)M,

13.（6分）（2014秋?寧?？h月考）半圓O的直徑AB=9,兩弦鉆、CD相交于點(diǎn)E,弦

27

CD=——，且3￡>=7,貝!1DE=.

5

D

14.（6分）（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，在AABC中，ZA=15°,AB=2,P為AC邊

上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A、C重合），連接3P,則'AP+PB的最小值是

2------

B

15.（6分）如果一個(gè)三角形一邊上的高與該邊相等，我們稱這個(gè)三角形為“等邊高三角形”，

這條邊就叫做“高邊”.若等邊高AABC（AABC為銳角三角形）內(nèi)接于一O,3C是高邊，

AD_LBC交3c于￡點(diǎn)，交（。于。點(diǎn)，DE=2,EC=3,貝UO的直徑為.

16.（6分）如圖，在.。中，是一條不過圓心。的弦，點(diǎn)C,。是AB的三等分點(diǎn)，直

徑CE交AB于點(diǎn)F,連結(jié)AD交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過點(diǎn)C作CE的垂線交54的延長

線于點(diǎn)連結(jié)3C交加>于點(diǎn)N,若.O的半徑為5,4〃=回，則AANB的周長為

二、解答題（每題12分，共24分）

17.（12分）（2022?高青縣一模）如圖，菱形ABCD與菱形GECF的頂點(diǎn)C重合,

ZBCD=NECF=?,已知菱形GECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的角度為a.

圖①圖②圖③

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)G在對角線AC上時(shí)，—=；

BE

（2）如圖②，當(dāng)菱形GECF按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度為a（0。<a<60。），線段AG與鹿之

間的數(shù)量關(guān)系為—，并證明你的結(jié)論;

（3）如圖③，在菱形GECF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)A,G,P在同一條直線上時(shí)，連接CG

并延長，交4）于點(diǎn)若CE=2,GH=6,求AH的長.

18.（12分）如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,尸是3c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合）,

過點(diǎn)P作AZ?于點(diǎn)D,連接CD并延長交三角形A5c的外接圓于點(diǎn)E,連接EA,EB,

AP.

(1)若CD。=CP-CB,求證：BD=BE.

(2)如圖2,AC=2,BC=4.

①若AE=33E,求"的長.

②求DE的最大值.

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄲州區(qū)宋詔橋中學(xué)九年級（上）競

賽數(shù)學(xué)試卷（12月份）

參考答案與試題解析

一、填空題（1-10題每題4分，11-16題每題6分，共76分）

1.（4分）甲、乙、丙三個(gè)箱子原本各裝有相同數(shù)量的小球，已知甲箱內(nèi)的紅球占甲箱內(nèi)小

球總數(shù)的乙箱內(nèi)沒有紅球，丙箱內(nèi)的紅球占丙箱內(nèi)小球總數(shù)的上，小榮將乙、丙兩箱

412

內(nèi)的球全部倒入甲箱后，要從甲箱內(nèi)取出一球，若甲箱內(nèi)每個(gè)球被取出的機(jī)會相等，則小榮

取出的球是紅球的概率為-.

一18一

【答案】

18

【考點(diǎn)】概率公式

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力

【分析】首先設(shè)每個(gè)箱子中有球x個(gè)，然后表示出三個(gè)箱子中紅球的個(gè)數(shù)，然后求得其和，

最后利用概率公式求解即可.

【解答】解：設(shè)每個(gè)箱子中原來有球x個(gè)，

甲箱內(nèi)的紅球占甲箱內(nèi)球數(shù)的工，乙箱內(nèi)沒有紅球，丙箱內(nèi)的紅球占丙箱內(nèi)球數(shù)的

412

17

.?.甲箱內(nèi)的紅球有L工,乙箱內(nèi)紅球?yàn)?,丙箱內(nèi)的紅球有‘X個(gè)，

412

三個(gè)箱子中共有紅球工工+2％=3%個(gè)，

4126

5

一x

二取出的球是紅球的概率為：￡=9,

3x18

故答案為：

18

【點(diǎn)評】本題考查了概率公式，解題的關(guān)鍵是表示出箱子中球的總數(shù)，然后表示出每個(gè)箱子

中紅球的個(gè)數(shù)，難度不大.

2.（4分）（2023?市北區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,尸是AB中點(diǎn)，以

點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作弧交至于點(diǎn)E,以點(diǎn)3為圓心，成為半徑作弧交3C于點(diǎn)G,

則圖中陰影部分面積的差邑為_12-牛

【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算；LB：矩形的性質(zhì)

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】根據(jù)圖形可以求得所的長，然后根據(jù)圖形即可求得工-S2的值.

【解答】解：,在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,尸是他中點(diǎn),

:.BF=BG=2,

扇扇形

.?.UQ]一UQ矩形SS3GF+32'

.-=4x3-也立-匕g=12-世，

3603604

故答案為：12-比.

4

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3.（4分）（2022?山西）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊CD的

延長線上，且3石=。戶，連接￡F交邊AD于點(diǎn)G.過點(diǎn)A作ANLEF,垂足為點(diǎn)M,交

邊CD于點(diǎn)N.若BE=5,3=8,則線段4V的長為_4衣

【答案】4后.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；展開與折疊；幾何直

觀；推理能力；應(yīng)用意識

【分析】連接鉆，AF,EN,由正方形的性質(zhì)可得=，BC=CD,

ZABE=ZBCD=ZADF=90。，可證得AASE=AADF（S4S）,可得ZE4E=NZMF,AE=AF,

從而可得NEAF=90。，根據(jù)等腰三角形三線合一可得點(diǎn)”為防中點(diǎn)，由㈤VLEF可證得

\AEM=\AFM{SAS),AEMN=AFMN(SAS),可得EN=FN,設(shè)DN=x,則

EN=FN=X+5,CE=X+3,由勾股定理解得X=12,可得。N=12,AD=BC=20,由

勾股定理即可求解.

【解答】解：如圖，連接AE,AF,EN,

?四邊形ABCD為正方形，

:.AB^AD,BC=CD,ZABE=ZBCD=ZADF=90。,

BE=DF,

:.AABE=AADF(SAS),

.\ZBAE=ZDAF,AE=AF,

ZEAF=90°,

AE4F為等腰直角三角形，

AN.LEF,

：.EM=FM,ZEAM=ZFAM=45°f

\AEM=AAFM(SAS),AEMN=\FMN(SAS),

.\EN=FN,

設(shè)DN=x,

BE=DF=5,CN=8,

:.CD=CN+DN=x+3,

,\EN=FN=DN+DF=x+5,CE=BC—BE=CD—BE=x+8—5=x+3,

在RtAECN中，由勾股定理可得：

CN2+CE2=EN2,

即82+0+3)2=0+5)2,

解得：%=12,

.\DN=12,AD=BC=BE+CE=5-^-x+3=20f

AN=y/AD2+DN2=^202+122=4A/34,

解法二：可以用相似去做，AAZW與AFCE相似，設(shè)正方形邊長為x,

DNAD日口x-8x

-------=-------,----------=---------

ECCFx-5x+5

x=20.

在AADN中，利用勾股定理可求得AN=4后.

故答案為：4A/§4.

【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)

等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形解決問題.

4.(4分)中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形

面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為“、6、c,則三角形的面積S可由公式

S=《p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中0為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦

九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足a=3,6+c=5,則此三角形面積的最大值為3.

【答案】3.

【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【專題】運(yùn)算能力；二次根式

【分析】將已知條件。+6=5變形為6=5-代入公式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出解.

【解答】解：：三角形的邊長滿足a=3,b+c=5,

p=；(a+b+c)=4,b=5—c9

S=Qp(p-a)(p-b)(p-c)

=J4X(4-3)X(4-5+C)X(4-C)

=,4(c-1)(4—)

=14(c-|r+9,

當(dāng)c=*時(shí)，S有最大值為3.

2

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出

相應(yīng)的三角形的面積.

5.(4分)如圖，。的弦AB=8,直徑CD_LAB于"，OM:MD=3:2,E是劣弧CB上

一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交AB的延長線于點(diǎn)F連結(jié)DE,則CE?CF的值為80

【答案】80.

【考點(diǎn)】勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理

【專題】圖形的相似；等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能

力

【分析】連接他，OA,設(shè)=3左，貝=2左，利用垂徑定理和勾股定理求得％值，

則AM,CM可求，再利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【解答】解:連接AE,OA,如圖，

CDYAB,AB=8,

,AM=BM=-AB=4.

2

OM:MD=3:2,

.設(shè)3/=3左，貝i]MD=23

.OC—OD=OA=5k,

AM2+OM2=OA2,

42+(3k)2=(5k)2,

k=1f

二.OM=3,OC=5,

,\CM=8.

AC2=AM2+CM2=42+82=80.

CD為直徑，

.-.ZCED=90°,

ZD-^-ZDCE=90°.

CDLAB,

ZF-^-ZDCE=90°,

ZF=ZD.

Z.CAE=ZD,

ZCAE=ZF.

ZACE=NFCA,

/^ACE^AFCA，

CACF

覆一法’

CECF=AC2=80.

故答案為：80.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（4分）二次函數(shù)y=辦2+4%+1（〃為實(shí)數(shù)，且avO）,對于滿足臉1k機(jī)的任意一個(gè)x的

值，都有-2到2,則根的最大值為

【答案】-

2

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)

【專題】推理填空題；推理能力

【分析】由該二次函數(shù)解析式可知，該函數(shù)圖象的開口方向向下，對稱軸為％=-該函

a

數(shù)的最大值為y=l-3,由題意可解得%-4,根據(jù)函數(shù)圖象可知。的值越小，其對稱軸越

a

靠左，滿足y..-2的x的值越小，故令a=T即可求得機(jī)的最大值.

24

【解答】解：,函數(shù)y=加+4x+l=a（x+—）2+1，且a<0

aa

74

.?.該函數(shù)圖象的開口方向向下，對稱軸為％=-差，該函數(shù)有最大值，其最大值為y=l-2，

aa

若要滿足怎左加的任意一個(gè)x的值，都有-2領(lǐng)/2,

則有，解得④-4,

對于該函數(shù)圖象的對稱軸，，的值越小，其對稱軸越靠左，

。的值越小，滿足2的x的值越小，

，當(dāng)取〃的最大值，即。=-4時(shí)，y=-4x2+4x+1=-2,

解得，玉=3,x2=——,

滿足y…-2的x的最大值為x=|,

即m的最大值為一.

2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，借助函數(shù)圖象的變化

分析求解.

7.（4分）（2022?吉州區(qū)模擬）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=1,BC=6,點(diǎn)、P是AD

邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)成，點(diǎn)。關(guān)于直線5尸的對稱點(diǎn)為C，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)G也隨之

運(yùn)動.若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)。，則線段CG掃過的區(qū)域的面積是_%+苧

APD

BC

【答案】兀+空.

4

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)

【專題】推理填空題；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】由臨界狀態(tài)確定出G的運(yùn)動路徑，明確點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)。，則線段CG掃過

的區(qū)域?yàn)椋荷刃蜝C'C"和ABCC",再分別計(jì)算兩部分面積即可.

【解答】解：如圖，當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)C關(guān)于取的對稱點(diǎn)為C，，

當(dāng)產(chǎn)與。重合時(shí)，點(diǎn)C關(guān)于3尸的對稱點(diǎn)為C”,

.,.點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)則線段CG掃過的區(qū)域?yàn)椋荷刃?CC”和ABCC?，

在ABCD中，

NBCD=90°,DC=AB=1,BC=6

tanZDBC=

3

.-.ZDBC=30°,

:.ZCBC"=60°,

BC=BC"

:.ABCC〃為等邊三角形,

作C"F_L3C于/，

ABCC"為等邊三角形，

:.BF=-BC=—,

22

C"F=tan60°x—=-,

22

:.S，.=1舟）=史,

ABCC224

線段CG掃過的區(qū)域的面積為：兀+當(dāng).

故答案為：7T+-.

4

【點(diǎn)評】本題考查了以矩形為背景的軸對稱，扇形的面積計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是畫出線段CG掃過的圖形.

8.（4分）已知拋物線y=無+c（q,b,c為常數(shù)，a/0）經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,（0,4）,其對

稱軸在y軸左側(cè).有下列結(jié)論：①abc>0；②方程62+云+°=_5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

③Y<a<0.其中，正確結(jié)論的序號為①②③

【答案】①②③.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;拋物線與x軸的交點(diǎn);

根的判別式

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力

【分析】利用拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)可判斷“、6同號，力口上c=4>0,則可得對①進(jìn)

行判斷；由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(0,4),則a+b+c=0,c=4,所以a+b=Y,則利用a、

6同號得到a<0,b<0,于是可判斷拋物線ar2+fer+c=0與直線y=-5一定有兩個(gè)交點(diǎn)，

從而可對②進(jìn)行判斷；然后利用人=-a-4<0可對③進(jìn)行判斷.

【解答】解：?拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，

:.a、6同號，

,拋物線經(jīng)過(0,4),

/.c=4>0,

/.abc>0,所以①正確；

?拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(0,4),

.'.a+b+c=0>c=4,

:.a+b=-4,

而a、b同號，

:.a<0,b<0,

，拋物線開口向下，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于4,

拋物線62+云+C=0與直線y=-5一定有兩個(gè)交點(diǎn)，

,方程分2+法+。=_5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以②正確；

b=-a-4<0,

.,.Y<a<0,所以③正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)丁=辦2+灰+°(。H0),二

次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。灰淮雾?xiàng)系數(shù)6和二次項(xiàng)系數(shù)。共同決定對稱軸的

位置.當(dāng)。與6同號時(shí)(即。6>0),對稱軸在y軸左；當(dāng)。與b異號時(shí)(即對稱軸

在y軸右.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于(0,c).也考查了根的判

別式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和拋物線與x軸交點(diǎn)問題.

9.(4分)(2022?高青縣一模)已知點(diǎn)A(2,4),2(0,1),點(diǎn)/在拋物線y=上運(yùn)動，則

AM+BM的最小值為5.

【答案】5.

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力

【分析】設(shè)點(diǎn)加(利」小)，用含加代數(shù)式表示BM=-irr+1,可得點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)

44

M到直線y=-l的距離相等，進(jìn)而求解.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)/(加：■)，

則點(diǎn)V到x軸距離為:切2,BA/=^(m-0)2+(^m2-l)2=^m2+l,

.?.點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)M到直線y=-l的距離相等，

■點(diǎn)A橫坐標(biāo)為無=2,

.,.點(diǎn)M為直線x=2與拋物線交點(diǎn)，

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與圖形的結(jié)合問題，解題關(guān)鍵是找出拋物線＞=!一上的點(diǎn)到

-4

(0,1)的距離的特點(diǎn).

10.(4分)(2021秋?恩陽區(qū)期中)設(shè)AABC的重心為G,且AG=6,BG=8,CG=1O.則

S/UBC=_Z2_?

【考點(diǎn)】K5：三角形的重心

【分析】延長AG到G',與3c相交于。，使DG=ZX7,貝UABZ)GMACDG,所以

CG'=BG=8,根據(jù)重心的性質(zhì)可求得Z)G=ZX7=3,則GG'=6,又CG=1O,所以

ACGG'是直角三角形，并可求得其面積，從而得出ABGC的面積，即可求得AABC的面

積.

【解答】解：延長AG到G',與3c相交于。，使￡>G=ZX7,則ABDGMACDGL

:.CG'=BG=8,

DG=-AG=3,

2

:.DG=DG'^3,

:.GG'=6,

CG=W,

」.△CGG'是直角三角形，

S^GBC=SbCGG，=3X8x6=24，

*^AABC=3SRGBC=72.

故選c.

【點(diǎn)評】此題考查了三角形重心的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形面積問題的

求解等知識.此題難度適中，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

11.（6分）（2020?姜堰區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,點(diǎn)E在邊3c上，

且3E:EC=2:1,動點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動到點(diǎn)。停止，過點(diǎn)E作砂，PE交矩形

ABCD的邊于若線段即的中點(diǎn)為則點(diǎn)P從C運(yùn)動到。的過程中，點(diǎn)加運(yùn)動的路

【答案】3.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；軌跡

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力

【分析】利用特殊位置，求出AF的長，由三角形中位線定理可求解.

【解答】解：如圖，

BE:EC=2A,AD=6=BC,

二.BE=4,EC=2,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，ZF'EC=900=ZBCD=ZADC=90°,

四邊形ECDF是矩形，

:.DF'=2,

:.AF'=4,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，M'是砂'的中點(diǎn)，點(diǎn)是AE的中點(diǎn),

=-AF'=2,

2

當(dāng)點(diǎn)尸"與點(diǎn)。重合時(shí)，

NF"ED=9CP,

ZF"EB+ZDEC=90°,

ZDEC+ZEDC=90°,

:.ZEDC=ZF"EB,

在ADEC和△砂"3中，

ZB=NECD

<ZF"EB=ZEDC,

BE=CD=4

△BF"E=ACED(AAS),

；.EC=BF"=2,

:.AF"=2,

?點(diǎn)AT是AE的中點(diǎn)，AT是的中點(diǎn)，

:.M"M"'=-AF"=1,

2

.,.點(diǎn)M運(yùn)動的路線長=2+1=3,

故答案為3.

【點(diǎn)評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的

關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡.

12.（6分）（2023?成縣三模）我國是最早了解勾股定理的國家之一.如圖，在RtAABC中，

Z4CB=90。，以其三邊為邊分別向外作正方形，即可證明勾股定理.連接CG交于點(diǎn)

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的證明

【專題】推理能力；圖形的相似；等腰三角形與直角三角形

【分析】過C作。V_LAB于N,判定AACEsMCH,即可得至!］些=烏=」；設(shè)AC=a,

BCCH2

再根據(jù)勾股定理以及面積法即可得到鉆與OV的長，進(jìn)而得出4V的長；再根據(jù)

△CNMsXGBM,即可得到MN和比0的長，進(jìn)而得到4"的值.

BM

【解答】解：如圖所示，過C作CN_LAB于N,

由題可得，ZCAE=ZCBH=90°,ZACE=ZBCH=45°,

:.AACE^ABCH,

AC_CE_1

HC~~CH~2'

設(shè)AC=a,貝?。?C=2a,AB=?a,CN=ACxBC=-s/5a,

AB5

RtAACN中，AN=dAC?-CN2=（a,

BN=y/5a-^-a=^y[5a

ZCNM=ZGBM=90°,/CMN=ZGMB,

:.ACNM^AGBM,

2R

MN_CN_s^Ja_2

~MB~~GB~y15a-5

28F-

：.MN=-BN=—^5a,BM=-NB=-^5a

73577

:.AM=AN+MN=-^/5a

7

AM_々島_3

~BM~4/?"4

—y/5a

7

【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三

角形以及相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算.

13.（6分）（2014秋?寧?？h月考）半圓O的直徑AB=9,兩弦鉆、CD相交于點(diǎn)E,弦

CD=——，且3￡>=7,貝!1DE=30

5-

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】根據(jù)圓周角定理得出的兩組相等的對應(yīng)角，易證得AAEBSADEC,根據(jù)CD、AB

的長，即可求出兩個(gè)三角形的相似比；設(shè)座=x,則DE=7-x,然后根據(jù)相似比表示

出鉆、EC的長，連接3C,首先在RtABEC中，根據(jù)勾股定理求得3c的表達(dá)式，然后

在RtAABC中，由勾股定理求得x的值，進(jìn)而可求出DE的長.

【解答】解：ZD=ZA,ZDCA=ZABD,

:.AAEBs^DEC,

.ECDEDC3

,AB_5'

3S

設(shè)=貝l|_DE=7—x,EC=-x,AE=—（7-x）,

53

連接BC,則Z4CB=90。，

34

RtABCE中，BE=x,EC=-x,貝UBC=—x,

55

在RtAABC中，AC=AE+EC=史一生無，BC=-x,

3155

由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2,

即:tw-

整理，得尤2-14X+31=0,

解得:占=7+3后（不合題意舍去），々=7-3夜，

貝l」D￡=7-x=3后.

故答案為：3衣

【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識；

本題要特別注意的是仍、上不是相似三角形的對應(yīng)邊，它們的比不等于相似比，以免

造成錯解.

14.（6分）（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，在AABC中，ZA=15°,AB=2,尸為AC邊

上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A、C重合），連接成，則正AP+P8的最小值是6.

2一一

B

【答案】73.

【考點(diǎn)】胡不歸問題

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力

【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為一邊，在AC下方作NC4"=45。，過3作于。，

交AC于尸，由AADP是等腰直角三角形的AQ=PO=走AP,即正AP+PB=尸。+,

22

故我AP+PB取最小值即是PD+依取最小值，此時(shí)3、P、D共線，且班）_LAT>,

2

顯AP+PB的最小值即是33的長，根據(jù)ZS4C=15。，ZCAM=45。，可得3。=W>AD=垂>，

2

即可得答案.

【解答】解：以A為頂點(diǎn)，AC為一邊，在AC下方作NC4A/=45。，過3作于。，

由作圖可知：A4D尸是等腰直角三角形，

AD^PD=—AP,

2

—AP+PB^PD+PB,

2

.?.立AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此時(shí)3、P、。共線，且5DJ_AD,

2

—AP+PB的最小值即是皮）的長，

2

ZBAC=15°,NG4M=45°,

:.ZABD^30°,

.-.AD=~AB=1,BD=4AB2-AD2=也,

2

遮AP+PB的最小值是JL

2

故答案為：舊.

【點(diǎn)評】本題考查三角形中的最小路徑，解題的關(guān)鍵是作輔助線，把在AP+網(wǎng)的最小值

2

轉(zhuǎn)化為求PD+PB的最小值.

15.（6分）如果一個(gè)三角形一邊上的高與該邊相等，我們稱這個(gè)三角形為“等邊高三角形”，

這條邊就叫做“高邊”.若等邊高AABC（AABC為銳角三角形）內(nèi)接于;：O,BC是高邊，

AD_L3C交3c于E點(diǎn)，交。于。點(diǎn)，DE=2,EC=3,貝U。的直徑為—屈U_.

【答案］V130.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；勾股定理

【專題】推理能力；運(yùn)算能力；與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，連接CD,利用相似三角形可得出AE的長，再連接AO并

延長，交（。于點(diǎn)尸，利用AABbsA4Ec即可解決問題.

【解答】解：如圖所示，

BD=BD,

:.ZBAE=ZDCE,

又.ZAEB=NCED,

:./\ABE^ACDE,

.BEAE

又AE=BC,DE=2,EC=3,

BEBE+3

..----=---------，

23

則BE=6,

/.AE=6+3=9.

在RtAABE中，

AB=A/62+92=3A/13.

在RtAACE中，

AC-A/92+32=3710.

連接AO交O于點(diǎn)尸，連接所，

AF是。的直徑，

:.ZABF^90°,

:.ZABF=ZAEC.

又AB=AB,

:.ZAFB^ZACB,

.-.AABF^AAEC,

,ABAF

,AE-AC'

叩3屈一AF

93回

:.AF=y/130,

即。的直徑為阿.

故答案為：7130.

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理及勾股定理，能由所給圖形構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

16.（6分）如圖，在。中，AB是一條不過圓心。的弦，點(diǎn)C,。是AB的三等分點(diǎn)，直

徑CE交AB于點(diǎn)F,連結(jié)AD交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過點(diǎn)C作CE的垂線交54的延長

線于點(diǎn)H.連結(jié)3C交相＞于點(diǎn)N,若。的半徑為5,AH=J10,則AA2VB的周長為

13M26

------------1------.

53―

【答案】史何+竺.

53

【考點(diǎn)】圓幕定理

【專題】運(yùn)算能力；與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】根據(jù)題意可求得AC=S=Q5,再由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)即可求解.

AD//HC,FG=CG,

,\AH=AF,

ZHCF=90。,

AC=AH=AF=s/iO,

設(shè)CG=x,貝!]FG=x,OG=5—x.

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,

BP25-(5-x)2=10-x2,

解得x=l,

AG=3?AD—6,

CD=DB,

:.ZDAC=ABCD,

ZCDN=ZADC,

..ACDN^AADC,

NDCD

…布一法’

2cCD25e13

AD33

ZBAD=ZDAC,ZABN=ZADC,

.?.MA?SAACD,

廠廠AN“T313^/1026

?'-C^ANB=CACD*=（6+2,10）X—-F==—~一+—?

AC3vl053

即A/WB的周長為應(yīng)O+竺.

53

故答案為：史邁+竺.

53

【點(diǎn)評】本題考查了圓塞定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形解答.

二、解答題（每題12分，共24分）

17.（12分）（2022?高青縣一模）如圖，菱形ABCD與菱形GECF的頂點(diǎn)C重合,

ZBCD=NECF=6O°,己知菱形GECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的角度為a.

圖①圖②圖③

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)G在對角線AC上時(shí)，—=73；

BE~~

（2）如圖②，當(dāng)菱形GECF按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度為。（0。＜々＜60。），線段AG與鹿之

間的數(shù)量關(guān)系為—，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖③，在菱形GECF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)A,G,P在同一條直線上時(shí)，連接CG

并延長，交"）于點(diǎn)"，若CE=2,GH=B求AH的長.

【答案】⑴5

（2）AGfBE.證明過程見解答部分;

（3）3.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題

【專題】壓軸題；運(yùn)算能力；推理能力

【分析】(1)如圖1中，作EHLCG于〃.證明EG//AB,推出型=生，即可解決問

BECE

題.

(2)結(jié)論：AG=?BE.如圖2中，連接CG.證明AECBsAGC4,可得一=—=6

BECE

(3)如圖3中，證明AH48AHC4,推出AH?="C,由此即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖①，過點(diǎn)E作￡H，CG于點(diǎn)〃.

圖1

四邊形ECFG是菱形，ZECF=60°,

ZECH=-ZECF=30°,EC=EG,

2

EHLCG,

:.GH=CH,

里…7,

CE2

CGcCH

--------二2-------

CECE

EG//CD,ABI/CD,

GE//AB,

蛆=%=也

BECE

故答案為：A/3；

(2)AG=&BE.理由如下:

如圖2中，連接CG.

圖2

四邊形ABCD、四邊形ECFG都是菱形，ZECF=ZDCB=60。,

ZECG=ZEGC=ZBCA=ZBAC=30°,

C4二框BC與

~CB~BC~?

AECG^ABCA,

BCAC

~EC~~CG"

工生=0

CEBC

ZECB=/GCA,

NECBSAGCA,

旭=%=5

BECE

AG=gBE.

故答案為：AG=6BE；

(3)如圖3中,

ZAGH=ZCGF=30°,ZAGH=ZGAC+ZGCA,ZDAC=ZHAG+ZGAC=30°,

,\ZHAG=ZACH,

ZAHG=ZAHC,

..AHAG^AHCA,

.HA_GH

"~HC~~HA"

:.AH2=HGHC.

FC=CE=2,CG=6CF,

/.GC=2百，

HG=6，

:.CH=3-j3,

AH2=HGHC=y/3-3-^=9.

AH>0,

AH=3.

【點(diǎn)評】本題考查四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三

角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

18.（12分）如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,尸是3c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合），

過點(diǎn)P作于點(diǎn)。，連接CD并延長交三角形ABC的外接圓于點(diǎn)E,連接E4,EB,

AP.

圖1圖2備用圖

(1)若CD。=CPCB,求證：BD=BE.

(2)如圖2,AC=2,BC=4.

①若=求AP的長.

②求AP-QE的最大值.

【答案】（1）證明見解析;

（2）①2四；

②史.

2

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】（1）由比例式可得ACPD^ACDB,所以NCPD=NCDB,所以

ZDPB=ZBDE=Z.CEB,貝U瓦）=巫；

（2）①由勾股定理可得，AB=2y/5.由勾股定理可得/婦?+3^2=452,求出BE和/m的

長.證明ACD5SA4p石，得出一=—,求出AD,則可得出答案；

ADAE

②證明AAPBSAADE,得出理=必，貝IJ4°.￡）石=4＞尸_8.設(shè)正。=龍，證出

ADDE

AP.DE=-2瓜x-與+笠,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案.

【解答】（1）證明：PD±AB,

.\ZPDB=90°,

.?.NDPB+NPBD=900.

NACB=90。，

:.ZCAB-^ZPBD=90°,

.?.NCAB=ZDPB,

/CAB=/CEB,

,\ZDPB=ZCEB；

2

:.CD=CPCB9

.CD_CP

~CB~~CD"

又ZDCP=ZBCD,

:.NCPD^NCDB,

:.ZCPD=ZCDB,

:.ZDPB=ZBDE,

ZDPB=/CEB,

:.ZCEB=ZBDE,

BD=BE；

（2）解：①，ZACB=90°,AC=2,BC=4,

AB=7AC2+BC2=2小,

AE=3BE,AE2+BE2=AB2,

:.9BE2+BE2=20,

BE=42,AE=3近,

ZCAB=ZBEC,ZADC=ZEDB,

:.^BDE^CDA,

BDBE

^CD~~AC~^1

2BD=叵CD,

設(shè)PD=x-

PDAC_1

tan/PBD=-----

BDBC-2

/.BD=2PD=2x,

/.CD=2叵x,AD=2#>-2x,

ZBAE=ZBCE,ZADE=/CDB,

:.\CDB^^ADE,

.CDBC

…茄一族’

.2叵x4

"2A/5-2X-3V2，

解得》=氈，

5

:.BD=g有，

L4、尺6L

:.AD=AB-BD=2yJ5--^-=-V5

"=/（等+（哈=20；

②:ZADP=ZACP=90°,

/.A,C,P,。四點(diǎn)共圓，

:.ZAPC=ZADC,

:.ZAPB=ZADE.

ZAED=ZABP,

AAPB^AADE,

APPB

~AD~~DE'

APDE=ADPB.

設(shè)PD=尤，

PDAC_1

tmZPBD=——

BDBC-2

BD=2PD=2x,

A.D-2^/5—2x,PB=J%?+(2x)2=,

AP?DE=AD?PB=Q舊-2x)?瓜

，當(dāng)尤=且時(shí)，AP-DE取得最大值型.

22

【點(diǎn)評】本題屬于圓的綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的定義，圓周

角定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等相關(guān)知識，綜合性較強(qiáng)，得到依?小=4>m是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.二次根式的應(yīng)用

把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系,體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性,

不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方

法.

2.根的判別式

利用一元二次方程