2025年中考數(shù)學(xué)專題74 圓中的新定義問題（原卷版）

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線CDEF的長是．變式訓(xùn)練【變1-1】．對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為．

【變1-2】．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（a，b）和正實數(shù)k，給出如下定義：當(dāng)ka2+b＞0時，以點P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱為點P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點P（1，1）的“1倍雅圓”是以點P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點是．該點的“1倍雅圓”的半徑為．（2）如圖2，點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足∠MON＝30°，試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知點A（0，3），B（﹣1，0），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l．①當(dāng)點C在直線l上運動時，若始終存在點C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點D是直線AB上一點，點D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【例2】．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點D的坐標(biāo)為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為___________變式訓(xùn)練【變2-1】．已知定點P（a，b），且動點Q（x，y）到點P的距離等于定長r，根據(jù)平面內(nèi)兩點間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點P的距離等于定長r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，C是線段AB上的一個動點，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小時，⊙C的方程為．

【變2-2】．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應(yīng)用】（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為；（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應(yīng)用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時天橋所在的直線的表達式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo)．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時，l2011等于（）A． B． C． D．2．已知線段AB，⊙M經(jīng)過A、B兩點，若90°≤∠AMB≤120°，則稱點M是線段AB的“好心”；⊙M上的點稱作線段AB的“閃光點”．已知A（2，0），B（6，0）．①點M（4，2）是線段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，則≤k≤8；③線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④若直線y＝x+b上存在線段AB的“閃光點”，則﹣10≤b≤2．上述說法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②3．我們知道沿直線前進的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運動，又以車軸為圓心做圓周運動，如果我們仔細(xì)觀察這個點的運動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線．其實，很早以前人們就對沿直線前進的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認(rèn)為這個軌跡是一段段周而復(fù)始的圓弧，也有人認(rèn)為這個軌跡是一段段的拋物線．你認(rèn)為呢？擺線（Cycloid）：當(dāng)一個圓沿一條定直線做無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線．定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點：現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無滑動的滾動，那么：（1）當(dāng)右側(cè)硬幣上接觸點A的運動軌跡大致是什么形狀？（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈 B．一條擺線；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈 D．一條擺線；向下；2圈4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)弧．若在平面直角坐標(biāo)系中，已知點F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開線”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲線CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開線．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開線”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開線，…，曲線DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開線．依次下去，可得正n形的n重漸開線（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開線的長為18π；若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為．7．一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長度．（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點N，在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長．

8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點F，交⊙O于點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．

9．對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關(guān)于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是．（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點E（3，0）．①直接寫出d（點E）的值；②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

11．【概念認(rèn)識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點B，⊙O3經(jīng)過點D，3個圓都經(jīng)過點C．在這3個圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是．【計算求解】（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個交點時，則稱MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與⊙O有一個交點P時，則稱MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點．則MN是⊙O的“關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為；（2）如圖2，點A為直線y＝﹣3x+4上一動點，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點．給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負(fù)半軸上運動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標(biāo)為．

15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；（2）點M的坐標(biāo)為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．

17．對于⊙C與⊙C上一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q，且PA＝2QA，則稱點P為點A關(guān)于⊙C的“倍距點”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑是，點P是點A關(guān)于⊙O的“倍距點”．①若點P在x軸正半軸上，直接寫出點P的坐標(biāo)是；②若點P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點T（t，0），以點T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關(guān)于⊙T的“倍距點”，求t的值．

18．類比學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的?。愃频?，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝°，歸納總結(jié)：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于．新知應(yīng)用：直線y＝﹣x+m與直線y＝x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，設(shè)∠APC＝θ．①求A點坐標(biāo)；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．

19．（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，則半徑r＝；（2）【問題