廣西桂林、來賓、北海2024屆高三年級(jí)下冊(cè)三模數(shù)學(xué) 含解析

2024年高考第三次聯(lián)合模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

（考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.若集合A={—2,—1,3,5},B={X\X2<4小則AB=()

A.{—1}B.{3}C.{-2,-1}D.{-2,-

2.已知l+zi=3i,則2=()

A.3+iB.3-iC.—3+iD.l-3i

若6〃212+.6

3.(1)3+(x-l)=%+qx+??+a6x,則。2=()

A.18B.-18C.12D.-12

4.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（七,》）（%,=2z-l,z=l,2,5）,其經(jīng)驗(yàn)回歸

5

方程為g=1.2x+2,則￡%=（）

i=\

A.40B.32C.8D.12.8

5.某校組織社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，將參加活動(dòng)的3名老師與6名同學(xué)分成三組，每組1名老師與2名同學(xué)，不

一樣的分法共有（）

A.45種B.90種C.180種D.270種

6.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉腌，在鱉腌尸-ABC中，尸51.平面ABC,

BCLCA,且？B=BC=C4=2,M為總的中點(diǎn)，則異面直線8M與AC所成角的余弦值為（）

A變B且cBD正

3434

22

7.已知橢圓C：L+2L=1的右焦點(diǎn)為R過尸的直線與c交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方且

43

AF=2FB,則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

8.已知函數(shù)〃x)=cosa)x-2sin269%sin>0)在(0,2兀)上有最小值沒有最大值，則①的取值范

圍是()

A.

4J2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

C1

9.在AABC中，sin—=BC=1,AC=5,貝I()

22

A.cosC=—B.AB=V21

2

C.A4BC的面積為3D.AABC外接圓的直徑是2j7

2

10.小明計(jì)劃高考結(jié)束后，從廣西自然生態(tài)類的3處景點(diǎn)、歷史文化類的4處景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一處開始旅

游，要求所有景點(diǎn)全部游玩且不重復(fù)，記“第上站游玩自然生態(tài)類的景點(diǎn)”為事件k=l,2,…，7,

貝I()

A.P(A)=|B.P(A|A)=|c.P(A+A)=|D.=K

11.如圖，已知圓錐尸。的底面半徑為JL高為48為底面圓的直徑，點(diǎn)C為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，

則()

9J33\/11

A.當(dāng)C為弧AB的三等分點(diǎn)時(shí)，AR4c的面積等于土或步一

44

B.該圓錐可以放入表面積為14兀的球內(nèi)

C.邊長(zhǎng)為之的正方體可以放入到該圓錐內(nèi)

4

D.該圓錐可以放入邊長(zhǎng)為2點(diǎn)的正方體中

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.拋物線C：9=―2"(0>0)經(jīng)過點(diǎn)？(—1,2),則點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為.

13.在中國(guó)傳統(tǒng)文化中，“九”被視為至尊之?dāng)?shù)，象征長(zhǎng)壽、福氣和完美，若直線/與圓C相切，直線/

在兩坐標(biāo)軸上的截距均為9,圓C的半徑為9,點(diǎn)C到無軸的距離為9,則圓C的一個(gè)方程為.

k%

14.若—x）（左〉0）對(duì)任意的尤e（O,a）恒成立，則左的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

年菜一詞指舊俗過年時(shí)所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費(fèi)者對(duì)年菜開支的接受區(qū)間，

某媒體統(tǒng)計(jì)了1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受區(qū)間都在

[0,14]內(nèi)（單位：百元），按照[0,2）,[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12）,[12,14]分組，得到如

下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)（精確到0.1）；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格X近似服從正態(tài)分布N（〃,3.24z）,其中〃近

似為樣本平均數(shù).用樣本估計(jì)總體，求所有消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率.

參考數(shù)據(jù)：若則尸（〃一crWXW〃+cr）NO.68,P（//-2cr<X<//+2cr）?0.95.

16.（本小題滿分15分）

已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”，目4q—3s.=*.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)包="。“，且數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為「，若X/〃eN*都有不等式+”恒成立，求丸的

取值范圍.

17.（本小題滿分15分）

如圖，在直三棱柱ABC—44cl中，ABLAC,AB=AC=\,三棱錐4—ABC的體積為變，點(diǎn)。

6

為B片的中點(diǎn).

（1）求證：平面ACD，平面A/C；

（2）求直線C。與平面A/C所成角的正弦值.

18.（本小題滿分17分）

22

雙曲線C：5-方=19〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過及且傾斜角為60°的直線為/],過招且

傾斜角為60℃的直線為《，已知之間的距離為4月.

（1）求C的方程；

（2）若過點(diǎn)心的直線/與C的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M、N不在無軸上），判斷是否存在實(shí)

數(shù)上使得=若存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.（本小題滿分17分）

已知/（x）=（x-l-a）e'-x+（l+Q）ln（x+l）.

（1）討論/（X）的單調(diào)性；

⑵若a>0且4％）有2個(gè)極值點(diǎn)再，入2（石〈工2），求證：/（石）+/（%2）v21n3—4（%+%2）?

2024年高考第二次聯(lián)合模擬考試?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

題號(hào)12345678

答案BACABCDD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

題號(hào)91011

答案ABDABABD

1.B

因?yàn)锳={—2,—1,3,5},5={%,2<4%}={%0<%<4},所以4B={3},故選B.

2.A

因?yàn)閘+zi=3i,所以z=士次=3+i,故選A.

i

3.C

4=C；(-1)+C：(-1)4=12,故選C.

4.A

_=l+3+5+7+9=5>由點(diǎn)(元了)在回歸直線上得了=12X5+2=8,所以￡%=5歹=40.

5i=i

5.B

C2C2A3

6:3=90.

A；

6.C

取PC的中點(diǎn)N,連接MN、BN,如圖所示：

三.

；M、N分別為E4、PC的中點(diǎn)，則MN,CA且MN=；CA=1,

.?.異面直線與AC所成的角為或其補(bǔ)角.

平面ABC,3。匚平面48。，；.依，3。，PC7PB2+BC。=2及,

：.BN=-PC=4I,同理可得=LPA=6，：.BN2+MN2=BM2,

22

MNx/3

：.BNLMN,貝UcosN3MN=——=—.故選C.

BM3一

7.D

7

由題意得T。,。），設(shè)A（ApyJ,5（%2，%）,由AT=2EB得到=一2%，1-玉=2（x2-1）,xr=3-2x2,

（3-24J-2%）1i

7

所以《43,由點(diǎn)A在x軸上方，y=-2y>0,即%<0，解得3—

22x2

三+匹=1

[43

故選D.

8.D

/（x）=cos（2a>x-69ix）-2sin2Gxsincox=cos（2s+s）=cos3a）x，當(dāng)x￡（0,2兀）時(shí)，

3Gx￡（0,6S）,若在（0,2兀）上有最小值沒有最大值，則兀<6師42兀，所以故選

63

D.

9.ABD

「11

對(duì)于A,cosC=l-2sin2—=l-2x-=-,故A正確；

242

對(duì)于B,由A選項(xiàng)知cosC=工，由余弦定理得

2

AB2=BC2+AC2-2BC-ACcosC=1+25-2x5x-=21.故43=后，故B正確;

2

所以sinC=Jl—cos2c=<八二=也

對(duì)于C,由于在△ABC中,CG（0,7T）,故sinC>0,

V42

S^ABC=-BC-ACsinC=-x5x^=^-,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)△ABC外接圓半徑為R,

△ABC2224

2R=*里

=2幣，故D正確.故選ABD.

sinCv3

2

10.AB

C1A63C1A63A2A51

由題意可得P（A）=\^=1,A正確；p（A）=比骨=,,p（4A）=卡=1

1

p（&la）=P（X）=?=J.,故B正確；由于

LTP（4）33

7

P（A+4）=P（A）+P（4）—p（"==c錯(cuò)誤;尸（4可）=笑感=梟）,

Illi/\.-y4//

所以D錯(cuò)誤.故選AB.

11.ABD

對(duì)于A,取AC的中點(diǎn)。，連接。。，PD,0C,則ODLAC,PD1AC,如圖1,當(dāng)C為弧AB的三

等分點(diǎn)時(shí)，/40。=120?；?0。=60°,當(dāng)NAOC=120。時(shí)，。。=!。。=且，

22

PD=y]P02+0D2=J（V6）2+與=￥，DC=$OC=jAC=2DC=3,所以△物C的

面積為L(zhǎng)AC?PD=LX3X^=述，當(dāng)ZAOC=60°時(shí)，OD=—OC=~,

222422

PD7P。2+OD?=J（府+[I]=孚，AC=OC=6,所以△物C的面積為

1“DC1W屈3舊,,A工施

—AC-PD——Xyj3x------=-------,故A正確；

2224

對(duì)于B,因?yàn)閳A錐的底面半徑為高為胸，所以圓錐的外接球球心在圓錐內(nèi)部，設(shè)圓錐外接球的半

徑為R,過點(diǎn)A的軸截面如圖2,。|為外接球球心，則（、/￡-/?『+（退『=/?2,解得R=乎，外接球

9727

的表面積為4?；?=—兀，一兀＜14兀，故B正確；

22

對(duì)于C,設(shè)放入圓錐內(nèi)最大的正方體邊長(zhǎng)為歷沿著正方體對(duì)角面的軸截面如圖3,因?yàn)閳A錐的底面半徑

\f2a____

為6高為"，所以g=二一，所以PH=a,所以2a=JS,a=—,因?yàn)?=，運(yùn)＞，6,

V6PH2422

所以C不正確；

對(duì)于D,過正方體一邊的中點(diǎn)作與體對(duì)角線垂直的平面，如圖4,此平面到頂點(diǎn)尸的距離為體對(duì)角線的一

半，即為;+卜⑹2+僅=戈,平面截正方體得到邊長(zhǎng)為2的正六邊形，該正六邊形的

內(nèi)切圓的半徑為g,以該圓作為圓錐的底面，點(diǎn)P為頂點(diǎn)即可得到圓錐.故D正確.故選ABD.

12.2

把P（—1,2）代入丁=一2內(nèi)得p=2,C的焦點(diǎn)為——1,0），|班1=2.

13.(X-90J+"_9)2=81(答案不唯一)

|a±9-9|

由題意可得直線I的方程為x+y—9=0,設(shè)C（a,±9）,由直線/與圓C相切，得=9,所以

a=±90或a=18土9行，所以圓C的一個(gè)方程可以為（x—9亞丁+（>—9,=81.

14.（0,e]

氏％kkkkk

由x-e22（左Inx—x）得二一1221n工,即二一21n±—120,設(shè)/=工，貝〃一21nf—120,

e%e%eAeAeAe'

設(shè)/⑺=f—21nt—1,則/?'⑴=1—:=[土，所以/⑺在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,長(zhǎng)。）上單調(diào)遞增，

kk

且/（l）=o,/（2）=l-21n2<0,又%—收時(shí)/=[-0,所以0<fWl,即0<一<1,e1'>xk,

ee

x>^Inx,設(shè)/z（x）=x—左In%,則/z'（x）=l-K,/z（x）2/z（左）=左一左In左20,In左Wl,Ov左<e.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得（0.04+0.08+0.12+0.10）x2=0.68<0.75,

(0.04+0.08+0.12+0.10+0.08)x2=0.84>0.75,

所以這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)是8+875—U68,89……6分

0.08

(2)由〃=0.08x1+0.16x3+0.24x5+0.20x7+0.16x9+0.10x11+0.06x13=6.48,……9分

所以X~N(6.48,3.242),

所以尸(X〉9.72)J一尸(〃一b；XW〃+a)=T=0]6,

故所有消費(fèi)者對(duì)年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率為0.16.13分

16.解：(1)因?yàn)?al—3S“=擊，

當(dāng)〃=1時(shí)可得4囚—3al=1,即6=1/0,3S〃=4—擊①，……2分

當(dāng)心2時(shí)，3sM=4-貴②,

3分

由①-②得3a“=白■—又％=1也滿足，...5分

所以a”=6分

(2)因?yàn)閐7分

所以4=1x（；）+2x（；）+3x［；］+---+nx

9分

「1丫

IH---F（n-l）x+MX—,.......10分

3

兩式相減得，-T=

4〃n加小撲…+小明”

1-

3:則/=:4

即產(chǎn)nn+—

71--^--——I3

4

n

故（=更44

n-\...........12分

"933

叱雪+34得nln4

++32，BPA>-----------，........13分

ZI-y927

*n4

依題意，XMeN不等式22—2—二恒成立,

927

n4

因?yàn)閥=—----隨著〃增大而減小,14分

927

777)

所以幾2-----,即4的取值范圍為----,+8.15分

272277)

17.(1)證明：在直三棱柱ABC—451cl中，AC

因?yàn)锳CLAB,AB朋=4,

所以AC,平面A331A，

因?yàn)锳Bu平面A54A，所以AC，48,……2分

由得凡=&.……3分

在矩形A34A中，tanZABA=^=42,tanZADB=—=72,

所以/4網(wǎng)=NA￡>8,

因?yàn)閆ADB+N^&WngO。，所以/43+/&4。=90。，

所以……5分

因?yàn)锳OAC=A,所以A3_L平面ACD.

因?yàn)?8u平面A}BC,

所以平面AC。，平面ABC.……7分

(2)解：因?yàn)锳B,AC,AM兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AC,AA1所在直線分別為無軸，y

軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,1,O),4(0,0,⑹,D

所以BC=(—1,1,0),=(-1,0,72),CD=|1,-1,^……9分

I2J

,.n-BC=0

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),則有＜，

[〃?班=0

-x+y=0

得

—x+A/2Z=0

取z=l,得"=（0,后」），……12分

設(shè)直線CD與平面ABC所成角為。，

1x+（一1）x6+x1

CDn\____1

貝（Jsin6=

CDn

仔+（-1）+12

所以直線CO與平面ABC所成角的正弦值為……15分

18.解：（1）設(shè)c=，4+Z?2,

因?yàn)?],。之間的距離為46，所以2csin60°=4g,c=4,……2分

則廿=02-4=12,

22

所以C的方程為三一上=1.……4分

412

（2）由（1）知耳（4,0）,設(shè)直線/：x=my+4（/n^0）,

|22

土-匕=1

,消去無，得（3加2—i）y2+24my+36=0,

聯(lián)立方程組《412

x=my+4

3m2-1^0

A=144（m2+l^>0

所以24m7分

%+%=一^~7

3m-1

36

3m-1

因?yàn)閨哂『=（不—4）2+y；=+1y；，

所以|沙|=，?+1聞,同理|叫|=，蘇+1昆卜9分

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)心且與C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn),

所以ALN兩點(diǎn)在x軸同側(cè)，〉0，此時(shí)3“—1>0,即加2〉；.

所以口MH叫1?1________2_

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1m2+11八

--------------=—，……14分

m2+199