2024年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)三模試卷（含解析）

2024年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)三模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若全集U=R,集合A={y[y=V^G},B={x|2XW8},則An(GjB)=()

A.(0,3)B.(3,+oo)C.[3,+oo)D.[0,3]

2.若復(fù)數(shù)z滿足z=(2+i)-i,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知。為正數(shù),則“a>3”是“aa>a3”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

—>―>—?—?33

4.已知向量4=(1,1)力=(兒-1)入￡區(qū)若1)在2上的投影向量為(5,5),則入=()

A.2B.3C.4D.5

5.已知球的體積為半兀，且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積相等，則該圓錐的體積為()

A.生等兀18?粵§兀C.4715KD.8715K

V

6.聲音的等級f(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度x(單位：Mr?)滿足f(x)=10xlg五噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的

等級約為140dB.若噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的1()8倍，則一般說話時(shí)聲音的等級

約為()

A.120必B.100(7BC.80dBD.60dB

7.已知曲線Ci：x?+y2Toy+16=0與曲線C2：x?++a?-9=0(a>0)相交于4,3兩點(diǎn)，直線A8交

x軸于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍為()

C(一叫一書)U(芋，+wD.(-叫一書)

7T7T7TTT

8.已知函數(shù)f(x)=sin(cox+(p)(o)>0J(p|<5),x=為f(x)的零點(diǎn)，x=]為f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在(0,%)上

有且僅有1個零點(diǎn)，則3的最大值為()

A.11B.9C.7D.5

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

第1頁，共18頁

9.已知函數(shù)f(x)=(x-l)lnx,則()

A.f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增B.x=1是f(x)的零點(diǎn)

C.f(x)的極小值為0D.f(x)是奇函數(shù)

10.在△ABC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a2-b2-c2+bc=0,貝4()

7T

A.A=§

B.若a=A/3,COSB=貝Uc=?

<2.若@=2,則△ABC面積的最大值為由

D.若bsinC=sinC+V^cosC,則c=2

11.已知拋物線C：9=2「*8>0)與圓。：x2+y2=20交于/,8兩點(diǎn)，且|AB|=8.過焦點(diǎn)廠的直線/與拋

物線C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交

點(diǎn)，貝1()

A.若標(biāo)=3市，則直線/的斜率為土日

B.|MF|+4|NF|的最小值為18

C.々MON為鈍角

D.點(diǎn)尸與點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)相同時(shí)，需最小

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(l-x)(l+x)6的展開式中x3的系數(shù)為.

13.互不相等的4個正整數(shù)從小到大排序?yàn)閍1，a2，a3,a4,若它們的平均數(shù)為4,且這4個數(shù)據(jù)的極差是

中位數(shù)的2倍，則這4個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

14.已知函數(shù)f(x)=xa-logbX(a>l,b>l)有且只有一個零點(diǎn)，則湖的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

若數(shù)列｛aj是公差為1的等差數(shù)列，且a3=2,點(diǎn)(an，b11)在函數(shù)f(x)=3x的圖象上(neN*),記數(shù)列｛bj的前

n項(xiàng)和為Sn.

(1)求數(shù)列｛aj，｛、｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)Cn=4S&+J記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為幾，證明：Tn<^.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱臺中，底面四邊形為菱形，，

ABCD-A1BCD14BCDNABC=60°AB=2AAI=2A1BP

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AAiJ-平面ABCD.

(1)證明：BD1CC1；

(2)若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足器=今求二面角M-AD「D的余弦值.

17.(本小題15分)

某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)

量指標(biāo)值：［45,55),［55,65),［65,75),［75,85),［85,95］.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分

布N(「IQ2),并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為/等品，其它產(chǎn)品稱為3等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線

中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)［作為N的近似值，用樣

本標(biāo)準(zhǔn)差s作為◎的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為4等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩

位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量即艮從正態(tài)分布N(HQ2),則

P(|i-o<&<H+◎)a0.6827，P(n-2a<&<日+2c)a0.9545，P(|i-3o<&<口+3G)=0.9973.)

⑵⑴從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在［85,95］的芯片件

數(shù)為T)，求n的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件/等品芯片的

利潤是m(l<m<24)元，一件3等品芯片的利潤是ln(25-m)元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求加的值，使得每

箱產(chǎn)品的利潤最大.

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18.(本小題17分)

動圓”與圓Ci：(x+l)2+y2=49和圓C2：(xT)2+y2=1都內(nèi)切，記動圓圓心M的軌跡為

(1)求「的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為AX2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則曲線上一點(diǎn)

(xo，yo)處的切線方程為：Ax()x+B(x0y+y()x)+Cyoy+D(XQ+x)+E(y0+y)+F=0.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下

問題：點(diǎn)尸為直線x=9上一點(diǎn)(P不在x軸上)，過點(diǎn)尸作「的兩條切線PAi，PA2.切點(diǎn)分別為AI，A2.

⑴證明：A1A2-LPC2；

(ii)點(diǎn)Ai關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A/，直線A/A2交x軸于點(diǎn)N,直線PC2交曲線「于G,〃兩點(diǎn).記aGCzN,

△HC2N的面積分別為Si，S2,求S「S2的取值范圍.

19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,有x()ei，使F(xo)=O且f(xo)=O，則對任意實(shí)數(shù)左，b,曲線丫=4*)+1^+15與直

線丫=kx+b總相切，稱函數(shù)y=f(x)為恒切函數(shù).

⑴判斷函數(shù)f(x)=x-sinx是否為恒切函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=g--x-pa為恒切函數(shù)(a,pGR).

⑴求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

(ii)當(dāng)p取最大值時(shí)，若函數(shù)h(x)=g(x),e*+i+2m為恒切函數(shù)，記A=證明：m6A.

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：e3u20)

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意可知，A={y|y>0},B={x|x<3},

則Cu={x|x>3},

故AA(QB)=(3,+oo).

故選：B.

先求出集合A,B,再結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解:z=(2+i)-i=-l+2i,

貝1jz=-l-2i,

故復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)(T,-2)位于第三象限.

故選：C.

結(jié)合共物復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：當(dāng)a>3時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)丫=2*是單調(diào)遞增函數(shù)，則一定有aa>a3,

當(dāng)a&>a3時(shí),當(dāng)a>l時(shí),貝!|a>3,當(dāng)0<a<l時(shí)，貝!Ja<3,

故“a>3”是<(aa>a3w的充分不必要條件，

故選：A.

當(dāng)a>3時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，當(dāng)aa>a3時(shí)再分a>l與0<a<l討論即可求解.

本題考查了四個條件的應(yīng)用，涉及到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

—>—>

【解析】解：向量a=(l,l),b=a,-l)XeR.

貝痛在a上的投影向量為春|a=含*(1,1)=(一,*)=(|,|),

ClIJ."IJ.乙乙乙乙

所以號=|,解得入=4.

故選：C.

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根據(jù)投影向量的定義列方程求解即可.

本題考查了投影向量的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)球的半徑為R,則球體積丫=殍=券兀，解得R=2,所以球的表面面積S=4兀R2=16兀，

設(shè)圓錐的母線長為底面圓半徑為尸，貝阮rl=16兀，即2兀1=16兀，解得1=8,

因此該圓錐的高卜=Vl2-!*2=A/64-4=可得圓錐的體積Vi=1■兀dh=兀.

故選：B.

利用球的體積公式，計(jì)算出球半徑R=2,然后根據(jù)球的表面積公式與圓錐的側(cè)面積公式，列式算出圓錐的

母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，利用錐體的體積公式算出答案.

本題主要考查球的體積與表面積公式、圓錐的結(jié)構(gòu)特征與錐體的體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：設(shè)一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度為X0,噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度為XI，

第1

由題思知，f(xi)=10X1g,￡0-12=140,解得Xi=1()2,

---1f)—6

又因?yàn)閄i=108xo，所以Xo=l(r6,所以f(xo)=10x1g而w=10Xlnl()6=60(dB),

所以一般說話時(shí)聲音的等級約為60dB.

故選：D.

設(shè)一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度為X。，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度為X1，根據(jù)題意求出xi，xo,再計(jì)算f(x。)即可.

本題考查了函數(shù)模型應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，曲線Cl：x2+y2-i0y+16=0,即(x-5)2+y2=9,是以(5,0)為圓心，半徑為3的

圓，

222

曲線C2：x+y-2ax+a-9=0,即x?+(y-a>=9,是以(0,a)為圓心，半徑為3的圓，

若兩圓相交，則有d25+a2<6,解可得-在T<a<JTT,

又由a>0,則0<a<4H,

聯(lián)立兩圓的方程，W2ax-10y-a2+25=0,即直線48的方程為ZaxTOy-a?+25=0,

直線N8與x軸于點(diǎn)P,設(shè)P的坐標(biāo)為(t,0),

則有2at-a?+25=0,變形可得1=/至=

設(shè)f(a)=易得f(a)在區(qū)間(0,拒)上為增函數(shù)，

第6頁，共18頁

且f(a)<f(VH)=-筆I,故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(-co,-嚕).

故選：D.

根據(jù)題意，由兩圓相交的性質(zhì)可得0<a<拒，聯(lián)立兩圓的方程，可得直線N8的方程，設(shè)P的坐標(biāo)為

(t,0),分析可得1=與空=多-9，設(shè)f(a)=>§,分析函數(shù)的值域，即可得答案.

Na乙乙a乙乙a

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓與圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】B

7TTC

【解析】解：???f(x)=sin(3x+(p)(3>0,|(p|<5),且x=-1為f(x)的零點(diǎn)，x=4為f(x)圖象的對稱軸，

71712/C+IE2/<+12TT71

,”一(->丁-T=1—.總=5，

???3=2k+1,k€Z,

3>0,

*'-co=2k+1,kez+，

7T

又f(x)在(0，k)上有且僅有1個零點(diǎn)，

7T271

6a)

???(D<12.

當(dāng)(o=11時(shí)，f(x)=sin(llx+(p),

UTTTI9冗,r一_、

-^―+(p=弓+k兀，???(p=--+k7i(kEZ),

444

71

ITI<于

71

A<P=-P

71

f(x)=sin(llx-4)；

71JiJiIQ

當(dāng)x6(0葦)時(shí)，llx-4Ge4,—7T),故f(x)有2個零點(diǎn)，不符合，舍去.

當(dāng)3=9時(shí)，f(x)=sin(9x+(p),

971

-x+(p=k兀+,(kEZ),

7n

(p=--+k?i(kEZ),

71

|cpl<5，

7T

J，①=不

第7頁，共18頁

71

???戈x)=sin(9x+]),

71Ji7T7

當(dāng)xe(o,q)時(shí)，9x+ie(i，?),此時(shí)f(x)有且僅有1個零點(diǎn)，符合題意.

故選：B.

依題意，可得(o=2k+l,kez+，利用f(x)在(01)上有且僅有1個零點(diǎn)，可得3<12,再對3=11,9時(shí)分

別分析，可得答案.

本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】BC

1

【解析】解：由題意得f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),f(x)=lnx+1--,

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)的極小值為f(l)=0,故/錯誤，C正確；

因?yàn)閒(l)=0,所以x=1是f(x)的零點(diǎn)，故8正確；

因?yàn)閒(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)不是奇函數(shù)，故。錯誤.

故選：BC.

求導(dǎo)數(shù)f(x)=lnx+-%根據(jù)單調(diào)性可得極值，可得結(jié)果.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

I解析】解：因?yàn)?be=0,

由余弦定理得，cosA=b2+J^~a2=

2bc2

TT

由4為三角形內(nèi)角得，A=E，4正確；

若a=V3,cosB=之，

3

則b?+c2_bc=3,sinB=

由正弦定理得，導(dǎo)=品聿=2,

所以b=2sinB=[,代入b2+c2-bc=3,得c="平，8錯誤;

若a=2,則b?+c2=4+be>2bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號，

所以beW4,此時(shí)《X4x￥=3，c正確；

第8頁，共18頁

因?yàn)閎sinC=sinC+V^cosC=csinB,

Ti

所以csinB=2sin(C+,)=2sin(C+A)=2sinB,

因?yàn)閟inB>0,

所以c=2,。正確.

故選：ACD.

結(jié)合余弦定理檢驗(yàn)選項(xiàng)4結(jié)合正弦定理檢驗(yàn)選項(xiàng)氏結(jié)合基本不等式及三角形面積公式檢驗(yàn)選項(xiàng)C;結(jié)

合正弦定理及和差角公式檢驗(yàn)選項(xiàng)D.

本題主要考查了正弦定理余弦定理，和差角公式，三角形面積公式，還考查了基本不等式在求解三角形中

的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：因?yàn)閽佄锞€C：y2=2px(p>0)與圓O：x2+y2=20交于43兩點(diǎn)，且

|AB|=8.

不妨設(shè)“在第一象限,

即A(2,4)，

代入到拋物線方程可得42=4p,

即p=4,

即拋物線方程為y2=8x,

則拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0).

設(shè)M(xi，yi),N(x2,y2)>

對選項(xiàng)a

-

由MF=3FN得(2-xi，-yJ=3(x22,y2),

則］xi+3x2=8

Yl=-3y2

又因?yàn)閥；=8xi，0=8x2,

■_2

X2=3

解得

X一士可

所以直線I的斜率為±之￡=±,,

I-2

故/選項(xiàng)錯誤；

對選項(xiàng)》由拋物線定義得意+意

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“211\MF\4\NF\

所以|MF|+4|NF|=2(|MF|+4|NF|)(兩+兩)=10+2(扁+扁)N10+8=18,

當(dāng)且僅當(dāng)瑞=霏，即|MF|=2|NF|時(shí)等號成立，

因此|MF|+4|NF|的最小值為18,

故B選項(xiàng)正確；

對選項(xiàng)C,如圖，不妨設(shè)M在第一象限，

設(shè)M(xi，yi),N(x2,y2)>

直線/：x=my+2，

聯(lián)立直線/與拋物線的方程消x得y2-8myT6=0,

又A=(-8m)2+4x16>0,

所以yiy2=T6,XIX2=4,

所以X]X2+yiy2=4_16=T2<0,

所以cos<而而><0>

則NM0N為鈍角.

故C選項(xiàng)正確；

對選項(xiàng)D,

Q(-2,0)，F(xiàn)(2,0)，

設(shè)P(xo，yo)，

則需=8xo,X。-0>

由拋物線的定義可得|PF|=xo+2,

|PQ|=J(xo+2)2+(yo—0)2=Jx(+4x()+4+8xo=+12x()+4,

又xo>0,

,\PF\_=%o+2_=lx2+4Xo+4_8久0―

\PQ\Vxo+12汽o+4^XQ+12XQ+41XQ+12XQ+4

當(dāng)且僅當(dāng)xo=54,即xo=2時(shí)取等號，

即點(diǎn)尸與點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)相同時(shí)，需最小，

故。選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

第10頁，共18頁

由拋物線的定義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)及直線、拋物線的位置關(guān)系及基本不等式求解.

本題考查了拋物線的定義，重點(diǎn)考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題.

12.【答案】5

【解析】解：由題意，(l-x)(l+x)6=(l-x)(l+6x+c看x2+C$?+…+(2氏6),

???展開式中x3的系數(shù)為C尹以=20-15=5.

故答案為：5.

可得(l-x)(l+x)6=(l-X)(l+6x+CgX2+c1x3+…+C&6),即可得出結(jié)果.

本題考查了二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)與特定項(xiàng)的系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7

13.【答案】1

【解析】解：由題意可知，a1+a2+a3+=16'a4—a】=2x-=az+a3，

所以=ai+a2+23=16-24，

所以皿=8,

所以ai+a?+a3=8,

又因?yàn)閍i，a2，a3,a4是互不相等的4個正整數(shù)從小到大排序的，

所以ai=l,@2=2,@3=5或a1=1,22=3，23=4，

所以這4個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為&產(chǎn)=(.

7

故答案為：

利用平均數(shù)、極差和中位數(shù)的定義求解.

本題主要考查了平均數(shù)、極差和中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.【答案】G,+00)

【解析】解：依題意得g(X)=xa與h(X)=logbX只有一個交點(diǎn)，即兩曲線相切，

則g，(x)=h，(x)只有一個解，

1

?■-ax

即

11

化簡得x=(焉戶，將其代入f(x),

得焉+%ogb(alnb)=0，

第11頁，共18頁

1

—+logb(alnb)=0,

logbe+logb(alnb)=0,

即ealnb=l，'a=焉.

1i.

,''a>b>1?^>b1<b<ee，

則肚=焉，

i

設(shè)Q(b)=焉(I<b<e"，

riInZ?—1

則Q'(b)=^^<0,

i

Q(b)在(1,護(hù)單調(diào)遞減,

1°

Q(b)>Q(eO=e"

i

???ab>ee>

???ab的取值范圍是(ee,+oo).

i

故答案為：(e%+<x)).

由題意可得g，(x)=h，(x)只有一個解，從而可得2=焉，ab=焉，設(shè)Q(b)=^(l<b<￡)，利用導(dǎo)數(shù)求解

即可.

本題考查了轉(zhuǎn)化思想、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題.

15.【答案】解：(1”??數(shù)列｛a(是公差為1的等差數(shù)列，

由a3=2得=0,

an=ai+(n-1)xd=0+l(n-l)x1=n-1,

,?,點(diǎn)^口加力在函數(shù)4*)：3*的圖象上(nGN*)，

...bn=3an=3n-l.

證明：(2)顯然數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3,

__'_3“T_1(11

_Cn=4SnSn+1==1(3f

"Tn=Cl+c2+c3+,11+€?

第12頁，共18頁

111111111

一6,2882626803n-l3w+1-lJ

111111

=6(2-3n+1-l)=126(3n+1-l)<12

1

,■Tn<12,

【解析】(1)由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可分別求解；

(2)先求出“，然后利用裂項(xiàng)求和即可求解[，進(jìn)而可證.

本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】⑴證明：在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AAP

CCI延長后必交于一點(diǎn)，

所以N,C,Ci，Ai四點(diǎn)共面，

因?yàn)锳Ai，平面/8C。，BDU平面N8C。，所以AAI^BD

連接/C,Ai。，

因?yàn)榈酌嫠倪呅?8c。為菱形，所以AC^BD，

XAAIHAC=A,AAI、ACu平面ACCIAI，

所以BD1平面ACCiAi，

因?yàn)镃Ciu平面ACCiAi，所以BD^CCr

(2)解：取8c的中點(diǎn)N,連接NN,

因?yàn)榱庑?BCD,且NABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AN^BC，即AN，AD，

以AN,AD,AAI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AiBi=l，貝!]AB=2AIBI=2,BN=|AB=b

所以A(0,0,0)，Di(0,l,l),D(0,2,0)，M(g』,0),

所以麗=(0,1,1)，AM=(V3,1,0)，AD=(0,2,0);

記平面AMD1的法向量為：=(a,b,c)，則｛加即口=

令b=3，貝以=—g,c=-3,所以n=(一弓,3,-3),

易知平面ADD1的一個法向量為m=(1,0,0)，

一一_V3

n?m____

所以，返,

cos<nm>=同-|m|電+9+9x1"55"，

第13頁，共18頁

由圖知，二面角M-ADRD為銳角，

所以二面角M-ADI-D的余弦值為察.

【解析】(1)連接/C,Ai。，分別證明AAI^BD,AC1BD,從而知BD1平面ACQAi，再由線面垂直的

性質(zhì)定理，即可得證；

(2)取2c的中點(diǎn)N,連接NN,可證AN^AD,再以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二

面角，即可得解.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，利用向量法求二面角是解題的

關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=69,

即)iux=69,又因?yàn)?usull,

所以X?N(69,"2),

因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(69,if),

所以P(X>8。)=…一”<69+11)=-廣…)=上等.0.16,

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為/等品的概率約為0.16；

(2)(i)(0.01+0.01)x10x100=20,

所以所取樣本的個數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在［85,95］的芯片件數(shù)為10件，

故9可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為：

P8=°)=FTFPS=D=F=^，P(『2)=F7kp5=3)=丁=通，

所以隨機(jī)變量n的分布列為：

n0123

215152

p

19383819

2iqic9Q

所以i］的數(shù)學(xué)期望E(r))=0x4+lx葛+2x葛+3x9=*

-LOOOOJ-y乙

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中/等品有y件，則每箱產(chǎn)品中8等品有(100-Y)件，

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為Z元，

由題意知：Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=(m-ln(25-m))Y+1001n(25-m),

由(1)知：每箱零件中/等品的概率為0.16,

第14頁，共18頁

所以Y?B(100,0.16),

所以E(Y)=100x0.16=16,

所以E(Z)=E[(m-ln(25-m))Y+1001n(25-m)]=16(m-ln(25-m))+1001n(25-m)=16m+841n(25-m),

令f(x)=16x+841n(25-x)(l<x<24),

84

則P(x)=16-五二p

79

令P(x)=0得，x=7，

7979

當(dāng)x€(1,7)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x6(7,24)時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

79

所以當(dāng)乂=工￡(1,24)時(shí)，f(x)取得最大值，

q

所以當(dāng)m=?7Q時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤最大.

q

【解析】(1)由題意可知X?N(69,112),再利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解；

(2)⑴由題意可知，目可能取的值為o,1,2,3,利用古典概型求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到n的分布列，再

結(jié)合期望公式求解；

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中/等品有Y件，則每箱產(chǎn)品中2等品有(100-Y)件，設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為Z元，則

E(Z)=E[(m-ln(25-m))Y+1001n(25-m)]

=16m+841n(25-m),令f(x)=16x+841n(25-x)(l<x<24),再利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)取最大值時(shí)x的值即可.

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)動圓”的半徑為心由題意得圓Ci和圓C2的半徑分別為7,1,

因?yàn)镸與Ci，C2都內(nèi)切，所以|MCil=7-r,|MC21=rT,

所以|MCll+|MC2l=7-r+rT=6,

又G(T,0)，C2(l,0),

故|C2cli=2<6=|MC1I+|MC2|)

所以圓心〃的軌跡是以CI，C2為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)「的方程為：*+￡=l(a>b>0),

azbzv7

貝⑵=6,2c=2,

即a=3,c=L

所以b2=a2-C2=8,

故「的方程為：^"+看=1；

第15頁，共18頁

(2)⑴證明：設(shè)Ai(xi，yi)，A2(X2?2)，P(9,t)(t#0),

由題意中的性質(zhì)可得，切線PAi方程為巖+等=1，

切線PA2方程為等+等=1，

因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)P(9,t)(t*0),

所以X2+爺'=1，

4O

故直線A&的方程為：乂+音=1,

所以直線A1A2的斜率為-%

-r-7t—0t

又kpc2=9ZY=8?

9(T=t，

所以直線AIA2，PC2；

(ii)由⑴知直線AlA2的方程為：x+y=1,過定點(diǎn)(1,0),

設(shè)直線A1A2的方程為：x=my+l(m^0),

2

聯(lián)立，整理得(8n?+9)y+16my-64=0,

-+_16m

由韋達(dá)定理得力力一部2+9,

了"28m2+9

又A/(xi，-yi)，

所以直線A/A2的方程為y+yi=^^x-xi)，

令y=0得，

yi(%2-％1),yiX2+yi(W2+1)+72(W1+1)

XN=；Xi=:=:

y2+yiy2+yiyz+yi

2myiy2+yj+y2,,2myiy2,,2加一藐八

—y2+yi=1+及+月—二殍匚—一9,

所以N(9,0),C2(1,O),

設(shè)G(X3y3)，H(x4，y4)，同理得y3+y4=--19，

不妨設(shè)y4V0Vy3.

所以|S「S2I=施2約,的3卜1丫4卜41y3+y/

第16頁，共18頁

_4|16加__6464_8也

一9+8徵2一8|m|+南52772—虧,

所以|S「S2|max=竽，

當(dāng)且僅當(dāng)81ml=高時(shí)，即m=±乎時(shí)取等號.

所以-"hSEW丹.

3143

所以S「S2的取值范圍為竽］.

【解析】(1)由題意可得|C2cli=2