九年級(jí)數(shù)學(xué)下《二次函數(shù)應(yīng)用拓展》教案設(shè)計(jì)

九年級(jí)數(shù)學(xué)下《二次函數(shù)應(yīng)用拓展》教案設(shè)計(jì)

一、教案背景

1、面向?qū)W生：國中學(xué)口小學(xué)

2、學(xué)科：數(shù)學(xué)

3、課時(shí)：1課時(shí)

4、學(xué)情：學(xué)生在學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)之后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，這是對函數(shù)

及其應(yīng)用知識(shí)學(xué)習(xí)的深化和提高，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，起到承上

啟下的作用，為學(xué)生進(jìn)入高中后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

二、教材分析

課時(shí)目標(biāo)：

1.使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)y=ax?的關(guān)系式。

2.使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式。

3.讓學(xué)生體驗(yàn)二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)。

重點(diǎn)：已知二次函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求二次函數(shù)y=ax?、y=ax2

+bx+c的關(guān)系式是教學(xué)的重點(diǎn)。

難點(diǎn)：已知圖象上三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式是教學(xué)的難點(diǎn)。

三、教學(xué)過程

（一）情景導(dǎo)入：看一下圖片上房頂?shù)男螤?/p>

百度圖片：

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（設(shè)計(jì)意圖）：增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)

如圖，某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線型（曲線A0B）的薄殼屋頂。它的拱高AB為

4m,拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢？

分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再寫出函數(shù)關(guān)系式,

然后根據(jù)這個(gè)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，照樣畫圖。

1、如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點(diǎn)0的y軸的垂線為x軸，建立直角坐

標(biāo)系。這時(shí)，屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)

它的函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2（a＜。）（1）

因?yàn)閥軸垂直平分AB,并交AB于點(diǎn)C,所以CB=2（m）,又C0=0.8m,所以點(diǎn)B的坐

標(biāo)為（2,—0.8）o

因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入（1）,得一0.8=aX22所以a=—0.2

因此，所求函數(shù)關(guān)系式是y=—0.2x2。

問題1：能不能以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過點(diǎn)A的x軸的垂線為y軸，建立

直角坐標(biāo)系？你能求出其函數(shù)關(guān)系式嗎？

分析：按此方法建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,0C所

在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC=CB,AC=2m,0點(diǎn)坐標(biāo)為（2；0.8）□即把問題轉(zhuǎn)化

為：已知拋物線過（0,0）、（4,0）；（2,0.8）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。

二次函數(shù)的一般形式是丫=a*2+6乂+心求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式，跟以前學(xué)過求一次函

數(shù)的關(guān)系式一樣，關(guān)鍵是確定a,b,c,已知三點(diǎn)在拋物線上，所以它們的坐標(biāo)必須適合所

求的函數(shù)關(guān)系式；可列出三個(gè)方程，解此方程組，求出三個(gè)待定系數(shù)。

解：設(shè)所求的二次函數(shù)關(guān)系式為y=ax?+bx+c。

因?yàn)?C所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC=CB,AC=2m,拱高0C=0.8m,

所以0點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0.8）,A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）。

由已知，函數(shù)的圖象過（0,0）,可得c=0,又由于其圖象過（2,0.8）>（4,0）,

'0.8=4a+2b

可得到方程組t0=16a+4b。解這個(gè)方程組，得a=-0.2,8=0.8。所以，所求的二次函數(shù)的關(guān)

系式為y=-0,2X2+0.8XO

（目的）讓學(xué)生了解建立直角坐標(biāo)系的方法不是唯一的，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線

為x軸，過點(diǎn)A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系也是可行的。

問題2：比較兩種建立直角坐標(biāo)系的方式，你認(rèn)為哪種建立直角坐標(biāo)系的方式能使解決問

題來得更簡便？為什么？

（第一種建立直角坐標(biāo)系的方式能使解決問題來得更簡便，這是因?yàn)樗O(shè)函數(shù)關(guān)系式待

定系數(shù)少，所求出的函數(shù)關(guān)系式簡單，相應(yīng)地作圖象也容易）

二、引申拓展

百度圖片：運(yùn)動(dòng)員跳水實(shí)際圖片

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02.htni&W550&H413&T8482&S52&TPjpg

某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米臺(tái)跳水的訓(xùn)練時(shí)（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)），在空中的運(yùn)動(dòng)路線如圖所

示，為坐標(biāo)系中經(jīng)過原點(diǎn)0的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作

2

時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面1丐米，入水處距池邊的距離為4米，同時(shí),

運(yùn)動(dòng)員在距水面高度小于5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就

會(huì)出現(xiàn)失誤。

（1）求這條拋物線的解析式。

（2）在某次試跳時(shí)，測得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空

3-

中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為5米，則此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，通過計(jì)算說明理

由。

分析：要求拋物線的解析式，應(yīng)找出三個(gè)獨(dú)立條件，圖像過原點(diǎn)0（0,0）,定點(diǎn)的坐標(biāo)

I31

為3,經(jīng)過點(diǎn)（2,-10）,要判斷此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，就要看距池邊的水平距離為5米

時(shí)，距水面的高度是否小于5米，若小于5米，則會(huì)出現(xiàn)失誤，若不小于5米，一般不會(huì)失

誤。

解：（1）在給定的坐標(biāo)系中，

入水對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-10）,

22

拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1丐一10=3,

設(shè)所求拋物線的解析式為『="2+M+c(a<0)

f-[25

-10=4a+2ba=

a=-￡3~~6

4ac-b?2解溥b--210

4a3'3

c=0c=0c=0

士。

拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)，???2a,即a,b異號(hào)。

或=-"8=旦

a<0,/.b>0,/.6,3

y=-巴2+%

拋物線的解析式為y63

31X=3^-2=§

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距池邊的水平距離為5米時(shí)，55

y_（_25產(chǎn)210816

65353

—一、10--=—<5

此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的距禺為33

此次跳水會(huì)出現(xiàn)失誤。

（三）練習(xí)鞏固：

［中考鏈接］

（2003年遼寧）某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧

損到盈利的過程，如圖所示的二次函數(shù)圖像刻畫了該公司年初以來累計(jì)利潤x（萬元）與銷

售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤總和s與t之間的關(guān)系）。

根據(jù)提示的信息，解答下列問題。

（1）由已知圖像上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤s（萬元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系

式。

（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元

（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤是多少萬元？

分析：（1）在圖像上選擇三點(diǎn)（1,-1.5）,（2,-2）,（5,2.5）,代入5=#+比+,

中，求出a,b,c的值，（2）將s=30代入解析式中，求出t的值，（3）將t=7和t=8

代入解析式中，分別求出s的值。

解：（1）設(shè)s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為5=。尸+比+,

a+b+c=-1.5

4a+2b+c=-2

由題意得:25a+5b+c=2.5

￡

a

2

-2

c0

解得：I

2f

出把5=30代入戶/-"中，得3°=廣2f

解得與=10也=-6（舍）

??.截止到10月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元。

⑶把t=7代入，得S=%2-2X7=?=10.5

把t=8代入，W5=ix82-2x8=16

16-10.5=5.5,.?.第8個(gè)月公司所獲利潤是5.5萬元。

小結(jié)：圖像是數(shù)與形的聯(lián)系紐帶，本題若選?。?,0）,（2,-2）,（4,0）三點(diǎn)代

入5=盤2+%+。中，將更為簡捷。

（四）小結(jié)提高

（2006年青島市）在2006年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃

銷售，對往年的市場銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如數(shù)據(jù):

銷售價(jià)X（元/千???2222???

克）5432

銷售量y（千克）…200250300350???

0000

（1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對（x,y）所對應(yīng)的點(diǎn).連接各點(diǎn)并觀察

所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若櫻桃進(jìn)價(jià)為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函