哈爾濱市第九中學2025屆高一下數學期末考試試題含解析

哈爾濱市第九中學2025屆高一下數學期末考試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知在中，兩直角邊，，是內一點，且，設，則（）A． B． C．3 D．2．把函數，圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象對應的函數為（）A． B．C． D．3．天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%．現采用隨機模擬試驗的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三個隨機數作為一組，代表這三天的下雨情況．經隨機模擬試驗產生了如下20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.154．的內角，，的對邊分別為，，．已知，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D6．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A． B．π C．2π D．4π7．在下列區(qū)間中，函數的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．8．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．89．在正方體中，，分別為棱，的中點，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．10．連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點數作為點的坐標，則點落在圓內的概率為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角的對邊分別為.若，則的值為__________.12．數列滿足：（且為常數），，當時，則數列的前項的和為________.13．已知數列是等差數列，記數列的前項和為，若，則________.14．如圖是一個三角形數表，記，，…，分別表示第行從左向右數的第1個數，第2個數，…，第個數，則當，時，______.15．若八個學生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數據的方差是______16．已知，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）解關于的不等式；（2）若不等式的解集為，求實數，的值.18．設遞增數列共有項，定義集合，將集合中的數按從小到大排列得到數列；（1）若數列共有4項，分別為，，，，寫出數列的各項的值；（2）設是公比為2的等比數列，且，若數列的所有項的和為4088，求和的值；（3）若，求證：為等差數列的充要條件是數列恰有7項；19．已知數列的前項和，函數對任意的都有，數列滿足.（1）求數列，的通項公式；（2）若數列滿足，是數列的前項和，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在請求出的取值范圍；若不存在請說明理由．20．已知數列的前n項和為，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）證明：.21．已知公差不為0的等差數列{an}滿足a3=9，a（1）求{a（2）設數列{bn}滿足bn=1n(

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】分析：建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），由平面向量坐標表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點睛：本題主要考察平面向量的坐標表示，根據條件建立平面直角坐標系，分別寫出各點坐標，屬于中檔題．2、C【解析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數化為的形式，然后再利用三角函數的圖像變換即可求解.【詳解】函數，函數圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標伸長到原來的2倍，可得.故選：C【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎題.3、B【解析】解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機數，在20組隨機數中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、932、812、393，共5組隨機數，∴所求概率為=0.1．故選B4、A【解析】

由正弦定理，整理得到，即可求解，得到答案.【詳解】在中，因為，由正弦定理可得，因為，則，所以，即，又因為，則，故選A.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，其中解答中熟練應用正弦定理的邊角互化，以及特殊角的三角函數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

根據向量共線定理進行判斷即可.【詳解】因為，且，有公共點B，所以A，B，D三點共線．故選：A.【點睛】本題考查了用向量共線定理證明三點共線問題，屬于?？碱}.6、B【解析】

根據正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.7、B【解析】

由函數的解析式，再根據函數零點的存在定理可得函數的零點所在的區(qū)間．【詳解】函數的零點所在的區(qū)間即函數與的交點所在區(qū)間.由函數與在定義域上只有一個交點，如圖.函數在定義域上只有一個零點.又，所以.所以的零點在上故選：B【點睛】本題主要考查求函數的零點所在區(qū)間，函數零點的存在定理，屬于基礎題．8、A【解析】

由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【詳解】||．故選A．【點睛】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．9、A【解析】

如圖做輔助線，正方體中，且，P，M為和中點，,則即為所求角，設邊長即可求得．【詳解】如圖，取的中點，連接，，.因為為棱的中點，為的中點，所以，所以，則是異面直線與所成角的平面角.設，在中，，，則，即.【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵在于構造包含異面直線所成角的三角形．10、B【解析】

由拋擲兩枚骰子得到點的坐標共有36種，再利用列舉法求得點落在圓內所包含的基本事件的個數，利用古典概型的概率計算公式，即可求解．【詳解】由題意知，試驗發(fā)生包含的事件是連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數作為點P的坐標，共有種結果，而滿足條件的事件是點P落在圓內，列舉出落在圓內的情況：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8種結果，根據古典概型概率公式，可得，故選B．【點睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于基礎題．解題時要準確理解題意，先要判斷該概率模型是不是古典概型，正確找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數，令古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1009【解析】

利用余弦定理化簡所給等式，再利用正弦定理將邊化的關系為角的關系，變形化簡即可得出目標比值．【詳解】由得，即，所以，故．【點睛】本題綜合考查正余弦定理解三角形，屬于中檔題．12、【解析】

直接利用分組法和分類討論思想求出數列的和.【詳解】數列滿足：（且為常數），，當時，則，所以（常數），故，所以數列的前項為首項為，公差為的等差數列.從項開始，由于，所以奇數項為、偶數項為，所以，故答案為：【點睛】本題考查了由遞推關系式求數列的性質、等差數列的前項和公式，需熟記公式，同時也考查了分類討論的思想，屬于中檔題.13、1【解析】

由等差數列的求和公式和性質可得，代入已知式子可得．【詳解】由等差數列的求和公式和性質可得：＝，且，∴.故答案為：1．【點睛】本題考查了等差數列的求和公式及性質的應用，屬于基礎題．14、【解析】

由圖表，利用歸納法，得出，再利用疊加法，即可求解數列的通項公式.【詳解】由圖表，可得，，，，，可歸納為，利用疊加法可得：，故答案為.【點睛】本題主要考查了歸納推理的應用，以及數列的疊加法的應用，其中解答中根據圖表，利用歸納法，求得數列的遞推關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.15、1.1【解析】

先求出這組數據的平均數，由此能求出這組數據的方差．【詳解】八個學生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數據的平均數為：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴這組數據的方差為：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案為1.1．【點睛】本題考查方差的求法，考查平均數、方差的性質等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．16、【解析】

由二倍角求得α，則tanα可求．【詳解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,則,即.∴.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，考查公式的靈活應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或．【解析】

（1），再解一元二次不等式即可；（2）由題意得，，代入即可求出實數，的值．【詳解】（1）∵，∴，∴，解得，∴原不等式的解集為；（2）由題意得，，即，解得或，∴或．【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，考查三個二次之間的關系，考查轉化與化歸思想，屬于基礎題．18、（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；【解析】

(1)根據題意從小到大計算中的值即可.(2)易得數列的所有項的和等于中的每個項重復加了次,再根據等比數列求和即可.(3)分別證明當時,若為等差數列則數列恰有7項以及當數列恰有7項證明為等差數列即可.【詳解】(1)易得當,,,時,,,,,.(2)若是公比為2的等比數列,且,則數列的所有項的和等于中每一項重復加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.當時,當時,當時,故,此時.(3)證明：先證明充分性：若,且為等差數列,不妨設,則數列也為等差數列為的等差數列.且最小值為,最大值為.故數列恰有7項.再證明必要性：若數列恰有7項.則因為.故的7項分別為.又,可得,即.同理有,故為等差數列.綜上可知,若,則為等差數列的充要條件是數列恰有7項【點睛】本題主要考查了數列綜合運用,需要根據題意分析與的關系,將中的通項用中的項表達,再計算即可.同時也考查了推理證明的能力.屬于難題.19、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的關系，求解；倒序相加求。（2）先用錯位相減求，分離參數，使得對于一切的恒成立，轉化為求的最值。詳解：（1）時滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對于一切的恒成立，即，令，則當且僅當時等號成立，故所以為所求.點睛：1、，一定要注意，當時要驗證是否滿足數列。2、等比乘等差結構的數列用錯位相減。3、數列中的恒成立問題與函數中的恒成立問題解法一致。20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）將已知遞推式取倒數得，，再結合等比數列的定義，即可得證；（2）由（1）得，再利用基本不等式以及放縮法和等比數列的求和公式，