2025屆山西省懷仁縣第八中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆山西省懷仁縣第八中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在銳角三角形中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知，，，則的面積為（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，則（）A． B． C． D．3．已知集合，則（）A． B． C． D．4．圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離為（）A． B． C． D．5．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B．2 C． D．6．方程的解集為（）A．B．C．D．7．若兩等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，，滿足，則的值為().A． B． C． D．8．某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為（）A．640 B．520 C．280 D．2409．直線過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝x+y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_________.12．一個(gè)三角形的三條邊成等比數(shù)列，那么，公比q的取值范圍是__________.13．某公司調(diào)查了商品的廣告投入費(fèi)用（萬元）與銷售利潤（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如下表：廣告費(fèi)用（萬元）銷售利潤（萬元）由表中的數(shù)據(jù)得線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，銷售利潤的估值為___．（其中：）14．已知向量，，若，則__________．15．不等式的解集為_______________．16．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；18．三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長分別是，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，，求．19．己知點(diǎn)，直線l與圓C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB．（1）若直線OA的方程為y＝一3x，求直線OB被圓C截得的弦長；（2）若直線l過點(diǎn)（0，2），求l的方程．20．設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記（），其中表示，，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求，，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列前項(xiàng)和.21．如圖，在三棱錐中，底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，已知，，，，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由結(jié)合題意可得：，故，△ABC為銳角三角形，則，由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)有：，則：，即：，則，由正弦定理有：，故.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：在解決三角形問題中，求解角度值一般應(yīng)用余弦定理，因?yàn)橛嘞叶ɡ碓趦?nèi)具有單調(diào)性，求解面積常用面積公式，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來.2、B【解析】

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出.【詳解】解：由已知得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由，得，然后根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算及對(duì)數(shù)不等式.4、D【解析】

先求出圓心到直線距離，再加上圓的半徑，就是圓上一點(diǎn)到直線的最大距離．【詳解】圓心（2,1）到直線的距離是，所以圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓上一點(diǎn)到直線距離最值的求法，以及點(diǎn)到直線的距離公式．5、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和為帶入即可?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，不成立。當(dāng)時(shí)，則,選擇C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

利用反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的周期為，即可得到原方程的解.【詳解】由，根據(jù)正切函數(shù)圖像以及周期可知：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】解：因?yàn)閮傻炔顢?shù)列、前項(xiàng)和分別為、，滿足，故,選B8、B【解析】

由頻率分布直方圖得到初賽成績(jī)大于90分的頻率，由此能求出獲得復(fù)賽資格的人數(shù)．【詳解】初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，由頻率分布直方圖得到初賽成績(jī)大于90分的頻率為：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為：0.1×800＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．9、C【解析】

求出,判斷當(dāng)斜率不存在時(shí)是否滿足題意，滿足兩數(shù)之外；不滿足兩數(shù)之間．【詳解】，當(dāng)斜率不存在時(shí)滿足題意，即【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由約束條件畫出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由實(shí)數(shù)，滿足作出可行域，如圖：聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)有最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求出直線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用兩直線垂直時(shí)斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出中垂線的方程．【詳解】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用動(dòng)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等列式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．12、【解析】

設(shè)三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設(shè)三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.13、12.2【解析】

先求出，的平均數(shù)，再由題中所給公式計(jì)算出和，進(jìn)而得出線性回歸方程，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，，所以，所以，故回歸直線方程為，所以當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，需要考生掌握住最小二乘法求與，屬于基礎(chǔ)題型.14、1【解析】由,得.即.解得.15、【解析】.16、.【解析】

把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出表示圓的條件，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，方程可化為，方程表示圓，則滿足，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中熟記圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根據(jù)頻率分布直方圖得出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率，然后算出樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率，最后計(jì)算出分?jǐn)?shù)小于的概率；（2）首先計(jì)算出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率，然后計(jì)算出分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，最后計(jì)算出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)。【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為．所以從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于的概率估計(jì)為。（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為?！军c(diǎn)睛】遇到頻率分布直方圖問題時(shí)需要注意：在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率；利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。18、⑴(2)【解析】

⑴由正弦定理及，得，因?yàn)椋?；⑵由余弦定理，解得【詳解】⑴由正弦定理得，由已知得，，因?yàn)?，所以⑵由余弦定理，得即，解得或，?fù)值舍去，所以【點(diǎn)睛】解三角形問題，常要求正確選擇正弦定理或余弦定理對(duì)三角形中的邊、角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行求解，同時(shí)注意三角形當(dāng)中的邊角關(guān)系，如內(nèi)角和為180度等19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，求得直線OB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線OB的距離，之后應(yīng)用圓中的特殊三角形，求得弦長；（2）根據(jù)題意，可判斷直線的斜率是存在的，設(shè)出其方程，與圓的方程聯(lián)立，得到兩根和與兩根積，根據(jù)OA⊥OB，利用向量數(shù)量積等于零得到所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€OA的方程為，，所以直線OB的方程．從而圓心到直線OB的距離為：所以直線OB被團(tuán)C截得的弦長為：．（2）依題意，直線l的斜率必存在，不妨設(shè)其為k，則l的方程為，又設(shè)，．由得，所以，．從而．所以．因?yàn)?，所以，即，解得．所以l的方程為．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩直線垂直的條件，直線被圓截得的弦長，直線方程的求解，屬于簡(jiǎn)單題目.20、（1）；（2），，，；（3）【解析】

（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，運(yùn)用已知求公式，即可求解通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，寫出通項(xiàng)，根據(jù)定義，令，可求解，，的值，再判斷單調(diào)遞減，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由（1）（2）的數(shù)列、的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列中，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，∴，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∴是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴.（2），，，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減，所以.（3）作差，得【點(diǎn)睛】本題考查（1）已知求公式；（2）數(shù)列的單調(diào)性；（3）錯(cuò)位相減法求和；考查計(jì)算能力，考查分析問題解決