河北省邢臺市南和一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

河北省邢臺市南和一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B．C． D．32．若函數(shù)（）有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．3．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與原正方體體積的比值為()A． B． C． D．4．直線，，的斜率分別為，，，如圖所示，則（）A． B．C． D．5．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（）A． B． C． D．7．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的值為（）A．4 B．5 C．7 D．98．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為6，圓心角為的扇形，則圓錐的高為（）A． B． C． D．59．如果直線m//直線n，且m//平面α，那么n與αA．相交 B．n//α C．n?α10．下列說法不正確的是（）A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．平行于圓臺底面的平面截圓臺，截面是圓面D．直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，海岸線上有相距海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西，與A相距海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與B相距海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為海里，兩艘輪船之間的距離為海里．12．設(shè)向量，，______.13．下圖是2016年在巴西舉行的奧運會上，七位評委為某體操運動員的單項比賽打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為__________．14．已知數(shù)列的前項和為，，則__________．15．設(shè)，，，，，為坐標原點，若、、三點共線，則的最小值是_______．16．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正項數(shù)列的前項和為，且.（Ⅰ）試求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求的前項和為.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．設(shè)數(shù)列滿足，，，.s（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列的通項，并求數(shù)列的前項和；（3）若，且是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.19．已知余切函數(shù).（1）請寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.20．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若的，求的最大值.21．已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足.若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，因為，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不是準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

函數(shù)（）有兩個不同的零點等價于函數(shù)在均有一個解，再解不等式即可.【詳解】解：因為，由函數(shù)（）有兩個不同的零點，則函數(shù)在均有一個解，則，解得：，故選：A.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的零點問題，重點考查了分式不等式的解法，屬中等題.3、C【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，得到是在正方體中，截去四面體，利用體積公式，求出其體積，然后得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖還原出幾何體，如圖所述，得到是在正方體中，截去四面體設(shè)正方體的棱長為，則，故剩余幾何體的體積為，所以截去部分的體積與剩余部分的體積的比值為.故選：C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖求幾何體的體積；關(guān)鍵是正確還有幾何體，利用體積公式解答，屬于簡單題.4、A【解析】

根據(jù)題意可得出直線，，的傾斜角滿足，由傾斜角與斜率的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)三條直線的傾斜角為，根據(jù)三條直線的圖形可得，因為，當時，，當時，單調(diào)遞增，且，故，即故選A.【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟悉正切函數(shù)的單調(diào)性.5、D【解析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得；根據(jù)誘導(dǎo)公式可將所求式子化為，代入求得結(jié)果.【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查任意角三角函數(shù)值的求解、利用誘導(dǎo)公式化簡求值問題；關(guān)鍵是能夠通過角的終邊上的點求得角的三角函數(shù)值.6、C【解析】

根據(jù)題目條件結(jié)合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA，進而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.【詳解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故選C【點睛】本題考查了正弦定理及二倍角余弦公式的靈活運用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

將原不等式化簡后，根據(jù)不等式的解集列方程組，求得的值，進而求得的值.【詳解】由得，依題意上述不等式的解集為，故，解得（舍去），故.故選:D.【點睛】本小題主要考查類似：已知一元二次不等式解集求參數(shù)，考查函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用扇形的弧長為底面圓的周長求出后可求高.【詳解】因為側(cè)面展開圖是一個半徑為6，圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長為6，設(shè)其底面半徑為，則，所以，所以圓錐的高為，選C【點睛】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，如果圓錐的母線長為，底面圓的半徑長為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為.9、D【解析】

利用直線與平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】∵直線m/直線n,且m/平面∴當n不在平面α內(nèi)時，平面α內(nèi)存在直線m'//m?n//m'，符合線面平行的判定定理可得n/平面α當n在平面α內(nèi)時，也符合條件，n與α的位置關(guān)系是n//α或【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面平行的性質(zhì)，意在考查對基本定理掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)，對選項中的命題分析、判斷正誤即可．【詳解】A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，正確；B．∵同一個圓錐的母線長相等，∴圓錐過軸的截面是一個等腰三角形，正確；C．根據(jù)平行于圓臺底面的平面截圓臺截面的性質(zhì)可知：截面是圓面正確；D．直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，而直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是兩個對底面的兩個圓錐，因此D不正確．故選：D．【點睛】本題考查了命題的真假判斷，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5,【解析】

為等邊三角形，所以算出，,再在中根據(jù)余弦定理易得CD的長．【詳解】因為為等邊三角形，所以．在中根據(jù)余弦定理解得．【點睛】此題考查余弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵點通過已知條件轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型再通過余弦定理求解即可，屬于較易題目．12、【解析】

利用向量夾角的坐標公式即可計算.【詳解】.【點睛】本題主要考查了向量夾角公式的坐標運算，屬于容易題.13、【解析】由平均數(shù)公式可得，故所求數(shù)據(jù)的方差是，應(yīng)填答案。14、【解析】分析：由，當時，當時，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項公式詳解：當時，當時由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式即數(shù)列遞推式，在解答此類問題時看到，則用即可算出，需要注意討論的情況。15、【解析】

根據(jù)三點共線求得的的關(guān)系式，利用基本不等式求得所求表達式的最小值.【詳解】依題意，由于三點共線，所以，化簡得，故，當且僅當，即時，取得最小值【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

作出圖形，設(shè)正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導(dǎo)出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進而得解.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時平方,利用遞推法可得的表達式,由兩式相減,變形即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進而結(jié)合首項與公差求得的通項公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數(shù)列的通項公式,利用裂項法即可求得前項和.（Ⅲ）先求得的取值范圍,結(jié)合不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因為正項數(shù)列的前項和為,且化簡可得由遞推公式可得兩式相減可得,變形可得即,由正項等比數(shù)列可得所以而當時,解得所以數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知則代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知則,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則且當時,,即所以因為對一切的恒成立則滿足,解不等式組可得即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式與求和公式的應(yīng)用,裂項求和法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性與不等式關(guān)系,綜合性強,屬于中檔題.18、（1）證明見解析，；（2），；（3）.【解析】

（1）利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列，并確定該數(shù)列的首項和公差，即可得出數(shù)列的通項；（2）利用累加法求出數(shù)列的通項，然后利用裂項法求出數(shù)列的前項和；（3）求出，然后分為正奇數(shù)和正偶數(shù)兩種情況分類討論，結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），等式兩邊同時減去得，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，因此，；（2），，，；（3）.當為正奇數(shù)時，，，由，得，可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，；當為正偶數(shù)時，，，由，得，可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用等差數(shù)列的定義證明等差數(shù)列，同時也考查了累加法求通項、裂項求和法以及利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)，充分利用單調(diào)性的定義來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減速區(qū)間：（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果．（2）利用單調(diào)性的定義和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【詳解】（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減區(qū)間：（2）任取，，，有因為，所以，于是，，從而，.因此余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．20、（1）；（2）6.【解析】

（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合，得到，再由已知條件求得，即可求得等比數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果化簡得到，由此結(jié)合已知條件，即可求解.【詳解】（1）由已知，所以，即，從而，，又因為成等差數(shù)列，即，所以，解得，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，