山西省太原市第四十八中學(xué)高三下學(xué)期一??荚囆赂呖紨?shù)學(xué)試題及答案解析_第1頁
山西省太原市第四十八中學(xué)高三下學(xué)期一??荚囆赂呖紨?shù)學(xué)試題及答案解析_第2頁
山西省太原市第四十八中學(xué)高三下學(xué)期一模考試新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析_第3頁
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文檔簡介

山西省太原市第四十八中學(xué)高三下學(xué)期一??荚囆赂呖紨?shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.322.已知集合,,則()A. B.C. D.3.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或14.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.5.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.6.如圖,四邊形為正方形,延長至,使得,點在線段上運動.設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知當,,時,,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定8.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.9.若,則的虛部是A.3 B. C. D.10.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}11.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.12.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù),滿足約束條件,則的最大值是__________.14.已知向量,,若,則________.15.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù),每天安排一人,每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加,且當甲、乙兩人都參加時,他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰,那么不同的安排種數(shù)為______________.(用數(shù)字作答)16.平面向量與的夾角為,,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為().(1)求拋物線C的極坐標方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點,求的值.19.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)在平面直角坐標系中,點是直線上的動點,為定點,點為的中點,動點滿足,且,設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線交曲線于,兩點,為曲線上異于,的任意一點,直線,分別交直線于,兩點.問是否為定值?若是,求的值;若不是,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:當時,;(2)若在只有一個零點,求的值.22.(10分)在直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)若射線的極坐標方程為().設(shè)與相交于點,與相交于點,求.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)隨機數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個編號為21.故選:B【點睛】本小題主要考查隨機數(shù)表法進行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

求出集合,計算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點坐標,代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.5、C【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.6、C【解析】

以為坐標原點,以分別為x軸,y軸建立直角坐標系,利用向量的坐標運算計算即可解決.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系,不妨設(shè)正方形的邊長為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點睛】本題考查利用向量的坐標運算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,是一道基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時,根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.8、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點:雙曲線方程.9、B【解析】

因為,所以的虛部是.故選B.10、C【解析】

根據(jù)集合的并集、補集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點睛】本題考查的是集合并集,補集的概念,屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項;由于,所以,排除C選項;由于當時,,排除D選項.故A選項正確.故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.12、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因為所以,當時,.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

令,所求問題的最大值為,只需求出即可,作出可行域,利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域,如圖令,則,顯然當直線經(jīng)過時,最大,且,故的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標函數(shù)的最值問題,要做好此類題,前提是正確畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.14、10【解析】

根據(jù)垂直得到,代入計算得到答案.【詳解】,則,解得,故,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),向量模,意在考查學(xué)生的計算能力.15、5040.【解析】分兩類,一類是甲乙都參加,另一類是甲乙中選一人,方法數(shù)為。填5040.【點睛】利用排列組合計數(shù)時,關(guān)鍵是正確進行分類和分步,分類時要注意不重不漏.在本題中,甲與乙是兩個特殊元素,對于特殊元素“優(yōu)先法”,所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題,采用“插空法”。16、【解析】

由平面向量模的計算公式,直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為,所以,所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算,只需先求出向量的數(shù)量積,進而即可求出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】

(1)取的中點,連.可證得,,于是可得平面,進而可得結(jié)論成立.(2)運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點,連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時,關(guān)鍵點是恰當建立空間直角坐標系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.18、(1)(2)【解析】

(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達定理,,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因為,,代入得,所以拋物線C的極坐標方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【點睛】本題考查直角坐標和極坐標的轉(zhuǎn)化,考查極坐標方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,難度一般.19、(1)見解析;(2).【解析】

(1)取的中點,連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.20、(1);(2)是定值,.【解析】

(1)設(shè)出M的坐標為,采用直接法求曲線的方程;(2)設(shè)AB的方程為,,,,求出AT方程,聯(lián)立直線方程得D點的坐標,同理可得E點的坐標,最后利用向量數(shù)量積算即可.【詳解】(1)設(shè)動點M的坐標為,由知∥,又在直線上,所以P點坐標為,又,點為的中點,所以,,,由得,即;(2)設(shè)直線AB的方程為,代入得,設(shè),,則,,設(shè),則,所以AT的直線方程為即,令,則,所以D點的坐標為,同理E點的坐標為,于是,,所以,從而,所以是定值.【點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.21、(1)見解析;(2)【解析】

分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點,等價研究的零點,先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個討論點,一個是a與零,一個是x與2,當時,,沒有零點;當時,先減后增,從而確定只有一個零點的必要條件

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