教學(xué)課件411實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算-4

第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1.1

實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算一、有理數(shù)指數(shù)冪

二、實(shí)數(shù)指數(shù)冪

三、用信息技術(shù)求實(shí)數(shù)指數(shù)冪

四、課堂小結(jié)

五、課后作業(yè)情境與問題

國(guó)家統(tǒng)計(jì)局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈爆炸式增長(zhǎng)：2013年為221.59億元，2014年、2015年、2016年的年增長(zhǎng)率分別為16.84%，14.06%，14.26%。你能根據(jù)這三個(gè)年增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長(zhǎng)幸，并以2013年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)2017年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎？一

、

有理指數(shù)冪

初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的知識(shí)，例如25=2×2×2×2×2=32，

30=1

一般地，an中的a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的運(yùn)算法則有

aman=，(am)n=，(ab)m=.am+n

amnambm嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.閱讀課本1-2頁，類比二次方根和三次方根，給出四次方根和五次方根的定義。2.思考：n次方根的定義

一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn=a，則x稱為a的

。n次方根

例如，因?yàn)榉匠蘹4=81的實(shí)數(shù)解為3與-3，因此3與-3都是81的4次方根：因?yàn)?5=32，而且x5=32只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以32的5次方根為2

根據(jù)方程xn=a解的情況不難看出：(1)0的任意正整數(shù)次方根均為0，記為.(2)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的方根稱為a的n次算術(shù)根，記為，負(fù)的方根記為-；負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在，即當(dāng)a＜0且n為偶數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義。(3)任意實(shí)數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個(gè)，記為。而且正數(shù)的奇數(shù)數(shù)次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)數(shù)次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)有意義的時(shí)候，稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).

一般地，根式具有以下性質(zhì)：(1)

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

例如，嘗試與發(fā)現(xiàn)

你能想出一個(gè)新的二次根式符號(hào)的表示方法，使成為(am)n=amn的特例，成為ambm=(ab)m的特例嗎？請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本第5頁，小組之間討論交流一下。一般地，如果n是正整數(shù)，那么：當(dāng)有意義時(shí)，規(guī)定

當(dāng)沒有意義時(shí)，稱沒有意義.

對(duì)于一般的正分?jǐn)?shù)，也可作類似規(guī)定，即

但值得注意的是，這個(gè)式子在不是既約分?jǐn)?shù)（即m，n有大于1的公約數(shù)）時(shí)可能會(huì)有歧義.例如，是有意義的，而是沒有意義的。因此，以后如果沒有特別說明，一般總認(rèn)為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的指數(shù)都是既約分?jǐn)?shù)。負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪類似，即若s是正分?jǐn)?shù)，as有意義且a≠0時(shí)，規(guī)定a-s=

現(xiàn)在我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪推廣到了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(即有理數(shù)指數(shù)冪).一般情況下，當(dāng)s與t都是有理數(shù)時(shí)，有運(yùn)算法則：asat=as+t(as)t=ast(ab)s=asbs

求證：如果a>b>0，n是大于1的自然數(shù)，那么證明假設(shè)，即

或根據(jù)不等式的性質(zhì)與根式的性質(zhì)，得

a<b或a=b.這都與a>b矛盾，因此假設(shè)不成立，從而利用例1的結(jié)論，可以證明（留作練習(xí)）：（1）如果a>s>0，s是正有理數(shù)，那么as>bs；（2）如果a>1，s是正有理數(shù)，那么as>1，a-s<1；（3）如果a>1，s>t>0，且s與t均為有理數(shù)，那么as>at二、實(shí)數(shù)指數(shù)冪嘗試與發(fā)現(xiàn)

有理數(shù)指數(shù)冪還可以推廣到無理數(shù)指數(shù)冪，我們應(yīng)該怎樣理解2π這個(gè)數(shù)呢？請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本6-7頁，思考這個(gè)問題。一般地，當(dāng)a>0且t是無理數(shù)時(shí)，at都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，我們可以用與上述類似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，當(dāng)a>0，t為任意實(shí)數(shù)時(shí)，可以認(rèn)為實(shí)數(shù)指數(shù)冪at都有意義.可以證明，對(duì)任意實(shí)數(shù)s和t，類似前述有理指數(shù)釋的運(yùn)算法則仍然成立。典型例題例1用根式的形式表示下列各式(x>0)．

；(2).解：(1)＝.(2)

＝

.

典型例題例2計(jì)算下列各式的值：(1)(2)解：(1)(2)典型例題例3化簡(jiǎn)下列各式：(1)

(2)解:(1)原式=

(2)原式=三、用信息技術(shù)求實(shí)數(shù)指數(shù)冪

實(shí)數(shù)指數(shù)冪的值可以通過計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件方便地求得。在GeoGebra中，在“運(yùn)算區(qū)”利用符號(hào)“?”，就可以得到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的精確值或近似值.如圖4-1-1所示，前面三個(gè)是在符號(hào)計(jì)算模式下的輸入和所得到的結(jié)果，后面兩個(gè)是在數(shù)值計(jì)算模式下得到的結(jié)果。下面我們來求本節(jié)情境與問題中的年平均增長(zhǎng)率。假設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則應(yīng)該有(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3

從而x=由此可預(yù)測(cè)2017年的科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出為

221.59×(1+15.05%)4≈388.24（億元）