廊坊市2017-2018年高二年級(jí)下冊(cè)期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含解析

廊坊市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

，._O

x=2-rsin30,._

1.已知直線，.〃。。為參數(shù)）與圓*2+）2=8相交于人（：兩點(diǎn)，則|8。|的值為（）

y=-l+rsin30

A.2>/7B.同C.772D.叵

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化方法，然后聯(lián)立方程組，通過(guò)弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

.?0

x=2-/sin30

曲線,（/為參數(shù)），化為普通方程y=i-X,

y=-l+rsin30

將y=l-x代入/+丁=8,可得2%2-2%一7=0,

.,.忸C|=Jl+（-[l+dx*同，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

v.2

2.函數(shù)/（力二丁力的部分圖象大致為（）

41nlM

【答案】A

【解析】

【分析】

判斷函數(shù)的奇偶性，排除B,確定0<x<l時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，排除C,再由Xfy時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)

排除D.從而得正確結(jié)論.

【詳解】

Y7Y2

因?yàn)?"）=了而是偶函數(shù)，排除B'當(dāng)時(shí)，1可凡<0,f（x）=而<°'排除C，

2

當(dāng)x=e時(shí)/(e)=(>l,排除D.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由解析式選圖象，可能通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等排除一些選項(xiàng)，通過(guò)

特殊的函數(shù)值、特殊點(diǎn)如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，函數(shù)值的正負(fù)等排除一些，再可通過(guò)函數(shù)值的變化趨勢(shì)又排除

一些，最多排除三次，剩下的最后一個(gè)選項(xiàng)就是正確選項(xiàng).

'y<4

3.若實(shí)數(shù)x，>滿足不等式組,2x-y+2?0,則z=x+2了的最大值為（）

x+y—120

A.8B.10C.7D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

]Z

根據(jù)約束條件，作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)z=x+2.y化為y=+結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，

目標(biāo)函數(shù)z=x+2y可化為），=_/+],

結(jié)合圖像可得，

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y過(guò)點(diǎn)。時(shí)取得最大值，

y=4

解得。（L4）.

2x-y+2=0

此時(shí)Za=1+8=9.

選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，通常需要作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖像求解，屬于常考題型.

4,用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.24B.48

C.60D.72

【答案】D

【解析】

試題分析：由題意，要組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5,其他位置共有種

排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3A：=72,故選D.

【考點(diǎn)】排列、組合

【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注

意整個(gè)事件的完成步驟.在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)

位置.

5.“若讓3,則Vx'O,都有/(x)N0成立”的逆否命題是()

A.Hr<0有.f(x)<0成立，則B.3x<0W則“</

C.Vxeo有/(x)<o成立，則a<gD.*20有/(x)<0成立，則

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)逆否命題定義以及全稱命題否定求結(jié)果.

【詳解】

“若心；，則VxNO,都有/(x)NO成立”的逆否命題是：王20有〃x)<0成立，則”;，選D.

【點(diǎn)睛】

對(duì)全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量

詞，再進(jìn)行否定；②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.

6.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到

該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽

樣方法中，最合理的抽樣方法是()

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣

C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣

【答案】C

【解析】

試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.

考點(diǎn)：分層抽樣.

7.若圓0：(》一3)2+(卜一4『=25和圓。2：(》+2)2+(>>+8)2=/(5<r<10)相切，則廠等于()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)的圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內(nèi)切、外切的條件，分別求得，?的值并驗(yàn)證

5<r<10即可得結(jié)果.

【詳解】

圓。：(%-3)2+(k4)2=25的圓心日(3,4),半徑為5；

圓Q:(x+2『+(>+8)2=/的圓心Q(-2,-8),半徑為r.

若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即，(3+2『+(4+8『=等一5|,

求得r=18或一8,不滿足5<r<10.

若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即J(3+2『+(4+8)2=等+5|,

求得r=8或一18(舍去)，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.兩圓半徑為凡廣，兩圓心間的距離為“，比

較d與R—r及d與R+r的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系.

8.記函數(shù)/(%)=山(％+1)+>/1。的定義域?yàn)?1,函數(shù)g(x)=2*—2-'+/+1,若不等式

g(2x+a)+g(x-l)>2對(duì)xeA恒成立，則a的取值范圍為()

A.(4,+oo)B.(-2,4]C.[4,+oo)D.(-<?,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】

列不等式求出集合A=(-1,1],設(shè)E(x)=2'—2-'+/,可得尸(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故原題等價(jià)

于F(2x+a)+F(x-l)>0,結(jié)合奇偶性和單調(diào)性以及分離參數(shù)思想可得a>l-3x在(-1,1]上恒成立，

根據(jù)l-3x的范圍即可得結(jié)果.

【詳解】

[x+l>0

由得即A=(-l,l]

設(shè)戶(x)=2*—2-*+X3,

產(chǎn)(一力=2-x-2、-d=-尸(力，即函數(shù)F(x)在R上為奇函數(shù)，

又???y=2'-2」'和y=1為增函數(shù)，

二尸(?=2,-2一工+/既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

由g(2x+a)+g(x-l)>2得F(2x+a)+F(x-l)>0,

則E(2x+ci)>—Ff^x—1)—/(1—x),

2x+a>1-x即a>l-3x在(―1,1]上恒成立，

1—3xe[—2,4),a.4,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的應(yīng)用，恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)E(x)=2*-2-'+》3是解題的關(guān)

鍵，屬于中檔題.

9.如圖：在直棱柱ABC—中，AA}=AB=AC,ABVAC,P,Q,M分別是AiB】,BC,CCi的中

點(diǎn)，則直線PQ與AM所成的角是()

【答案】D

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量確定異面直線所成的角即可.

【詳解】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-?，z,

設(shè)AB=2,則A（0,0,0）,P（l,0,2），e（l,l,0）,M（0,2,l）,

據(jù)此可得：PQ=（O,l,—2）,4W=（O,2,l）,

TT

PQAM=O,故PQ_LAA/,即直線PQ與AM所成的角是5.

本題選擇D選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量的應(yīng)用，異面直線所成的角的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能

力.

10.岳陽(yáng)高鐵站81進(jìn)站口有3個(gè)閘機(jī)檢票通道口，高考完后某班3個(gè)同學(xué)從該進(jìn)站口檢票進(jìn)站到外地旅

游，如果同一個(gè)人進(jìn)的閘機(jī)檢票通道口選法不同，或幾個(gè)人進(jìn)同一個(gè)閘機(jī)檢票通道口但次序不同，都視為

不同的進(jìn)站方式，那么這3個(gè)同學(xué)的不同進(jìn)站方式有（）種

B.36C.42D.60

【答案】D

【解析】

分析：三名同學(xué)可以選擇1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，三種情況分別計(jì)算進(jìn)站方式即可得到

總的進(jìn)站方式.

詳解：若三名同學(xué)從3個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，則有8=6種;

若三名同學(xué)從2個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，則有C；C；&&=36種;

若三名同學(xué)從1個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，則有C；勾=18種

綜上，這3個(gè)同學(xué)的不同進(jìn)站方式有60種，選D.

點(diǎn)睛：本題考查排列問(wèn)題，屬于中檔題，解題注意合理分類討論，而且還要注意從同一個(gè)進(jìn)站口進(jìn)入

的學(xué)生的不同次序.

11.（2—V）（l+?）8的展開(kāi)式中不合小項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）

A.-26B.230C.254D.282

【答案】D

【解析】

【分析】

采用賦值法，令X=1得：求出各項(xiàng)系數(shù)之和，減去丁項(xiàng)系數(shù)即為所求

【詳解】

（2-》3）（1+4『展開(kāi)式中，令x=l得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為

而（1+6『展開(kāi)式的的通項(xiàng)為則（2—丁）（1+6『展開(kāi)式中含/項(xiàng)系數(shù)為2C：-點(diǎn)=-26,

故（2-?。?+?『的展開(kāi)式中不含/項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為

28-（-26）=282.

故選D.

【點(diǎn)睛】

考查對(duì)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識(shí)和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反.

12.使不等式1+1>0成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

x

A.x>0B.x>-lC.x<-l或x〉0D.-l<x<0

【答案】A

【解析】

【分析】

首先解出不等式1+,>0,因?yàn)槭遣坏仁?+工>0成立的一個(gè)充分不必要條件，所以滿足是不等式

XX

1+，>0的真子集即可.

X

【詳解】

因?yàn)閘+’>0n凹>0=x（x+l）>0,所以x〉0或x<-l,需要是不等式1+,>0成立的一個(gè)充

XXX

分不必要條件，則需要滿足是（-8,-1）（0,+8）的真子集的只有A,所以選擇A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題

13.設(shè)(1-or)288=%+4%+生％2++a2018fo18,若4+2%+36+…+201802018=2018。(a/0),

則實(shí)數(shù)a=.

【答案】2

【解析】

【分析】

將左右兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)，取x=l代入導(dǎo)函數(shù)得到答案.

【詳解】

Z1X2018,_2,,2018

(1—CIX)=《)+4%+。21++%018、

兩邊分別求導(dǎo)：

-017

-2018a(l-=4+2<2OX++2O18ct,O|8x

取x=l

~2018cz(l—a)~°"=4+2%++2018/38=2018。

a=2

故答案為2

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的計(jì)算，對(duì)兩邊求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

14.已知球二的半徑為二二二二三點(diǎn)在球二的球面上，球心二到平面二二二的距離為士二，

二二=二二=匚二=3,則球二的表面積為.

【答案】16~

【解析】

試題分析：設(shè)平面二二二截球所得球的小圓半徑為尸，則二二=三=，3二=、盡由

二：=二；+二；=(H)；+C)：解得二：=4,所以球的表面積二=4二二：=16二.

考點(diǎn)：球的表面積.

【名師點(diǎn)睛】球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是一個(gè)圓面，如果截面過(guò)球心，則截面圓半徑等

于球半徑，如果截面圓不過(guò)球心，則截面圓半徑小于球半徑，設(shè)截面圓半徑為，球半徑為二球心到截

面圓距離為二則二=、二；一二;.在圓中也有類似的性質(zhì).解題時(shí)注意應(yīng)用.

15.已知tan(a+/?)=1,tan(a-/?)=5,則tan2/?=.

2

【答案】-§

【解析】

【分析】

利用兩角差的正切公式tan2月=tan[(&+￡)-(a-4)]展開(kāi)，代入相應(yīng)值可計(jì)算出

tan2夕的值.

【詳解】

tan(a+/7)_tan(a—4)1一52

tan24=tan[(a+尸)-(a-⑶]

1+tan(a+/7)tan(a-⑶1+1x53

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，解題時(shí)，首先應(yīng)利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式

展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

16.某等腰直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為4,若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是卜，

則^=

_,64萬(wàn)

【答案】—

【解析】

分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解

1644

詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是^=q5〃=—；-

33

點(diǎn)睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為V=

三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/(X)=%2,h(x)=14x.

[x,xe(-oo,r)

(1)令？=“J、，當(dāng)x=2時(shí)y=4,求實(shí)數(shù)，的取值范圍

[/(X),XG[Z,+OO)

心嚴(yán))

,x<0/1

(2)令y=<(21的值域?yàn)榍髮?shí)數(shù)。的取值范圍；

x>0

(3)已知函數(shù)在尸(x),G(x)數(shù)集。上都有定義，對(duì)任意的當(dāng)辦<2時(shí)

G(x,)<"C伍)<G(%2)或G(X2)<"㈤[⑺<G(x,)成立，則稱G(x)是數(shù)集D上

—X)的限制函數(shù)；令函數(shù)網(wǎng)x)=/(x)—g(x),求其在0=(0,”)上的限制函數(shù)G(x)的解析式，并

求G(x)在。=(0,+8)上的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)(9,2]

(2)(0,1]

(3)G(X)=2尤—正增區(qū)間為在(0,+8)

【解析】

【分析】

(1)由分段函數(shù)求值問(wèn)題，討論x=2落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實(shí)數(shù)f的取值范圍；

(2)由分段函數(shù)值域問(wèn)題，由函數(shù)的值域可得(0,l]D(T?,a)=(e,l],再求出實(shí)數(shù)"的取值范圍；

(3)先閱讀題意，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得G(x)=2x-立，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

[x,xe(-oo,r)

解：(1)由，=〈，/、、，且x=2時(shí)y=4,

[/(x),xe[zr,+oo)

當(dāng)r>2時(shí)，有x=2時(shí)，y=x=2,與題設(shè)矛盾，

當(dāng)時(shí)，有x=2時(shí),y=/(2)=22=4,與題設(shè)相符，

故實(shí)數(shù)/的取值范圍為：(-8,2]；

(2)當(dāng)xWO,y=，因?yàn)閤<0,所以寸之0,即ye((),l],

當(dāng)x>0,y=a-14x,因?yàn)閤>0,所以五>0，即yw(T?,a),

又由題意有((),1]D(F,a)=(e,1],

所以0<aVl,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,1]；

(3)由尸(x)=/(X)—8(0=廿一2&的導(dǎo)函數(shù)為F(x)=2x-五，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)F(x)在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在這一點(diǎn)處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義

可知G(x)=2x—立，

由G("=2+.>0,即函數(shù)G(x)在。=(0,”)為增函數(shù),

故函數(shù)G(x)在(0,+。)為增函數(shù).

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)求值問(wèn)題、分段函數(shù)值域問(wèn)題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔

題.

18.已知函數(shù)/(x)="+(l—Qx為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)Ax)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，求*的取值范圍.

【答案】⑴極小值為/(())=1(2)(F,e+1］

【解析】

分析：(1)根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟求解即可；

(2)_f(x)=e'+l-左，由于函數(shù)“X)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，所以，令/'(x)NO,貝U/+1—左20

即ex+l>々在［1,2］上恒成立，由此可求人的取值范圍..

詳解：

(1)當(dāng)k=2時(shí)，f{x}=ex-x,

f\x)=ex-\,令_f(x)=(),解得x=0,

當(dāng)犬變化時(shí)，/'(X),的變化情況如下表

XF°)0(0,+oo)

/'(X)一0+

“X)、單調(diào)遞減1/單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=0時(shí)，/(x)有極小值，并且極小值為/(0)=1

(2)r(x)="+l-左，由于函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)

所以，令/'(%)",則"+1-420

即在［1,2］上恒成立

設(shè)g(x)=e'+l,則g(x)在［1,2］上為增函數(shù)，

=1=e+1

^Wmin<?()

k<e+l,即女的取值范圍是(fo,e+l］.

點(diǎn)睛：本題考查利用到時(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.是圣.

19.某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外

250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分兩層）從該年級(jí)

的學(xué)生中抽查100名同學(xué).如果以身高達(dá)到165厘米作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得

到以下列聯(lián)表：

身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)

積極參加體育鍛煉40

不積極參加體育鍛煉15

總計(jì)100

（1）完成上表;

（2）能否有犯錯(cuò)率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？（K2的觀測(cè)值精確到0.001）.

n(ad-bey

參考公式：K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.250.150.100.050.0250.0100.001

k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（D

身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)

積極參加體育鍛煉403575

不積極參加體育鍛煉101525

總計(jì)5050100

（2）不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系.

【解析】

【分析】

（1）由分層抽樣的計(jì)算方法可求得積極參加鍛煉與不積極參加鍛煉的人數(shù)，填入表格中,

根據(jù)表格中的總計(jì)及各項(xiàng)值求出其它值即可；

（2）由公式計(jì)算出《2,與參考數(shù)據(jù)表格中3.841作比較，若小于3.841則不可以，若大于3.841則可以.

【詳解】

（I）填寫(xiě)列聯(lián)表如下:

身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)

積極參加體育鍛煉403575

不積極參加體育鍛煉101525

總計(jì)5050100

(II)K2的觀測(cè)值為K-=H)°x(40xl5-35x10)=1.333<3,841.

75x25x50x50

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，根據(jù)抽樣方法進(jìn)行計(jì)算填表，將數(shù)值代入公式求出K?，注意保留三位小數(shù)，注意

觀測(cè)值與概率之間的大小關(guān)系與趨勢(shì).

20.已知函數(shù)/(無(wú))=G?—6x+1,a&R.

(1)若a=2,求/(x)的極值；

(2)若/(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍.

【答案】(1)極大值為/1(-1)=5,極小值為了⑴=一3.(2)0<?<32

【解析】

分析：(1)若。=2,則〃x)=2d—6x+l,r(x)=6d-6,根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值的方法即可,

(2)/(司=3辦2—6,分類討論，若“X)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則“X)的極大值大于零，極小值小于零，

即可求出的取值范圍..

詳解：

(1)若4=2,貝1J/(X)=2V—6x+l,/'(%)=6^-6,

所以，當(dāng)x<—1或x>l時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)—1<X<1時(shí)，/,(x)<0；

所以/(X)在(F,-1)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在(1,”)單調(diào)遞增，

所以/(X)的極大值為/(一1)=5,/(X)的極小值為〃1)=-3.

(2)/'(x)=3tzx2-6,

當(dāng)aWO時(shí)，/'(?=3公-6?恒成立，/(x)在R上單調(diào)遞減，

/(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)"0時(shí)，令/(x)=0,則|x=±Jl,

當(dāng)x<—J2或x>2時(shí)，/（力>（）；當(dāng)2<x<2時(shí),

所以,尸(x)＜。；

VaVaVaVa

所以/(x)在單調(diào)遞增，在

所以“X)的極大值為了

“X)的極小值為了

所以。＜32,即0＜。＜32：

綜上，。的取值范圍為0＜a＜32.

點(diǎn)睛：本小題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)與

方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想等

2

21.定義:在等式(x+X+1Y=D}2"+D，"T++。%2"-2+片”(〃eN)中，把比,D'n,

D~,。丁叫做三項(xiàng)式的〃次系數(shù)列(如三項(xiàng)式的1次系數(shù)列是1,1,1).

(1)填空：三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是；

三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是；

(2)由楊輝三角數(shù)陣表可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=C：+c：T,類似的請(qǐng)用三項(xiàng)式〃次系數(shù)列中的系

數(shù)表示呢;(1W攵W2〃—1,攵wN)(無(wú)須證明)；

(3)求收的值.

【答案】(D1,2,3,2,1；1,3,6,7,6,34(2)歐：=或一1+以+宵(1WkwN)(3)50

【解析】

【試題分析】⑴分別將〃=2,3代入，把(V+x+i)”展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算即可求得三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是

1,2,3,2,1;三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1；(2)運(yùn)用類比思維的思想可得

比：：=+D：+Df，(1￡k￡2ft-1,keN)；(3)由題設(shè)中的定義可知比表示+%+1/展開(kāi)式中

丁的系數(shù)，因此可求出R=《G+穹C；=5O.

解：(1)三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1;

三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1；

(2)比：；=a-1+比+比+i(1?kdkeN)；

(3)只表示(J+x+1/展開(kāi)式中“9的系數(shù)，所以&=《&+管C；=50.

22.已知.f(x)=xe*-iZl?一1.

⑴若/(X)在(-8,-1］上單調(diào)遞增,［T()］上單調(diào)遞減，求/(x)的極小值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，恒有/(x)N0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴0(2)SJ］

【解析】

【分析】

(1)先求導(dǎo)，再由題意可得F(-1)=0,從而求得2a=1,從而化簡(jiǎn)？(x)=(x+1)(ex-1),從而確

定極小值點(diǎn)及極小值.

(2)對(duì)f(x)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng)時(shí)，可得f(x)單增，求得f(x)的最小值為0,當(dāng)a>l時(shí)，

可得f(x)在(0,Ina)上單減，且f(0)=0,不滿足題意，綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

(1)因?yàn)椤癤)在上單調(diào)遞增，［-1,0］上單調(diào)遞減，所以/'(-1)=0.

因?yàn)?'(x)=(x+l)e*-2or-l,所以2a-1=0,a=—.

所以/'(x)=(x+l)e*7T=(x+l乂/-1),

所以在(-8,—l］上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減,|0,+8)上單調(diào)遞增，

所以“X)的極小值為"0)=0.

⑵/(x)=-火一1),令g(x)=e*-or-1，則g'(x)=e、一。.若a41,則xe(0,+8)時(shí)，g'(x)〉0,

g(力為增函數(shù)，而g⑼=0,所以當(dāng)x20時(shí),g(X”0,從而〃x)>0.

若a>1,則xe(0,a)時(shí),g［x)<0,g(x)為減函數(shù),g(0)=0,故xe(O,Zna)時(shí),g(x)<0,從而

〃x)<0,不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8」.

【點(diǎn)睛】

本題考查了單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)極值的概念，考查了恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬

于難題.

廊坊市重點(diǎn)名校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.拋物線y=d+l和直線y=x+3所圍成的封閉圖形的面積是()

【答案】C

【解析】

【分析】

先計(jì)算拋物線和直線的交點(diǎn)，再用定積分計(jì)算面積.

【詳解】

y=—+1c

<■=>%,=—l,x=2

y=x+39

所圍成的封閉圖形的面積是：

TT/1129

J(x+3-—V)dx=J(-￡+x+2^)dx-Xs+x2+2xI=-

22、32Jj12

故答案為C

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生應(yīng)用能力和計(jì)算能力.

2.七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正

方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，

則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為()

【答案】C

【解析】

分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之

和.

詳解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,可得黑色平行四邊形的底為后，高為Y2;黑色等腰直角三角形的直角邊

2

為2,斜邊為2加,大正方形的邊長(zhǎng)為2a,

~..>/2x~+x2x2>

所以P=22=3，

2&2啦8

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,通過(guò)分析觀察，求得黑色平行

四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰

直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型.

3.有不同的語(yǔ)文書(shū)9本，不同的數(shù)學(xué)書(shū)7本，不同的英語(yǔ)書(shū)5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書(shū)2本，

則不同的選法有

A.21種B.315種C.153種D.143種

【答案】D

【解析】由題意，選一本語(yǔ)文書(shū)一本數(shù)學(xué)書(shū)有9X7=63種，

選一本數(shù)學(xué)書(shū)一本英語(yǔ)書(shū)有5X7=35種，

選一本語(yǔ)文書(shū)一本英語(yǔ)書(shū)有9X5=45種，

...共有63+45+35=143種選法.

故選D.

4.已知復(fù)數(shù)（.是虛數(shù)單位），貝!I一的虛部為

1+1、z

z=—

A._jB.一1C.iD.1

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)一表示為一般形式，于是可得出復(fù)數(shù)一的虛部。

L.4

【詳解】

因此，復(fù)數(shù)二的虛部為：，故選：D。

1+i_〔二+匚6_:；

—(1-―2

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念,解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算律將復(fù)數(shù)表示為一把形式,考查計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題。

5.與復(fù)數(shù)三相等的復(fù)數(shù)是（）

1-2

A?2+iB.-2+iC.—2—iD.2—z

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

55(-2-

因?yàn)槿?(4)(-2一廠2T

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

6.在△ABC中，A。為8C邊上的中線，E為A。的中點(diǎn)，貝!=

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【解析】

分析：首先將圖畫(huà)出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得8七=1區(qū)4+：3。，之后應(yīng)用向量的加

22

31

法運(yùn)算法則-一一三角形法則，得到8C=84+AC，之后將其合并，得到3E=：BA+：AC,下一步應(yīng)

44

31

用相反向量，求得E8=-A3--AC,從而求得結(jié)果.

44

詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424、724444

31

所以=---AC,故選A.

44

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法

的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.

7,若1-是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/+法+c=0的一個(gè)虛數(shù)根，貝！J()

A.b=29c=3B.b=2,c=-lC.b=-29c=—lD.b=-2fc=3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用實(shí)系數(shù)一元二次的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

【詳解】

解：：1-J5i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

???1+>/2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

1—A/2Z+1+y/2i———b

+解得b—，c=l.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，曲線夕2cos夕=1與。射線的交點(diǎn)為A,貝！()

A.2B.72c.-D.—

22

【答案】B

【解析】

分析：將兩方程聯(lián)立求出。，再根據(jù)。的幾何意義即可得到OA的值.

p2cos^=1

詳解：由題可得：｛八兀=P=6,由。的幾何意義可得|Q4|=五,故選B.

0=一

3

點(diǎn)睛：考查極坐標(biāo)的定義和。的幾何意義：。表示原點(diǎn)到A的距離，屬于基礎(chǔ)題.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本題通過(guò)討論。的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確

結(jié)論.題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)y="過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減，則函數(shù),=1過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增，函數(shù)

a

1

)，=logIx+-I過(guò)定點(diǎn)(-,())且單調(diào)遞減,D選項(xiàng)符合;當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)y=優(yōu)過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增，

則函數(shù)丫=二過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減，函數(shù)卜=108,/犬+:］過(guò)定點(diǎn)(:，0)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符

a'\2)2

合.綜上，選D.

【點(diǎn)睛】

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過(guò)討論“

的不同取值范圍，認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.

10.設(shè)有兩條直線〃，人和兩個(gè)平面。、P,則下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.若a//a,且a//〃，則6ua或〃//a

B.若a//b,且o_La,b10,則

C.若a//夕，且b工0,則a//

D.若qj_b，且a//a,則8_La

【答案】D

【解析】

【分析】

對(duì)A,直接進(jìn)行直觀想象可得命題正確；對(duì)8,由線面垂直的性質(zhì)可判斷；對(duì)C，由線面垂直的性質(zhì)定理

可判斷；對(duì)D,b_Lc也有可能〃qo.

【詳解】

對(duì)A,若a//a,且a/必，則bua或8//a,可借助長(zhǎng)方體直接進(jìn)行觀察命題成立，故A正確；

對(duì)B,若a//。，且可得又b工。，則由線面垂直的性質(zhì)可知a///，故B正確;

對(duì)C,若a//尸，且可得aJ■耳，又bl/3,由線面垂直的性質(zhì)定理可知a//,故C正確；

對(duì)D,若)_)_，，且a//a,則6J_a也有可能人qa,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面之間關(guān)系的判

定方法及性質(zhì)定理是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.已知函數(shù)/(x)=x21n(l—x),則此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(%)=

2

X~

A.x2ln(l-x)B.2xln(1-x)d----

1-x

2xx2

c.-----D.Zxln(l-x)-----

I-x]-x

【答案】D

【解析】

分析：根據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的求導(dǎo)法則得到結(jié)果即可.

詳解：函數(shù)/(x)=x21n(l_x),/(x)=2xln(l-x)+A：2^-^-^=2xln(l-x)-j^-

故答案為：D.

點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了具體函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題目.

12.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是。

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

試題分析：由/(x)=/(x—4)可得：〃x+4)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期T=4,又因?yàn)?(%)是

定義在R上的奇函數(shù)，所以/(())=(),又在[0,2)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xe[0,2)時(shí)，/(x)>0,因此

/(5)=/(1)>0,/(-1)=-/(1)<0,所以/(—1)<()</(5)。

考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)。

二、填空題：本題共4小題

13.設(shè)橢圓三+%=l（a>〃>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)

原點(diǎn).若直線PA與PB的斜率之積為-工，則橢圓的離心率為_(kāi)___.

2

【答案】也.

2

【解析】

【分析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（工,%），代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求離心率.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（工,%）.

由題意，有冬+冬=1,①

a2b-

=

由A（-a,0）,B（a,0）,得一~~，^BP一——?

x0/一〃

由可得片=Y-2媼

代人①并整理得（/-2〃）y；=0.

由于為。。，故/=2〃2,于是e?^,

a22

橢圓的離心率e=Y2.

2

故答案為：顯.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法,是中檔題.求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），

常見(jiàn)有兩種方法：①求出“，*代入公式6=￡;②只需要根據(jù)一個(gè)條件