不等式、圓錐曲線全章教案 人教版

第六章不等式

不等式的性質(zhì)（）

教學(xué)目的：

.了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；

.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

教學(xué)重點(diǎn)：比較兩實(shí)數(shù)大小.

教學(xué)難點(diǎn)：差值比較法：作差一變形一判斷差值的符號(hào)

教學(xué)過程：

一、引入：

世界上所有的事物不等是絕對(duì)的，相等是相對(duì)的。過去我們已經(jīng)接觸過許多不等

式的問題，本章我們將較系統(tǒng)地研究有關(guān)不等式的性質(zhì)、證明、解法和應(yīng)用.

二、講解新課：

.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件

對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、，在〉，，〈三種關(guān)系中有且僅有一種成立.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)

大小的充要條件是：

a>b<^>a-b>0

a=boa-b=O

a<b<^>a—b<0

由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)就可以了.

.不等式的定義：用不等號(hào)連接兩個(gè)解析式所得的式子，叫做不等式.

說明：（）不等號(hào)的種類：>、<、>（市）、<（左）、*.

（）解析式是指：代數(shù)式和超越式（包括指數(shù)式、對(duì)數(shù)式和三角式等）

。不等式研究的范圍是實(shí)數(shù)集.

.同向不等式與異向不等式

同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式，例如：>>>,是同向不等式.

異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式.例如：>,<,是異向不等式.

三、講解范例：

例比較（十）（一）與（+）（-）的大小.

例已知X,比較（+）與++的大小.

引伸：在例中，如果沒有■這個(gè)條件，那么兩式的大小關(guān)系如何？

結(jié)論：例，例是用作差比較法來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，其一般步驟是：作差一一變

形一一判斷符號(hào).這樣把兩個(gè)數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號(hào)問題，至于差

本身是多少，在此無關(guān)緊要

例已知>>,>,試比較小”與2的大小。

a+ma

例4設(shè)a,。>0,〃wN*,且x,比較（a+加（/+力"）與2（。川+加田）的大小.

例5已知〉，且w,比較二與的大小。

y

例6比較與的大小.

例已知、均為正數(shù)，設(shè)知=,+_1,%+/一.，試比較和的大小。

xyx+y

四、課堂練習(xí)：

.在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：

()(V3+V2)6+而；

()(V3—5/2)(V6—)；

V5-2V6-V5'

()當(dāng)>>時(shí)，,r

22

?選擇題

若V,一VV,則有()

>>>>>>>>

.比較大?。?/p>

()(+5)(+7)與(+6)；

23

,如果>,比較(?一)與(J7+)的大小.

.已知工，比較(+V^+)(—V2+)與(++)?(—F)的大小.

五、作業(yè)：習(xí)題.

補(bǔ)充：

.已知2x+4y=l,比較，+9與A的大小

.比較。與。的大小(<0<兀)

.設(shè)a>0且。/1,r>0,比較：log“t與log。彳!■的大小

.設(shè)。>0月比較log“("+1)與log//+1)的大小

不等式的性質(zhì)()

教學(xué)目的：

.理解不等式的性質(zhì)定理一及其證明；

.理解證明不等式的邏輯推理方法.

.通過對(duì)不等式性質(zhì)定理的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的解題能力和思考問題嚴(yán)謹(jǐn)周

密的習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)定理、、、及推論，注意每個(gè)定理的條件.

教學(xué)難點(diǎn)：理解定理、定理的證明.這兩個(gè)定理證明的依據(jù)是實(shí)數(shù)大小的比較與實(shí)

數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件是：

同向不等式與異向不等式

.()如果甲的年齡大于乙的年齡，那么乙的年齡小于甲的年齡嗎?為什么？

()如果甲的個(gè)子比乙高，乙的個(gè)子比丙高，那么甲的個(gè)子比丙高嗎?為什么？

二、講解新課：

不等式的性質(zhì)：

定理：如果〉，那么<,如果<,那么>.(對(duì)稱性)

即：>=><;<=>

證明：???>.??>

由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得()<

即<.*.<(定理的后半部分略).

點(diǎn)評(píng)：定理即a>bb<a；

定理:如果〉,且〉，那么>.(傳遞性)

即〉,>=?

證明：???>,>>

根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得

0()>即>

點(diǎn)評(píng)：()根據(jù)定理，定理還可以表示為：<,<=><

()不等式的傳遞性可以推廣到個(gè)的情形.

定理:如果〉，那么〉.

即>=>

證明：?；>,

??.()()>即〉

點(diǎn)評(píng)：()定理的逆命題也成立；

0利用定理可以得出：如果〉，那么〉，也就是說，不等式中任何一項(xiàng)改

變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊.

推論:如果〉，且〉，那么>.(相加法則)

即>，>=>>.

證法一：

a>b=>a+c>b+c

c>d=>b+c>b+d

證法二:

a>b=>a-b>0

=>a-b+c—d>0=>>

c>d=>c-d>0

點(diǎn)評(píng)：這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或

者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

例已知〉，<,求證：>.（相減法則）

證明：???>,<

->

...（1）一（一）

=（一）+（一）>（兩個(gè)正數(shù)的和仍為正數(shù)）

故一>一.

定理：如果〉，且〉，那么〉；

如果〉，且<,那么<.

證明：???=（）

,:>...>

當(dāng)〉時(shí)，（）〉即〉.

當(dāng)〈時(shí)，0〈即<.

推論如果>>,且>>,那么>.（相乘法則）

證明：a>b,c>0:.ac>bc①

又c>d,b>0,be>bd②

由①、②可得ac>bd.

說明：（）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有a>Z?,c>。，就推不出ac>加/的結(jié)論.

（）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這

就是說，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式

與原不等式同向.

例已知>>，求證：

ab

ab

例已知>><<,求證:

cd

四、作業(yè)：習(xí)題

不等式的性質(zhì)（）

教學(xué)目的：

1.熟練掌握定理，，，的應(yīng)用；

2.掌握并會(huì)證明定理推論；

3.掌握反證法證明定理.

教學(xué)重點(diǎn)：定理推論，定理的證明.

教學(xué)難點(diǎn)：定理的應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.同向不等式與異向不等式.

.不等式的性質(zhì)：定理，，，及定理、推論.

二、講解新課：

定理推論若a>Z?>0,貝必”>b"(neN且〃>1)

說明：()推論是推論的特殊情形；

()應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意G且"〉1的條件.

如果>>,那么>(e,且>)。

定理若貝！］標(biāo)>楊("cN且〃>1)

點(diǎn)撥：遇到困難時(shí)，可從問題的反面入手，即所謂的“正難則反".我們用反證法

來證明定理，因?yàn)榉疵嬗袃煞N情形，即板(物和標(biāo)=揚(yáng)，所以不能僅僅否定了

布〈賑，就"歸謬”了事，而必須進(jìn)行"窮舉

證明：假定儲(chǔ)不大于赤，這有兩種情況：布〈揚(yáng)，或者狼=物.

由推論和定理，當(dāng)標(biāo)時(shí)，有。<6；當(dāng)后=好時(shí)，顯然有a=b

這些都同已知條件a>人>0矛盾所以標(biāo)>物.

點(diǎn)評(píng)：反證法證題思路是：反設(shè)結(jié)論-找出矛盾1肯定結(jié)論.

三、講解范例：

例已知>>,<,求證：->-

ah

例已知，，，是正數(shù)，且>求證：‘一>」?

ab'x+ay+b

例已知函數(shù)0,4()4,4()4,求0的取值范圍。

分析：利用/⑴與/(2)設(shè)法表示、，然后再代入/(3)的表達(dá)式中，從而用了⑴與

/(2)來表示/(3),最后運(yùn)用已知條件確定/(3)的取值范圍。

四、小結(jié)

不等式的基本性質(zhì)

()a>bcb<a；a〈b=b>a(定理，對(duì)稱性)

()a>b,b>c=>a>c(定理，傳遞性)

()a>h^>a+c>h+c(定理，加法單調(diào)性)

()a>b,c>d=a+c>b+d(定理推論，同向不等式相加)

()a>b,c<d=>a-c>h-d(異向不等式相減)

()a.>b,c>0=>ac>be

()a>b,c<0=>ac<bc(定理，乘法單調(diào)性)

()a>b>O,c>d>0=>ac>bd(定理推論，同向不等式相乘)

()a>b>O,O<c<d^>—>—(異向不等式相除)

cd

*11

()a>/?,a》>0=—<一(倒數(shù)關(guān)系)

ab

()=>)〃(〃￡Z,月刀>1)(定理推論，平方法則)

()a>b>Q^>y[ci>e>1)(開方法貝I)

五、作業(yè)：

一選擇題：

1.如果>>>>,則下列不等式中不正確的是[]

ab

?>?—>—.>?>

dc

.如果、為非實(shí)數(shù)，則不等式成立的充要條件是[]

ab

.>且<.<且>.><或<.<

.當(dāng)>>時(shí)，下列不等式恒成立的是]

.>.()1I>.II>II.II>I

.已知、為實(shí)數(shù)，則">"是"中至少有一個(gè)大于"的[]

.充分不必要條件.必要不充分條件

.充要條件.不充分也不必要條件

.>的充要條件是[]

.>>或>>>.?>.>>或>>>或>>>;.?

二填空題：

.若<<<，則,，—>一,V的大小關(guān)系為

xy

.設(shè)角a、B滿足-則鄧的取值范圍為。

.若實(shí)數(shù)〉，則.(填上不等號(hào))

.已知>>,且，則-的值的符號(hào)為。

三解答題

h

.如果〉求證：一

不等式的性質(zhì)()

教學(xué)目的：熟練掌握不等式的基本性質(zhì)；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

不等式的基本性質(zhì).

二、例題：

例.已知。>6>0,c<d<Q,e<0,求證：—-—>—-—

。一ch-d

例.若(2力￡R,求不等式同時(shí)成立的條件

ah

例.設(shè)a+h+c=O,ahc<0求證,+'+'>0

ahc

例.2>0,|。|>|加比較,與；的大小

ab

例.若<<?,分別求，/的范圍.

b

例.^a>b>0,c<d<0求證：1°細(xì)t%>2曳吧"

a-cb-d

例.設(shè)函數(shù)()的圖象為一條開口向上的拋物線，已知、均為正數(shù)，>>且，求證()<()().

三、作業(yè)同步練習(xí)

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)O

教學(xué)目的：

.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理.

.理解這個(gè)定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)’2”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)

這兩個(gè)數(shù)相等.

.通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問題和解決問

題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力.

教學(xué)重點(diǎn)：均值定理證明

教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立條件

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：不等式的基本性質(zhì).

二、講解新課：

.重要不等式：

如果a,。eR,那么/+"222,以當(dāng)且僅當(dāng)/=。時(shí)取"="號(hào))

.定理：如果是正數(shù)，那么等之痛(當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取"="號(hào)).

說明：i)我們稱包心為。力的算術(shù)平均數(shù)，稱點(diǎn)為aS的幾何平均數(shù)，因而，

2

此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

ii)a?+/22ab和j2點(diǎn)成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而

2

后者要求都是正數(shù).

iii)"當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.

B

aCb

D'

.均值定理的幾何意義是"半徑不小于半弦

以長(zhǎng)為的線段為直徑作圓，在直徑上取點(diǎn)，使.過點(diǎn)作垂直于直徑的弦，，那么

CD2=CACB,即。。=旅

這個(gè)圓的半徑為空顯然，它不小于，即巴吆2疝，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心

22

重合；即時(shí)，等號(hào)成立.

三、講解范例：

例已知都是正數(shù)，求證：

()如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值2戶；

()如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值,52.

4

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件:

i)函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)；

ii)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；

iii)等號(hào)成立條件必須存在.

例已知：>,求證：-+->2.當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

ab

反思：由本例可以得出什么結(jié)論？

例已知都是正數(shù)，求證

當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

(介紹個(gè)正數(shù)的“調(diào)和平均數(shù)”、“幾何平均數(shù)”、“算術(shù)平均數(shù)”、“平方平均數(shù)”的概

念及它們的關(guān)系)

四、課堂練習(xí)：

.已知、、都是正數(shù)，求證(+)(+)(+)N8

.已知、都是正數(shù)，求證：(+)(+)(+)>8.

I.,a+b、ci~+h~

.求證：(-----)<--------.

22

五、作業(yè)：習(xí)題、、；

補(bǔ)充

()“+32旅”是“木，￡十”的()

.充分不必要條件.必要不充分條件.充要條件.即不充分也不必要條件

()設(shè)>>,且+=,則此四個(gè)數(shù)；，，十,中最大的是()

+C.-

2

()設(shè)，w,且聲，+=,則必有()

2222

vv+b'<a+b<a+b<<

—2T2'-I-

()已知，七+且+=,則下列各式恒成立的是（）

.±>1.—I—>C.Vab>_L_<1

ab2ab~~'a2+b2~4

（）若>>,則下面不等式正確的是（)

laba-\-br-ra+blab

------<-------<y/ab-----<-----<y[ab

a+b22a+b

labr-ra+br-rlaba-\-b

.------<yjab<-------Zab<------<-------

a+b2a+h2

（）若，￡且#,在下列式子中，恒成立的個(gè)數(shù)為（）

①+>②5+5>+③+之（——）@-->

b+a

C

（）設(shè)，，是區(qū)間（，）內(nèi)的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)且=生心_lo&a+log.Z?

22

110&管，則，，的大小關(guān)系是（）

>><<<<<<

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)O

教學(xué)目的：

.進(jìn)一步掌握均值不等式定理；

?會(huì)應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值；

.能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：解題中的轉(zhuǎn)化技巧

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.重要不等式：

2

（）如果a力wR,那么/+b>為/當(dāng)且僅當(dāng)=b時(shí)取'="號(hào)）

（）如果都是正數(shù)，那么-l-<4ab<—<

-H---2

ab

當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

.上課時(shí)中"例"的條件、結(jié)論及注意事項(xiàng).

二、講解新課：

定理:如果a,反CGR+,那么323a比（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取

推論：如果a,"ceH',那么“+；4(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"")

三、例題

例已知都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)N4abed

例求下列函數(shù)的最小值，并求相應(yīng)的值.

(l)y=x+^—(x>0);

x+\

(2)y="+5)(—2)(%>_]).

x+1

例某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為,深為，如果池底每的造價(jià)為

元，池壁每的造價(jià)為元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

四、課堂練習(xí)：

?已知九當(dāng)取什么值時(shí)，+斗的值最小?最小值是多少？

X

.一段長(zhǎng)為上的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少

時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

四、作業(yè)：習(xí)題、；

補(bǔ)充：

()求函數(shù)=+巳(>)的最小值.

x

()求函數(shù)=+4(>)的最小值.

X

()求函數(shù)=一(<<|)的最大值.

()求函數(shù)=(一)(<<)的最大值.

()設(shè)>，>,且+[=，求Vi仔的最大值.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)()

教學(xué)目的：

.進(jìn)一步掌握均值不等式定理；

?會(huì)應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值；

.能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：解題中的轉(zhuǎn)化技巧

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.重要不等式：

()如果a力eR,那么/+反22a優(yōu)當(dāng)且僅當(dāng)=b時(shí)取"="號(hào))

O如果都是正數(shù)，那么

鼻皿陪尸.

--1--

ab

當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

()如果〉，那么2+色22.當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

ab

()如果〃也C￡/T,那么"+"+。323。/7c(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“")

()如果a,仇ceR+,那么"+,匕痂(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"”)

.利用"均值不等式"求最值.

二、例題

例()已知，求L+L的最小值；

龍y

()已知＞＞，且，求的最大值；

()已知＜＜，求()的最大值.

例求下列函數(shù)的最大值：

⑴y=4x-2+1(x＜；);

小、x+2/?、

(2)y=------U＞-2).

x+x+\

例()已知＞＞，求a+的最小值.

(a-b)h

()已知0＜x＜g,求/(1一3幻的最大值.

9

例求函數(shù)y=sinx+---(0＜x＜%)的最小值.

sinx

例從一塊半徑為的半圓鐵板上剪一塊矩形，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬各取多少時(shí)矩形的

面積最大，并求這個(gè)最大面積.

三、作業(yè)

.填空

()如果＞＞，則的大小順序是.

16

()函數(shù)fix')=4x2+的最小值是

(J+1/

()當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)=f(4-2/)(0＜%＜痣)取得最大值

()若〉，/(x)=18-6x一一的最大值是

x

O若，則當(dāng)時(shí)取得最小值

()設(shè)。20出20,/+匕=1,則〃仄^的最大值是

2

/+5

()/(x)的最小值是

yjx2+4

。若()(),則的取值范圍是

。若〉,則的最小值為

.已知。>。>0,求/+」—的最小值.

b(a-b)

.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬米的無

蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱，污水從孔流入，經(jīng)沉淀后從孔流出，設(shè)

箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量

份數(shù)與、的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料平方米，問、各為多少

米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)最小(、孔面積

忽略不計(jì)).

.如圖，在△中，NC=9。，=,C=,一條直線分△。的面積為相等的兩部分,

且夾在與之間的線段最短，求此線段長(zhǎng).

不等式的證明()

教學(xué)目的：

不等式的常用證明方法之一一比較法，要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用作差、作商比較

法證明不等式。

教學(xué)重點(diǎn)：比較法的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：常見解題技巧

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件

對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、，在〉，，〈三種關(guān)系中有且僅有一種成立.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)

大小的充要條件是：

a>boa-b>0

a=boa—b=O

a<ha-h<0

由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)就可以了.

.若>>,則a>Z?=q>l;a<b=g<1.

bb

二、講解新課：

.比較法之一(作差法)步驟：作差一一變形一一判斷與的關(guān)系一一結(jié)論

.比較法之二(作商法)步驟：作商一一變形一一判斷與的關(guān)系一一結(jié)論

三、講解范例：

例求證：>

例已知，都是正數(shù)，并且w,求證：>

a+b

例G,求證：aabh>(ab)^>ahba

例甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度行走，另

一半時(shí)間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果

中、問：甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？

思考：若，結(jié)果會(huì)怎樣？

例證明函數(shù)/。)=九+,在xw[l,+oo)上是增函數(shù).

X

四、作業(yè)：習(xí)題，，.

補(bǔ)充：.已知非零且不相等的實(shí)數(shù)、，求證()()>().

.已知2,^^1正Ja+1-y[ci<Vfl-Ja—1

.已知>>>，求證：a2ub2bc2c>ah+(bc+aca+b.

不等式的證明()

教學(xué)目的：

.掌握綜合法證明不等式；

.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；

.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.

教學(xué)重點(diǎn)：綜合法

教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

重要不等式：

()如果a,beR,那么22a優(yōu)當(dāng)且僅當(dāng)"。時(shí)取="號(hào))

()如果都是正數(shù)，那么

當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

()如果>，那么幺+022.當(dāng)且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

ab

()如果a,"cwK,^a3+hi+c3>3abc(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)

()如果a,"cw/?+,那么"+；+%9(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"")

二、講解新課：

.綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理)

和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.

.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A=>B]nB2n=>B“=>B

.綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)

定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。

三、講解范例：

例已知，，是不全相等的正數(shù)，求證：

a(b2+c2)+b(c2+?2)+c(?2+b2)>6abe

例已知，G,證明：(+)>a+b+2.

2

例若，，e+,且++=,

七F1,1,1、9

求1止：---7+-----1-----N-.

a+hb+cc+a2

例設(shè),，G，

求證：7a2+b2++c~+Jc'~+a-Ny[^2.(a+b+c)

例已知，，都是正數(shù)，且，，成等比數(shù)列，

求證：a1+b2+c2>(a-b+c)2

提示：先用比較法，左一右(一)再用綜合法證明.

四、作業(yè)：習(xí)題

補(bǔ)充：.已知《8),且，求證：()()()>；

.已知均為正數(shù)，求證+4)(。2+年)2J他2；

.已知()()>(),求證：-~-+-^—^>2;

a-bx-y

1i25

.已知x,ye7?+,且x+y=1,求證：(xH?一)(y+—)>―;

xy4

.若，求證：Ja+g+J匕+；<2；

111Q

.若，，e,求證：(a+b+c)(——-+----+------)>-

a+bb+cc+a2

不等式的證明（）

教學(xué)目的：.掌握分析法證明不等式；.理解分析法實(shí)質(zhì)一一執(zhí)果索因；

.提高證明不等式證法靈活性.

教學(xué)重點(diǎn)：分析法

教學(xué)難點(diǎn)：分析法實(shí)質(zhì)的理解

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.重要不等式.

.比較法之一（作差法）步驟：作差一一變形一一判斷與的關(guān)系一一結(jié)論

比較法之二（作商法）步驟：作商一一變形一一判斷與的關(guān)系一一結(jié)論

.綜合法證不等式：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證

明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.

用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：An4n為n=B“=B

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性

質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。

二、講解新課：

.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等

式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題。

.用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：ud<=A

.分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因。

.分析法的書寫格式：

要證明命題為真，

只需要證明命題4為真，從而有……

這只需要證明命題名為真，從而又有......

這只需要證明命題為真.

而已知為真，故命題必為真。

三、例題：

例求證+石

例2證明：當(dāng)周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大.

例3已知是正數(shù)，求證"C+C。2abc.

a+b+c

例若是不全等的正數(shù)，求證館號(hào)+愴容+lg宇

4>IgQ+lgb+lgC.

例5若e,求證：2("；"-43("+：+°一~V"c).

四、作業(yè)：

?選擇題

()若為整數(shù)，且：>北,那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()o①L>加)②

b

③<<<④

()設(shè)和是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則()

>且>><且

()若C,且左則下列四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是()

'2(x+'x+y.而'^2(x2+y2)

()若>>，且6+6^7^工^成立,則的最小值是()

2

0已知邑則下列各式中成立的是()

夕夕<()夕。?>()

e-eP-e>

()設(shè)w,且則有()

>(V2)<>(V2)<(V2)

.已知求證+/)(。2+孑)

.若>>，求證^c1-ab?7c2-ab

習(xí)題，.

不等式的證明()

教學(xué)目的：能較熟練地利用換元法解決某些不等式證明問題。

教學(xué)重點(diǎn)：三角換元和代數(shù)換元

教學(xué)難點(diǎn)：三角換元

教學(xué)過程：

一、引入：換元法是一種基本的數(shù)學(xué)方法，也是證明某些不等式的較常用的方法,

用換元法證明不等式主要有三角換元和代數(shù)換元.

二、講解范例：

例求證：-L4xyjl-x2<—

22

分析：原命題等價(jià)于|尤71二7|?g，用綜合法證明.

分析：用換元法，V-l<x<l...令。，。乩用

例已知〉，〉,,求證：—I—>3+2^2

xy

分析："乘"，-+-(2x+y)=用綜合法證明.

I》y)

分析：用換元法.由〉，〉,，可設(shè)x=gsin2a,y=cos2a

例若V+Vwi,求證：*+2孫一產(chǎn)區(qū)血

提示：=rsina,y=rcosa,(0<r<1),

例若>，>,求證：y[xy>l+7u-l)(y-l)

提示：設(shè)了=$82(1,y=sec2P，(0<a,P<-^)

提示：不妨設(shè)a=sec2a/?=tan20,(0<0<^)

小結(jié)：若44,則可令o(o<o<^IT)^o(-7^r<e<-i)ro

若丁+丁2=1,則可令。，e(O<0<27r)o

若一一y2=i,則可令ae(o<0<2n)o

jr

若2,則可令e(o<e<-)o

若G,則可令9(-^<0<^)o

例證明：若>,則,〃+:—血之&+：-2

提不：設(shè)冗=。H—■,y=Ja~+—

三、作業(yè)

1.a2+h2=1,求證：asinx+hcosx<\

2.若<,<,貝J(1—區(qū)］

3.若4,求證：(l+x)"+(l—x)"<2"

4.求證：0<yj\+x-->fx<1

5.已知4,<,求證：\a^\-h2-b^\-a2|<1

不等式的證明()

教學(xué)目的：

要求學(xué)生掌握放縮法和反證法證明不等式；

教學(xué)重點(diǎn)：放縮法

教學(xué)難點(diǎn)：反證法

授課類型：新授課

教學(xué)過程：

一、引入：

前面我們學(xué)習(xí)了幾種不等式證明的基本方法.有些不等式的證明直接利用不等式的

性質(zhì)、重要不等式或不等式中的解析式進(jìn)行變換難以得證，需要把不等式中某一

邊適當(dāng)“放大”或“縮小”，或者與某個(gè)中間量比較，根據(jù)不等式的傳遞性達(dá)到證明的

目的，這種方法稱為“放縮法”.

反證法是重要數(shù)學(xué)方法之一，也是不等式證明的一種方法.

下面我們共同探討如何用放縮法和反證法證明不等式.

三、講解范例：

例若,,,e,求證：

a+b+db+c+ac+d+bd+a+c

例當(dāng)>時(shí)，求證：log,,(n-1)log,,(w+1)<1

例求證：-^-+—y+—7-4F-T-<2

I22232n2

提示：用放縮法，［<—!—=」一-1

nn（n-V）n-1n

例設(shè)<，求證：（-0（-）,（-c）,不可能同時(shí)大于L

4

提示：用反證法

例已知>,>,>,求證：，，>

提示：用反證法.

四、課后作業(yè)：

證明下列不等式：

?設(shè)>,>,a=x+）',8=一^+二一，求證：<

1+x+yl+x1+y

.?<

?若>>,則」y+」一+」一NO

a-bb-cc-a

1111,

?一+----1---------1----1--->1（zneRn+>2）

nn+1〃+2n~

1,111?

2n+1〃+22n

.設(shè)<，求證：（一）,（—）,（—）,不可能同時(shí)大于

.若，>，且>,則3和上匕中至少有一個(gè)小于

xy

不等式的證明（）

教學(xué)目的：

要求學(xué)生逐步掌握利用函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想法證明不等式。

教學(xué)重點(diǎn)：利用函數(shù)與方程思想法證明不等式。

教學(xué)難點(diǎn)：巧妙地構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造方程.

教學(xué)過程：

一、引入：函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想是重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)、方程、不等式有密

切的聯(lián)系；通過構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造方程，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)或簡(jiǎn)單的方程論

可以有效地解決一些不等式的證明問題.

二、講解范例：

例已知>，求證：X+—+一^―>-

元,12

X4---

X

提示：構(gòu)造函數(shù)/（〃）=〃+',H=X+—>2,判斷（）在［2,+8）上單調(diào)性，問題便

UX

可得證.

例

若〃1，°2，。3,…，％6凡優(yōu)力2，打…，2￡尺則

(+%仇+a$3+?,?+。〃”〃)2<(〃]+a：+a；+,,,+ci^)(力：++bg+,*,h^)

當(dāng)且僅當(dāng)"="="=???=2時(shí)取等號(hào)

4外b3bn

提示：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有()>(,...,)，即>

當(dāng)，…，時(shí)，將上面?zhèn)€不等式相加，有

(a；+a；++ci~)x?—2(6Z|/?|+a2bt++aQjx+(b；+/?；++b；)NO.

由于a；+G++a；>,且上面不等式是絕對(duì)不等式，因而判別式△2,不等式得證.

說明：該不等式為著名的柯西不等式.

例已知實(shí)數(shù),，，滿足和，求證：，，中至少有一個(gè)不小于。

提示：由題設(shè)顯然,，中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)>,

b+c=-a

則％2,于是可以構(gòu)造以為兩實(shí)數(shù)根的一元二次方程.

DC——

同?、-r1sec20-tan0小,兀,,、

例求證：一4一---------<3(eBE+-,ZeZ)

3sec20+tan02

2

+s—、幾sec0-tan0

提不：設(shè)^=—7--------,則(一)。()0(-)

sec_0+tan0

分當(dāng)時(shí)，和當(dāng)H時(shí)，關(guān)于e的方程有實(shí)數(shù)根的條件命題即可獲證.

三、課后作業(yè)：

證明下列不等式：

■IJ-x+k

3x~+x+1

.已知關(guān)于的不等式(-)-(-)-<(e),對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求證：-

.若>,>,，則"：卜+；卜司

.若0<“<』伙22,ZeN*),且<—,則匕<—^

kk+l

%2+1010

.求證:——>——

3

不等式的證明()

教學(xué)內(nèi)容：不等式證明綜合練習(xí)

教學(xué)目的：

系統(tǒng)小結(jié)不等式證明的幾種常用方法，滲透"化歸""類比""換元"等數(shù)學(xué)思想方法。

重點(diǎn)難點(diǎn)：培養(yǎng)發(fā)散思維，一題多解的能力.

教學(xué)過程：

一、簡(jiǎn)述不等式證明的幾種常用方法

比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造

二、例題：

例一、已知<<,<<>試比較和|k?g〃(l+x)|的大小。

22

解一:|loga(l-x)|-Iloga(l+X)|=[logfl(1-JC)+loga(l-x)][log/1-x)-loga(l+x)]

2

=log?(l-x)loga1^

1+x

1_Y]—X

,*><-<,o<-——<1/.log?(l-x2)log-——>0

1+Xl+x

/.|loga(l-x)|>|log?(l+x)|

g

解二：一刈=(丁匚=山

:l0og?d(l+xY)Tog”*l—x)=log*xl-xlog7\^-x4

2

=l-logI+/l-x)

2

,?><<>>,-log1+J.(1—x)>0

2

，l-logl+x(l-x)>l，Ilog“(1一x)|>Ilog”(l+x)I

解三：<,<<,

...log?(l-x)>0,log?(l+x)<0

左一右1?；?—x)+l?？?+X)=1O￡1-Y)

2

<<，且<<Alogo(l-x)>0

/.|loga(1-X)|>Iloga(1+X)I

變題：若將的取值范圍改為>且w,其余條件不變。

例二、已知，，且所有字母均為正，求證：>

證一：(分析法)???，，，，，都是正數(shù)

，要證：2

只需證：()2()

即：()()2

展開得：>

即：>由基本不等式，顯然成立

證二：（綜合法）7?2+b2yjc2+d2=y/a2c2+b2c2+a2d2+b2d2

>\crc2+2abcd+h2d2='（ac+bd）?=ac+hd

證三：（綜合法）根據(jù)柯西不等式，

(ac+Ad)??(/+b1)(c2+d?),

a,b,3dGR

/.ac+hd<y/a2+h2-\lc2+d2

艮［J孫>QC+bd.

證四：（三角代換法）

?/，，不妨設(shè)a,a

B，P

Aapap（a-p）<

例三、已知，均為正數(shù)，求證：g*

證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證：

1+X；+1+x2~+2J1+XJ+x2~〉］X,"+X2"+2X］》2

-4_+4~

22

即：依+X1)(1+%2)>1+X］X2

2222

再平方：(1+^)(1+%2)>1+2X,X2+xtx2

化簡(jiǎn)整理得：才+才1%々（顯然成立）

二原式成立

證二：（等價(jià)轉(zhuǎn)化）由于均為正數(shù)，原不等式等價(jià)于：

2

1+X；+1+》2,+2jl+Xj-Jl+X2>[+Xj+%2-+2內(nèi)％2

-4_+4~

J（1+X：）（1+.~）-1+玉（1+XJ）（1+X；）2（11+玉馬）~.

根據(jù)柯西不等式，原不等式成立.

證三：（反證法）假設(shè)J1+X「丁1+武<+

化簡(jiǎn)可得：玉2+/2<2取2（不可能）

.,?原式成立

三、作業(yè)：.已知,，>，且，求證：<（>,e*）

.已知實(shí)數(shù)滿足〃求證：<.

.已知f（x）=A/1+X2,a2H從求證：|/（a）-/（/?）\<\a-b\.

.設(shè),求證：不可能同時(shí)大于

.已知〃eN+，求證8+逐++1)<"("；2),

I17

.已矢U>>.求證：ab+一>一.

ab4

不等式的解法舉例O

教學(xué)目的：掌握不等式組、整式不等式和分式不等式的基本解法.

教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)軸標(biāo)根法解整式不等式

教學(xué)難點(diǎn)：分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

(-)復(fù)習(xí)已學(xué)過的不等式：

.一元一次不等式〉

h

0若〉時(shí)，則其解集為{>2}.

a

h

()若〈時(shí)，則其解集為{<2}.

a

()若時(shí)〉，其解集為S其解集為0.

.一元二次不等式ax?+bx+c>伊)

0若判別式1-4ac>,設(shè)方程ax2+bx+c的二根為(<),則

①>時(shí)，其解集為{<，或>};②〈時(shí)，其解集為{<<}.

()若4則有：

①>時(shí)，其解集為存2金}；②〈時(shí)，其解集為0.

a

()若/<,則有:

①〉時(shí)，其解集為；②(時(shí)，其解集為0.

類似地，可以討論a/+bx+c<(力的解集.

.不等式〈與〉(>)的解集

<(>)的解集為:{<<},幾何表示為：

00

>(>)的解集為:{>或<},幾何表示為:

-s05

(二)不等式的有關(guān)概念

同解不等式:兩個(gè)不等式如果解集相等，那么這兩個(gè)不等式就叫做同解不等式.

.同解變形:一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)，如果這兩個(gè)不等式是同解不等

式，那么這種變形就叫做同解變形.

.絕對(duì)不等式、條件不等式與矛盾不等式.

二、講解新課：

.轉(zhuǎn)化為一元不等式組問題.

例解不等式》?-5X+5<.

.一元整式不等式的解法.(根軸法)

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線，定解.

例解不等式x3+3x2>2x+6

例解不等式：㈠㈠㈠㈠〉

.分式不等式的解法.

先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，再轉(zhuǎn)化成整式不等式：

用>O=/(x)g(x)〉O;陰川0療”》。

g(x)g(x)[g(x)。。

例解不等式《-3"+2<0

x2-2x-3

例解不等式生4x-l

x