小學(xué)數(shù)學(xué)競賽 加乘原理之圖論

7-3-3加乘原理之圖論

:舉國褐

1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；

2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運用加法原理和乘法原理的能力.

3.讓學(xué)生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些方法解決問題.

在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強調(diào)哪些是分類，哪些是分

步.并了解與加、乘原理相關(guān)的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合.

一'加乘原理概念

生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中

的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加

法原理來解決.

還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方

法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.

二'加乘原理應(yīng)用

應(yīng)用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的

不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和.

⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘

積.

⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理，

綜合分析，正確作出分類和分步.

加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問

題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立

乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不

可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決.我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”.

【例115條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個點，以這5條直線的交點為

頂點能構(gòu)成幾個三角形？

【考點】加乘原理之圖論【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：5條直線一共形成5x4+2=10個點，對于任何一個點，經(jīng)過它有兩條直線，每條直線上另

外有3個點，此外還有三個不共線的點，以這個點為頂點的三角形就有

3x3+3x3+3x3+3x2+2=30個三角形，以10個點分別為定點的三角形一共有300個三角形，但

每個三角形被重復(fù)計算3次，所以一共有100個三角形.

方法二：只要三點不共線就能構(gòu)成三角形，所以我們先求出10個點中取出3個點的種數(shù)，再減去3

點共線的情況.這10個點是由5條直線互相相交得到的，在每條直線上都有4個點存在共線的情

況，這4個點中任意三個都共線，所以一共有5x[4x3x2;(3x2xl)]=20個三點共線的情況，除此

以外再也沒有3點共線的情況(用反證法可證明之)，

所以一共可以構(gòu)成10x9x8+(3x2x1)-20=100種情況.

【答案】100

【例2】如圖，有這樣的兩條線，請問從這5個點中任選三個點可以構(gòu)成個不同的三角形.

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級，第4題

【解析】只要三點不共線，就能構(gòu)成三角形。Cf-2=8個

【答案】8個

【例3】直線a,b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形?

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第6題

【解析】畫三角形需要在一條線上找1個點，另一條線上找2個點，本題分為兩種情況：

⑴在a線上找一個點，有5種選取法，在b線上找兩個點，有4x3+2=6種

根據(jù)乘法原理，一共有：5x6=30個三角形；

⑵在b線上找一個點，有4種選取法，在。線上找兩個點，有5x4+2=10種

根據(jù)乘法原理，一共有：4x10=40個三角形；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出：30+40=70個三角形.

【答案】70

【鞏固】直線a,b上分別有4個點和2個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形?

----?---,-----b

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【解析】畫三角形需要在一條線上找1個點，另一條線上找2個點，本題分為兩種情況：

⑴在。線上找一個點，有4種選取法，在方線上找兩個點，有1種，根據(jù)乘法原理，一共有：4x1=4

個三角形；

⑵在b線上找一個點，有2種選取法，在a線上找兩個點，有4x3+2=6種，根據(jù)乘法原理，一共有:

2x6=12個三角形；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出：4+12=16個三角形.

【答案】16

【鞏固】直線a,b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個四邊形？

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【解析】畫四邊形需要在每條線上取2個點，

在°線上取2個點共有5x4+2=10種，

在b線上取2個點共有4x3+2=6種，

根據(jù)乘法原理，一共可以畫出6x10=60個四邊形.

【答案】60

【鞏固】三條平行線上分別有2,4,3個點（下圖），已知在不同直線上的任意三個點都不共線.問：以這些

點為頂點可以畫出多少個不同的三角形？

【考點】加乘原理之圖論【難度】3星【題型】解答

【解析】（方法一）本題分三角形的三個頂點在兩條直線上和三條直線上兩種情況

⑴三個頂點在兩條直線上，

一共有4x3+2x2+3x2+2x2+3x2+2x4+4x3+2x3+4+3=55個

⑵三個頂點在三條直線上，由于不同直線上的任意三個點都不共線，

所以一共有：2x4x3=24個

根據(jù)加法原理，一共可以畫出55+24=79個三角形.

（方法二）9個點任取三個點有9X8><7+（3X2><1）=84種取法，其中三個點都在第二條直線上有4種,

都在第三條直線上有1種，所以一共可以畫出84-4-1=79個三角形.

【答案】79

【例4】一個半圓周上共有12個點，直徑上5個，圓周上7個，以這些點為頂點，可以畫出多少個三角形?

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【解析】第一類：三角形三個頂點都在圓周上，這樣的三角形一共有7x6x5-0x2x0=35種；

第二類：三角形兩個頂點在圓周上，這樣的三角形一共有7x6;C2xDx5=105種；

第三類：三角形一個頂點在圓周上，這樣的三角形一共有7x5x4+QxD=70種；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出35+105+70=210種.

【答案】210

【例5】在一個圓周上均勻分布10個點，以這些點為頂點，可以畫出多少不同的鈍角三角形？（補充知識：

由直徑和圓周上的一點構(gòu)成的三角形一定是直角三角形，其中直徑的邊所對的角是直角，所以如

果圓周上三點在同一段半圓周上，則這三點構(gòu)成鈍角三角形）.

【考點】加乘原理之圖論【難度】3星【題型】解答

【解析】由于10個點全在圓周上，所以這10個點沒有三點共線，故只要在10個點中取3個點，就可以畫出

一個三角形，如果這三個點其中兩點構(gòu)成的線段小于直徑，并且第三個點在被其余兩點分割的較小

的圓周上，則這三個點構(gòu)成鈍角三角形，這樣所有的鈍角三角形可分為三類，第一類是長邊端點之

間僅相隔一個點，這樣的三角形有10x1=10個，第二類是長邊端點之間相隔兩個點，這樣的三角形

有10x2=20個，第三類是長邊端點之間相隔三個點，這樣的三角形有10x3=30個，所以一共可以

畫出10+20+30=60個鈍角三角形.

【答案】60

【例6】從1至9這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)填在下圖的六個圓圈內(nèi)，使在任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字

之和都是不能被3整除的奇數(shù)，那么最多能找出種不同的挑法來.（六個數(shù)字相同、排列次

序不同的都算同一種）

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】顯然任意兩個相鄰圓圈中的數(shù)只是一奇一偶，因此，應(yīng)從2,4,6,8中選3個數(shù)填入3個不相鄰的

圓圈中，下面就按此分類列舉：

⑴填入2,4,6,這時3與9不能同時填入（否則總有一個與6相鄰，3+6或9+6能被3整除），沒

有3,9的有1種：1,5,7,經(jīng)試填，不成立；有3或9的，其它3個奇數(shù)1,7中選一個，5必

選，有2種選法，因此有2x2=4種.

⑵填入2,4,8,這時1,7不能填入（因為7+2,7+8,1+2,1+8都能被3整除），從其余3個奇

數(shù)中選出1個，有1種選法.

⑶填入2,6,8,這時1,7不能填入，故無法填.

⑷填入4,6,8,這時3與9只能任選一個，1與7也只能任選1個，第三個數(shù)是5,因而有2x2=4

種選法.

根據(jù)加法原理，總共有4+1+0+4=9種選法.

【答案】9

7-3-3加乘原理之圖論

即M蚱額舉目褐

1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；

2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運用加法原理和乘法原理的能力.

3.讓學(xué)生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些方法解決問題.

在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強調(diào)哪些是分類，哪些是分

步.并了解與加、乘原理相關(guān)的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合.

許M蚱翅照前

一、加乘原理概念

生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中

的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加

法原理來解決.

還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方

法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.

二、加乘原理應(yīng)用

應(yīng)用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：

⑴加法原理是把完成一■件事的方法分成幾類，每一1類中的任何一■種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的

不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和.

⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘

積.

⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理,

綜合分析，正確作出分類和分步.

加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問

題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：”加法分類，類類獨立

乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不

可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決.我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”.

即蝴4魔幽

【例7】5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個點，以這5條直線的交點為

頂點能構(gòu)成幾個三角形？

【考點】加乘原理之圖論【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：5條直線一共形成5x4+2=10個點，對于任何一個點，經(jīng)過它有兩條直線，每條直線上另

外有3個點，此外還有三個不共線的點，以這個點為頂點的三角形就有

3x3+3x3+3x3+3x2+2=30個三角形，以10個點分別為定點的三角形一共有300個三角形，但

每個三角形被重復(fù)計算3次，所以一共有100個三角形.

方法二：只要三點不共線就能構(gòu)成三角形，所以我們先求出10個點中取出3個點的種數(shù)，再減去3

點共線的情況.這10個點是由5條直線互相相交得到的，在每條直線上都有4個點存在共線的情

況，這4個點中任意三個都共線，所以一共有5x[4x3x2+(3x2xl)]=20個三點共線的情況，除此

以外再也沒有3點共線的情況(用反證法可證明之)，

所以一共可以構(gòu)成10x9x8+(3x2x1)-20=100種情況.

【答案】100

【例8】如圖，有這樣的兩條線，請問從這5個點中任選三個點可以構(gòu)成個不同的三角形.

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級，第4題

【解析】只要三點不共線，就能構(gòu)成三角形。Cf-2=8個

【答案】8個

【例9】直線a,b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形?

a

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第6題

【解析】畫三角形需要在一條線上找1個點，另一條線上找2個點，本題分為兩種情況:

⑴在°線上找一個點，有5種選取法，在b線上找兩個點，有4x3+2=6種

根據(jù)乘法原理，一共有：5x6=30個三角形；

⑵在b線上找一個點，有4種選取法，在。線上找兩個點，有5x4+2=10種

根據(jù)乘法原理，一共有：4x10=40個三角形；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出：30+40=70個三角形.

【答案】70

【鞏固】直線a,b上分別有4個點和2個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形?

--------?-------,----------b

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【解析】畫三角形需要在一條線上找1個點，另一條線上找2個點，本題分為兩種情況：

⑴在a線上找一個點，有4種選取法，在方線上找兩個點，有1種，根據(jù)乘法原理，一共有：4x1=4

個三角形；

⑵在b線上找一個點，有2種選取法，在a線上找兩個點，有4x3+2=6種，根據(jù)乘法原理，一共有:

2x6=12個三角形；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出：4+12=16個三角形.

【答案】16

【鞏固】直線a,b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個四邊形？

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【解析】畫四邊形需要在每條線上取2個點，

在a線上取2個點共有5x4+2=10種，

在b線上取2個點共有4x3+2=6種，

根據(jù)乘法原理，一共可以畫出6x10=60個四邊形.

【答案】60

【鞏固】三條平行線上分別有2,4,3個點（下圖），已知在不同直線上的任意三個點都不共線.問：以這些

點為頂點可以畫出多少個不同的三角形？

【考點】加乘原理之圖論【難度】3星【題型】解答

【解析】（方法一）本題分三角形的三個頂點在兩條直線上和三條直線上兩種情況

⑴三個頂點在兩條直線上，

■共有4x3+2x2+3x2+2x2+3x2+2x4+4x3+2x3+4+3=55個

⑵三個頂點在三條直線上，由于不同直線上的任意三個點都不共線，

所以一共有：2x4x3=24個

根據(jù)加法原理，一共可以畫出55+24=79個三角形.

（方法二）9個點任取三個點有9x8x7+（3x2xl）=84種取法，其中三個點都在第二條直線上有4種,

都在第三條直線上有1種，所以一共可以畫出84-4-1=79個三角形.

【答案】79

【例10】一個半圓周上共有12個點，直徑上5個，圓周上7個，以這些點為頂點，可以畫出多少個三角形?

【考點】加乘原理之圖論

【解析】第一類：三角形三個頂點都在圓周上，這樣的三角形一共有7x6x5-0x2x0=35種;

第二類：三角形兩個頂點在圓周上，這樣的三角形一共有7x6;QxDx5=105種；

第三類：三角形一個頂點在圓周上，這樣的三角形一共有7x5x4+QxD=70種；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出35+105+70=210種.

【答案】210

【例11】在一個圓周上均勻分布10個點，以這些點為頂點，可以畫出多少不同的鈍角三角形？（補充知識：

由直徑和圓周上的一點構(gòu)成的三角形一定是直角三角形，其中直徑的邊所對的角是直角，所以如

果圓周上三點在同一段半圓周上，則這三點構(gòu)成鈍角三角形）.

【考點】加乘原理之圖論【難度】3星【題型】解答

【解析】由于10個點全在圓周上，所以這10個點沒有三點共線，故只要在10個點中取3個點，就可以畫出

一個三角形，如果這三個點其中兩點構(gòu)成的線段小于直徑，并且第三個點在被其余兩點分割的較小

的圓周上，則這三個點構(gòu)成鈍角三角形，這樣所有的鈍角三角形可分為三類，第一類是長邊端點之

間僅相隔一個點，這樣的三角形有10x1=10個，第二類是長邊端點之間相隔兩個點，這樣的三角形

有10x2=20個，第三類是長邊端點之間相隔三個點，這樣的三角形有10x3=30個，所以一共可以

畫出10+20+30=60個鈍角三角形.

【答案】60

【例12】從1至9這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)填在下圖的六個圓圈內(nèi)，使在任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字

之和都是不能被3整除的奇數(shù)，那么最多能找出種不同的挑法來.（六個數(shù)字相同、排列次

序不同的都算同一種）

【考點】加乘原理之圖論【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】顯然任意兩個相鄰圓圈中的數(shù)只是一奇一偶，因此，應(yīng)從2,4,6,8中選3個數(shù)填入3個不相鄰的

圓圈中，下面就按此分類列舉：

⑴填入2,4,6,這時3與9不能同時填入（否則總有一個與6相鄰，3+6或9+6能被3整除），沒

有3,9的有1種：1,5,7,經(jīng)試填，不成立；有3或9的，其它3個奇數(shù)1,7中選一個，5必

選，有2種選法，因此有2x2=4種.

⑵填入2,4,8,這時1,7不能填入（因為7+2,7+8,1+2,1+8都能被3整除），從其余3個奇

數(shù)中選出1個，有1種選法.

⑶填入2,6,8,這時1,7不能填入，故無法填.

⑷填入4,6,8,這時3與9只能任選一個，1與7也只能任選1個，第三個數(shù)是5,因而有2x2=4

種選法.

根據(jù)加法原理，總共有4+1+0+4=9種選法.

【答案】9

一年級（上）

一.準(zhǔn)備課

1.數(shù)一數(shù)

2.比多少

二位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的認識和加減法

1.1—5的認識

2.比多少

3.第幾

4.分和合

5.加法

6.減法

7.0

四.認識圖形（一）

認識圖形

五.6—10的認識和加減法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.連加、連減、加減混合

六.11—20各數(shù)的認識

1.11—20各數(shù)的認識

2.10加幾、十幾加幾和相應(yīng)的減法

七.認識鐘表

認識鐘表

八.20以內(nèi)的進位加法

1.9力口幾

2.8、7、9加幾

35、4、3、2加幾

4.解決問題

一年級（下）

一.認識圖形（二）

認識圖形

二.20以內(nèi)的退位減法

1.十幾減9

2.十幾減8、7、6

3.十幾減5、4、3、2

4.解決問題

三.分類與整理

分類與整理

四.100以內(nèi)數(shù)的認識

1.數(shù)數(shù)、數(shù)的組成

2.數(shù)的順序、比較大小

3.解決問題

4.整十?dāng)?shù)加一位數(shù)及相應(yīng)的減法

五.認識人民幣

1.認識人民幣

2.簡單的計算

六.100以內(nèi)的加法和減法（一）

1.整十?dāng)?shù)加、減整十?dāng)?shù)

2.兩位數(shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)

3.兩位數(shù)減一位數(shù)、整十?dāng)?shù)

4.解決問題

七.找規(guī)律

1.找規(guī)律（一）

2.找規(guī)律（二）

二年級（上）

一.長度單位

1.厘米和米

2.線段

—.100以內(nèi)的加法和減法（二）

1.加法

2.減法

3.連加、連減和加減混合

三.角的初步認識

1.認識角

2.認識直角

3.認識鈍角和銳角

四.表內(nèi)乘法（一）

1.乘法的初步認識

2.5的乘法口訣

3.2、3、4的乘法口訣

4.6的乘法口訣

五.觀察物體（一）

觀察物體（一）

六.表內(nèi)乘法（二）

7、8、9的乘法口訣

七.認識時間

認識時間

八.數(shù)學(xué)廣角一搭配（一）

數(shù)學(xué)廣角一搭配（一）

二年級（下）

一.數(shù)據(jù)收集整理

數(shù)據(jù)收集整理

二.表內(nèi)除法（一）

1.除法的初步認識

2.用2-6的乘法口訣求商

3.解決問題

三.圖形的運動（一）

1.軸對稱圖形

2.平移和旋轉(zhuǎn)

四.表內(nèi)除法（二）

1.用7、8、9的乘法口訣求商

2.解決問題

五.混合運算

混合運算

六.有余數(shù)的除法

1.有余數(shù)的除法的意義和計算

2.解決問題

七.萬以內(nèi)數(shù)的認識

1.1000以內(nèi)數(shù)的識

2.10000以內(nèi)數(shù)的認識

3.整百、整千數(shù)加減法

八.克和千克

克和千克

九.數(shù)學(xué)廣角一推理

生活中的推理

三年級（上）

一.時、分、秒

1.秒的認識

2.時間的計算

二.萬以內(nèi)的加法和減法（一）

1.口算兩位數(shù)加減兩位數(shù)

2.幾百幾十加減幾百幾十

3.三位數(shù)加減三位數(shù)的估算

三.測量

1.毫米、分米的認識

2.千米的認識

3.噸的認識

四.萬以內(nèi)的加法和減法（二）

1.加法

2堿法

五?倍的認識

倍的認識

六.多位數(shù)乘一位數(shù)

1.口算乘法

2.筆算乘法

3.含0的乘法

4.估算與解決問題

七.長方形和正方形

1.四邊形

2.周長、長方形和正方形周長

八.分數(shù)的初步認識

1.分數(shù)的初步認識（一）

2.分數(shù)的初步認識（二）

3.分數(shù)的簡單計算

4.分數(shù)的簡單應(yīng)用

九.數(shù)學(xué)廣角一一集合

集合思想

三年級（下）

一位置與方向（一）

1認識東、南、西、北四個方向

2認識東北、東南、西北、西南四個方向

二除數(shù)是一位數(shù)的除法

1口算除法

2一位數(shù)出兩、三位數(shù)的筆算除法

3商的中間或末尾有0的筆算除法

4用估算解決問題

三復(fù)式統(tǒng)計表

復(fù)式統(tǒng)計表

四兩位數(shù)乘兩位數(shù)

1口算乘法

2筆算乘法

五面積

1面積和面積單位

2長方形、正方形面積的計算

3面積單位間的進率

六.年、月、日

1年、月、日

224時計時法

七小數(shù)的初步認識

1認識小數(shù)

2簡單的小數(shù)加、減法

八數(shù)學(xué)廣角一一搭配（二）

數(shù)學(xué)廣角一一搭配（二）

四年級（上）

一大數(shù)的認識

1億以內(nèi)數(shù)的認識（一）

2億以內(nèi)數(shù)的認識（二）

3數(shù)的產(chǎn)生、十進制計數(shù)法和億以上數(shù)的認識

4計算工具的認識、算盤和計算器

51億有多大

二公頃和平方千米

1認識公頃

2認識平方千米

三角的度量

1線段、直線、射線和角

2角的度量

3角的分類

4畫角

四三位數(shù)乘兩位數(shù)

1筆算乘法（一）

2筆算乘法（二）

五平行四邊形和梯形

1平行與垂直

2平行四邊形和梯形

六除數(shù)是兩位數(shù)的除法

1口算除法

2筆算除法（一）

3筆算除法（二）

4筆算除法（三）

5筆算除法（四）

6商的變化規(guī)律

七條形統(tǒng)計圖

條形統(tǒng)計圖

八數(shù)學(xué)廣角一一優(yōu)化

數(shù)學(xué)廣角一一優(yōu)化

四年級（下）

一四則運算

1加減法的意義和各部分間的關(guān)系

2乘除法的意義和各部分間的關(guān)系

3括號

二觀察物體（二）

觀察物體（二）

三運算定律

1加法運算定律

2乘法運算定律

四小數(shù)的意義和性質(zhì)

1小數(shù)的意義和讀寫法

2小數(shù)的性質(zhì)和大小比較

3小數(shù)點移動引起小數(shù)大小的變化

4小數(shù)與單位換算

5小數(shù)的近似數(shù)

五三角形

1三角形的特性

2三角形的分類

3三角形的內(nèi)角和

六小數(shù)的加法和減法

1小數(shù)加減法

2小數(shù)加減混合運算

3整數(shù)加法運算定律推廣到小數(shù)

七圖形的運動（二）

1軸對稱

2平移

八平均數(shù)與條形統(tǒng)計圖

1平均數(shù)

2復(fù)式條形統(tǒng)計圖

九數(shù)學(xué)廣角一一雞兔同籠

數(shù)學(xué)廣角一一雞兔同籠

五年級（上）

-小數(shù)乘法

1小數(shù)乘整數(shù)

2小數(shù)乘小數(shù)

3積的近似數(shù)

4整數(shù)乘法

二位置

位置

三小數(shù)除法

1除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法

2一個數(shù)除以小數(shù)

3商的近似數(shù)

4循環(huán)小數(shù)

5用計算器探索規(guī)律

6解決問題

四可能性

事件發(fā)生的可能性

五簡易方程

1用字母表示數(shù)

2方程的意義及等式的性質(zhì)

3解方程

4實際問題與方法

六多邊形的面積

1平行四邊形的面積

2三角形的面積

3梯形的面積

4組合圖形的面積

七數(shù)學(xué)廣角一一植樹問題

數(shù)學(xué)廣角一一植樹問題

五年級（下）

-觀察物體（三）

觀察物體（三）

二因數(shù)與倍數(shù)

1因數(shù)和倍數(shù)

22、5、3的倍數(shù)的特征

3質(zhì)數(shù)和合數(shù)

三長方體和正方體

1長方體和正方體的認識

2長方體和正方體的表面積

3長方體和正方體的體積

4體積單位間的進率

5容積和容積單位

四分數(shù)的意義和性質(zhì)

1分數(shù)的意義

2真分數(shù)和假分數(shù)

3分數(shù)的基本性質(zhì)

4約分

5通分

6分數(shù)和小數(shù)的互化

五圖形的運動（三）

圖形的運動（三）

六分數(shù)的加法和減法

1同分母分數(shù)加減法

2異分母分數(shù)加減法

3分數(shù)加減混合運算

七折線統(tǒng)計圖

折線統(tǒng)計圖

八數(shù)學(xué)廣角一一找次品

數(shù)學(xué)廣角一一找次品

六年級（上）

一分數(shù)乘法

1分數(shù)乘法

2小數(shù)乘分數(shù)與分數(shù)混合運算

3解決問題

二位置與方向（二）

位置與方向

三分數(shù)除法

1倒數(shù)的認識

2分數(shù)除法

3分數(shù)四則混合運算

4分數(shù)應(yīng)用題

四比

1比的意義

2比的基本性質(zhì)

3比的應(yīng)用

五圓

1圓的認識

2圓的周長

3圓的面積

4扇形

六百分數(shù)（一）

1百分數(shù)的意義和寫法

2百分數(shù)與小數(shù)、分數(shù)的互化

3用百分數(shù)解決問題

七扇形統(tǒng)計圖

扇形統(tǒng)計圖

八數(shù)學(xué)廣角一一數(shù)與形

六年級（下）

一負數(shù)

負數(shù)

二百分數(shù)（二）

1折扣

2成數(shù)

3稅率

4利率

三圓柱與圓錐

1圓柱

2圓錐

四比例

1比例的意義和基本性質(zhì)

2正比例和反比例的意義

3比例的應(yīng)用

五數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題

數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題

小學(xué)五年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)教學(xué)知識點歸納總結(jié)

第一單元小數(shù)乘法

1、小數(shù)乘整數(shù):

@意義一一求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。

如：1.5X3表示求3個1.5的和的簡便運算（或1.5的3倍是多少）。

@計算方法：先把小數(shù)擴大成整數(shù)；按整數(shù)乘法的法則算出積；再看因數(shù)

中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。

2、小數(shù)乘小數(shù)：

@意義一一就是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。

如:1.5X0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。

@計算方法：先把小數(shù)擴大成整數(shù)；按整數(shù)乘法的法則算出積；再看因數(shù)

中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。

注意：按整數(shù)算出積后，小數(shù)末尾的0要去掉，也就是把小數(shù)化簡；位

數(shù)不夠時，要用0占位。

3、規(guī)律：

'一個數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積比原來的數(shù)大；

Y

〔一個數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)，積比原來的數(shù)小。

4、求近似數(shù)的方法一般有三種：

⑴四舍五入法；⑵進一法；⑶去尾法

5、計算錢數(shù)，保留兩位小數(shù)，表示計算到分；保留一位小數(shù)，表示計算

到角。

6、小數(shù)四則運算順序和運算定律跟整數(shù)是一樣的。

7、運算定律和性質(zhì)：

@加法：

,加法交換律：a+b=b+a

Y

、加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

@減法：

-a-b-c=a-(b+c)

Y

ia-(b+c)=a-b-c

@乘法：

，乘法交換律：aXb=bXa

<乘法結(jié)合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

〔乘法分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc[(a-b)Xc=aXc-bXc]

@除法：

*a4-b-rc=a-i-(bXc)

1a4-(bXc)=a+b+c

第二單元位置

1、數(shù)對：由兩個數(shù)組成，中間用逗號隔開，用括號括起來。括號里面的

數(shù)由左至右分別為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”。

2、作用：一組數(shù)對確定唯——個點的位置。經(jīng)度和緯度就是這個原理。

例：在方格圖（平面直角坐標(biāo)系）中用數(shù)對（3,5）表示（第三列，第

五行）。

注：（1）在平面直角坐標(biāo)系中X軸上的坐標(biāo)表示列，y軸上的坐標(biāo)表示

行。如：數(shù)對（3,2）表示第三列，第二行。

（2）數(shù)對（X,5）的行號不變，表示一條橫線，（5,Y）的列號不變，

表示一條豎線。（有一個數(shù)不確定，不能確定一個點）

2、圖形左右平移行數(shù)不變；圖形上下平移列數(shù)不變。

第三單元小數(shù)除法

1、小數(shù)除法的意義：已知兩個因數(shù)的積與其中的一個因數(shù)，求另一個因

數(shù)的運算。

如：0.6+0.3表示已知兩個因數(shù)的積0.6與其中的一個因數(shù)0.3,求另

一個因數(shù)的運算。

2、小數(shù)除以整數(shù)的計算方法：小數(shù)除以整數(shù)，按整數(shù)除法的方法去除。

商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。整數(shù)部分不夠除，商0,點上小數(shù)點。

如果有余數(shù)，要添0再除。

3、除數(shù)是小數(shù)的除法的計算方法：先將除數(shù)和被除數(shù)擴大相同的倍數(shù)，

使除數(shù)變成整數(shù)，再按“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的法則進行計算。

注意：如果被除數(shù)的位數(shù)不夠，在被除數(shù)的末尾用0補足。

4、在實際應(yīng)用中，小數(shù)除法所得的商也可以根據(jù)需要用“四舍五入”法

保留一定的小數(shù)位數(shù)，求出商的近似數(shù)。

5、除法中的變化規(guī)律：

①商不變：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變。

②除數(shù)不變，被除數(shù)擴大，商隨著擴大。

③被除數(shù)不變，除數(shù)縮小，商擴大。

6、循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字

依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小

數(shù)。

@循環(huán)節(jié)：一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字。如

6.3232的循環(huán)節(jié)是32.

7、小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是無

限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。

第四單元可能性

1、有些事件的發(fā)生是確定的，有些是不確定的。

「可能一A（不能確定）

可能性1不可能］

卜-?（確定）

I