線性代數(shù)及應用（第2版）課件 2-1 行列式的概念及性質

第2章行列式與線性方程組2.1行列式的概念及性質注：行列式定義通常有3種，教材采用遞推方法，課件采用逆序理論方法。二、三階行列式二元線性方程組方程組有唯一解由消元法，得二、三階行列式定義1——對角線法則二元線性方程組的解可表示為其中二、三階行列式例1解方程組有唯一解．二、三階行列式定義2注二階行列式的對角線法則并不適用！例如全排列與對換用數(shù)字123，可以組成多少沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解123百位十位1231個位123種放法．共有引例定義3從

n個不同元素中取出m(m

≤n)

個，按照一定順序排成一列，叫做從

n個元素中取出

m個元素的一個排列．把

n個正整數(shù)排成一列，稱為

n元全排列，對于

n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標準次序.n個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序．定義4一個排列中某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)．例如全排列與對換逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；為奇數(shù)的排列稱為奇排列．練習求下列排列的逆序數(shù)，并說明奇偶性．（1）（2）解（1）奇排列（2）偶排列符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？答逆序數(shù)等于零，因而是偶排列．思考全排列與對換定義5將一個

n元排列中某兩個數(shù)的位置互換，而其余數(shù)不動，就得到另一個排列，這樣的變換稱為對換．若交換的是相鄰位置的兩個數(shù)，則稱該對換為相鄰對換．定理1對換改變排列的奇偶性．證明（相鄰對換）可見，相鄰對換改變排列的奇偶性．全排列與對換證明（一般對換）改變排列的奇偶性．定理1對換改變排列的奇偶性．全排列與對換推論任一

n元排列與標準排列都可經(jīng)過一系列對換互變，并且所作對換的次數(shù)與這個

n元排列有相同的奇偶性．奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)；偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．定理2全排列與對換證明設所有全排列中共有

t個奇排列和

s個偶排列，奇排列經(jīng)一次對換都變成偶排列，于是同理可知所以n

階行列式的定義規(guī)律(1)三階行列式共有6項，即3!項；(2)每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積；(3)每一項可以寫成(正負號除外)，其中

是1、2、3的某個全排列；(4)當是偶排列時，對應的項取正號；當是奇排列時，對應的項取負號．n

階行列式的定義定義6n階行列式注一階行列式|a|=a，不要與絕對值的記號相混淆．

例如一階行列式n

階行列式的定義例2解含的項有兩項，對應于故的系數(shù)為-1．n

階行列式的定義計算行列式例3對角行列式，上三角、下三角行列式行數(shù)可不等于列數(shù)共有

m×n個元素本質上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有

n2個元素矩陣行列式n

階行列式的定義推論定理3n階行列式也可定義為n階行列式也可定義為行列式的性質設行列式稱為行列式的轉置行列式．

行列式與它的轉置行列式相等，即．證明性質1若記，則，行列式的性質互換行列式的兩行(列)，行列式變號．性質2證明行列式的性質行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立．例如推論如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零．證明互換相同的兩行，有行列式的性質行列式的某行(列)中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)，證明性質3等于用此數(shù)乘以行列式．行列式的性質行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以推論1提到行列式符號的外面．行列式中如果有兩行(列)對應元素成比例，推論2則此行列式為零．證明推論3行列式的性質性質4若行列式的第

i行(列)的每一個元素都可以表示為兩數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個行列式之和．例如行列式的性質把行列式的第

j行(列)元的

k倍加到第

i行(列)性質5的對應元上，行列式的值不變．計算行列式常用方法是利用運算把行列式說明化為三角形行列式，從而算得行列式的值．行列式的性質例4計算階行列式解行列式的性質例5證明

證明行列式的性質例6解行列式的性質性質6(行列式乘積法則)證明OC結論三階行列式可以用二階行列式表示．思考任意行列式是否都可以用較低階的行列式表示？行列式按行(列)展開行列式按行(列)展開在

n階行列式中，把元素所在的第

i行和定義7留下來的元按原來的次序構成的階第

j

列劃去后，行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如每一個元素對應著一個余子式和代數(shù)余子式，余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關．說明行列式按行(列)展開引理一個

n階行列式，如果其中第

i行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積．證明行列式按行(列)展開n階行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應定理4的代數(shù)余子式乘積之和，即證明行列式按行(列)展開例7解說明計算行列式時，可以運用行列式性質，將某一行(列)盡可能多得化為零，然后使用行列式的展開．行列式按行(列)展開例8設，求及解行列式按行(列)展開例9證明范