江蘇省南京市玄武區(qū)溧水高中2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

江蘇省南京市玄武區(qū)溧水高中2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數(shù)則（）A． B． C． D．2．已知直線與直線平行，則實數(shù)m的值為（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或33．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．244．“”是“直線：與直線：垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．一個幾何體的三視圖如圖（圖中尺寸單位：m），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．若平面∥平面，直線∥平面,則直線與平面的關系為()A．∥ B． C．∥或 D．7．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A． B． C． D．8．設某曲線上一動點到點的距離與到直線的距離相等，經過點的直線與該曲線相交于，兩點，且點恰為等線段的中點，則（）A．6 B．10 C．12 D．149．在中，若，則角的大小為（）A． B． C． D．10．過點作圓的切線,且直線與平行，則與間的距離是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．12．若是方程的解，其中，則________．13．某住宅小區(qū)有居民萬戶，從中隨機抽取戶，調查是否安裝寬帶，調查結果如下表所示：寬帶租戶業(yè)主已安裝未安裝則該小區(qū)已安裝寬帶的居民估計有______戶．14．數(shù)列滿足：，，則______.15．在數(shù)列中，，，，則_____________．16．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前三項滿足.（1）求通項公式；（2）若是等比數(shù)列的前項和，記，試用等比數(shù)列求和公式化簡（用含的式子表示）18．在平面直角坐標系中，已知點與兩個定點，的距離之比為.（1）求點的坐標所滿足的關系式；（2）求面積的最大值；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．如圖，三角形中，，是邊長為l的正方形，平面底面，若分別是的中點.（1）求證：底面；（2）求幾何體的體積.20．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點及中點處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內（含邊界）與等距的點處建一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道，記輔設管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數(shù)關系式：（i）設，將表示成的函數(shù)；（ii）設，將表示成的函數(shù)；（2）請你選用一個函數(shù)關系，確定污水廠位置，使鋪設管道總長最短.21．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內的四周安排寬的綠化，綠化造價為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設矩形的長為.（1）設總造價（元）表示為長度的函數(shù)；（2）當取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

首先根據(jù)題意得到，再計算即可.【詳解】……，.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)值的求法，同時考查了指數(shù)冪的運算，屬于簡單題.2、B【解析】

兩直線平行應該滿足，利用系數(shù)關系及可解得m.【詳解】兩直線平行，可得（舍去）.選B.【點睛】兩直線平行的一般式對應關系為：，若是已知斜率，則有，截距不相等.3、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質，是數(shù)列的常考題型.4、A【解析】試題分析：由題意得，直線與直線垂直，則，解得或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件，故選A．考點：兩條直線的位置關系及充分不必要條件的判定．5、C【解析】

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，計算即可得解.【詳解】該幾何體是一個半徑為1的球體削去四分之一，體積為.故選：C.【點睛】本題考查了三視圖的識別和球的體積計算，屬于基礎題.6、C【解析】

利用空間幾何體，發(fā)揮直觀想象，易得直線與平面的位置關系.【詳解】設平面為長方體的上底面，平面為長方體的下底面，因為直線∥平面，所以直線通過平移后，可能與平面平行，也可能平移到平面內，所以∥或.【點睛】空間中點、線、面位置關系問題，常可以借助長方體進行研究，考查直觀想象能力.7、D【解析】

由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選：D．【點睛】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎題．8、B【解析】由曲線上一動點到點的距離與到直線的距離相等知該曲線為拋物線，其方程為，分別過點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，由梯形的中位線定理知,所以，故選B.9、D【解析】

由平面向量數(shù)量積的定義得出、與的等量關系，再由并代入、與的等量關系式求出的值，從而得出的大小.【詳解】，，，由正弦定理邊角互化思想得，，，同理得，，，則，解得，中至少有兩個銳角，且，，所以，，，因此，，故選D.【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計算，考查利用正弦定理、兩角和的正切公式求角的值，解題的關鍵就是利用三角恒等變換思想將問題轉化為正切來進行計算，屬于中等題.10、D【解析】由題意知點在圓C上，圓心坐標為，所以，故切線的斜率為，所以切線方程為，即．因為直線l與直線平行，所以，解得，所以直線的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直線與直線l間的距離為．選D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計算，即可求出值．【詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【點睛】本題考查了解三角形的綜合應用，高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．12、或【解析】

將代入方程，化簡結合余弦函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由題意可得：，即所以或又所以或故答案為：或【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)求值問題，屬于基礎題.13、【解析】

計算出抽樣中已安裝寬帶的用戶比例，乘以總人數(shù)，求得小區(qū)已安裝寬帶的居民數(shù).【詳解】抽樣中已安裝寬帶的用戶比例為，故小區(qū)已安裝寬帶的居民有戶.【點睛】本小題主要考查用樣本估計總體，考查頻率的計算，屬于基礎題.14、【解析】

可通過賦值法依次進行推導，找出數(shù)列的周期，進而求解【詳解】由，，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，當故數(shù)列從開始，以3為周期故故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，能根據(jù)遞推公式找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關鍵，屬于中檔題15、5【解析】

利用遞推關系式依次求值，歸納出：an+6=an，再利用數(shù)列的周期性，得解.【詳解】∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），∴a3=a2-a1=5-1=4，同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，∴an+6=an．則a2018=a6×336+2=a2=5【點睛】本題考查了遞推關系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力.16、【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系，即可得到答案?！驹斀狻吭O抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點睛】本題考查分層抽樣，考查學生的計算能力，屬于基礎題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）觀察式子特點可知，只有2,4,8三項符合等比數(shù)列特征，再根據(jù)題設條件求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式表示出，再采用分組求和法化簡的表達式即可【詳解】（1）由題可知，只有2,4,8三項符合等比數(shù)列特征，又，故，故，；（2），，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列前項和公式的用法，分組求和法的應用，屬于中檔題18、（1）（2）3；（3）【解析】

（1）根據(jù)題意，結合兩點間距離公式，可以得到等式，化簡后得到點的坐標所滿足的關系式；（2）設是曲線上任一點，求出的表達式，結合的取值范圍，可以求出面積的最大值；（3）恒成立，則恒成立.設，當它與圓相切時，取得最大和最小值，利用點到直線距離公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設的坐標是，由，得，化簡得.（2）由（1）得，點在以為圓心，為半徑的圓上.設是曲線上任一點，則，又，故的最大值為：.（3）由（1）得：圓的方程是若恒成立，則恒成立.設，當它與圓相切時，取得最大和最小值，由得：，，故當時，原不等式恒成立.【點睛】本題考查了求點的軌跡方程，考查了直線與圓的位置關系，考查了求三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學運算能力.19、(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：（1）通過面面平行證明線面平行，所以取的中點，的中點，連接.只需通過證明HG//BC，HF//AB來證明面GHF//面ABC,從而證明底面．（2）原圖形可以看作是以點C為頂點，ABDE為底的四棱錐，所四棱錐的體積公式可求得體積．試題解析：（1）取的中點，的中點，連接.（如圖）∵分別是和的中點，∴，且，，且.又∵為正方形，∴，.∴且.∴為平行四邊形.∴，又平面，∴平面.（2）因為，∴，又平面平面，平面，∴平面.∵三角形是等腰直角三角形，∴.∵是四棱錐，∴.【點睛】證明線面平行時,先直觀判斷平面內是否存在一條直線和已知直線平行,若找不到這樣的直線,可以考慮通過面面平行來推導線面平行,應用線面平行性質的關鍵是如何確定交線的位置,有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線．在應用線面平行、面面平行的判定定理和性質定理進行平行轉化時,一定要注意定理成立的條件,嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如把線面平行轉化為線線平行時,必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行．20、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設在與直線距離處【解析】

（1）（i）設的中點為，則，，，，由此可得關于的函數(shù)；（ii）由題意，則，，由此可得關于的函數(shù)；（2）設，，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】解：（1）（i）設中點，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設，，則，，當，即時，取最小值，∴污水廠設在與直線距離處時，鋪設管道總長最短，最短長度為千米．【