函數(shù)的模型及其應(yīng)用講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第10頁(yè)基礎(chǔ)課15函數(shù)的模型及其應(yīng)用考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)函數(shù)的模型及其應(yīng)用掌握2023年新高考Ⅰ卷T2020年全國(guó)Ⅰ卷（理）T2020年全國(guó)Ⅲ卷（理）T★★☆數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，函數(shù)模型及其應(yīng)用常結(jié)合數(shù)學(xué)文化背景考查，試題難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)以數(shù)學(xué)文化為背景考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用一、幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型fx=ax+二次函數(shù)模型fx=ax2+反比例函數(shù)模型fx=kx指數(shù)函數(shù)模型fx=bax+c(a,對(duì)數(shù)函數(shù)模型fx=blogax+c(a冪函數(shù)模型fx=axα+b(“對(duì)勾”函數(shù)模型f二、三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yyy在0,+∞單調(diào)①遞增單調(diào)②遞增單調(diào)③遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)④越快越來(lái)⑤越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與⑥y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與⑦x軸平行隨α的值變化而變化值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>【提醒】對(duì)于冪函數(shù)模型y=xαα>題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利.(×（2）函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y（3）不存在x0，使ax0（4）“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=abx+c(2.（易錯(cuò)題）某校為了規(guī)范教職工績(jī)效考核制度，現(xiàn)準(zhǔn)備擬定一個(gè)函數(shù)用于根據(jù)當(dāng)月評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)x（單位：分，正常情況下，0≤x≤100，若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分，且教職工平均每月評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)在50分左右）計(jì)算當(dāng)月績(jī)效工資A.y=x?C.y=11000【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視函數(shù)的性質(zhì)致誤，在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義和函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定擬合函數(shù).[解析]由題意知，擬定函數(shù)應(yīng)滿足：①是增函數(shù)，且增長(zhǎng)速度先快后慢再快；②在x=50左右增長(zhǎng)速度較慢，且對(duì)于A，y=x?對(duì)于B，y=對(duì)于C，y=11000對(duì)于D，y=50[題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修①P150·T2改編）在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，若野兔總只數(shù)的倍增期為21個(gè)月，則1萬(wàn)只野兔增長(zhǎng)到10萬(wàn)只野兔大約需要年6.(lg2[解析]設(shè)經(jīng)過(guò)x年后的野兔有y只，由題意知y=104?212x21=104?故大約需要6年.4.（人教A版必修①P161·T9改編）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t（單位：h）之間的關(guān)系為P=P0e?kt，其中P0，k是正的常數(shù)，若在前5[解析]當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=5時(shí)，P0?e當(dāng)t=20時(shí)，即20h后，還剩題組3走向高考5.[2020·新高考Ⅰ卷改編]基本再生數(shù)R0與世代間隔T是某傳染病的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在該疾病傳染的初始階段，可以用指數(shù)模型It=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)It隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天[解析]因?yàn)镽0=3.28，T=6，R0=則e0.38t+t1所以t1=ln考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問(wèn)題［自主練透］1.如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一個(gè)排水小孔，當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T.若當(dāng)水流出時(shí)間為t時(shí)，魚缸水深為?，則函數(shù)?=ftA.B.C.D.[解析]函數(shù)?=ft是關(guān)于t的減函數(shù)，故排除C，D，從一開(kāi)始，?隨著時(shí)間變化而減小，但變化逐漸變慢，當(dāng)超過(guò)一半時(shí)，?2.[2024·泰州模擬]某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列可以近似地刻畫茶水溫度y（單位：℃）隨時(shí)間x（單位：min）變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型是(A.yB.yC.yD.y=mloga[解析]由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0,0<判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法1.構(gòu)建函數(shù)模型法：先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.2.驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際情況的答案.考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題［自主練透］1.[2024·北京模擬]科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v=12log3x100?lgx0（單位：km/minA.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍[解析]設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為x1，雌鳥每分鐘的耗氧量為x2，由題意可得1.3=12log3x12.[2024·云南模擬]牛頓冷卻定律描述了一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：若物體的初始溫度為T0，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t（單位：分鐘）后的溫度T（單位：℃）將滿足T?Ta=12t??T0?Ta，其中Ta是環(huán)境溫度，A.12 B.14 C.16 D.18[解析]根據(jù)題意有55?25=所以45?25=12t10已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的要點(diǎn)1.認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).2.根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).3.利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題［多維探究］二次函數(shù)模型典例1（雙空題）勞動(dòng)實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會(huì)、回報(bào)社會(huì)的一種良好形式.某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動(dòng)實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件時(shí)，售價(jià)為s元/件，且滿足s=820?2x，每天的成本合計(jì)為600+[解析]由題意易得，日利潤(rùn)y=故當(dāng)日產(chǎn)量為200件時(shí)，獲得的日利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7.94萬(wàn)元，指數(shù)、對(duì)數(shù)模型典例2金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度?與其采摘后的時(shí)間t（單位：天）滿足的函數(shù)解析式為?=mlnt+aa>0.若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為A.4.0天 B.4.3天 C.4.7天 D.5.1天[解析]由已知得mln1+a=0.4,mln3+設(shè)t天后采摘下來(lái)的金針菇會(huì)失去全部新鮮度，則mlnt+1=1，又mln1+1=分段函數(shù)模型典例3如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x，若將△A.當(dāng)x∈(0,π4]時(shí)，C.當(dāng)x∈[3π4,π)時(shí)，f[解析]∵OB=BC=1，∴∠∴∠COD=π當(dāng)x∈(0,π4]時(shí)，點(diǎn)P在線段BC上（不包括點(diǎn)B），如圖2所示，則PB=OBtanx=tan當(dāng)x∈[3π4,π)時(shí)，點(diǎn)P在線段DA上（不包括點(diǎn)A），如圖4所示，此時(shí)∠POA=π?在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意的四個(gè)步驟審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型求解將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型求解求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論還原將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的答案1.天文學(xué)用絕對(duì)星等衡量天體的發(fā)光強(qiáng)度，用目視星等衡量觀測(cè)者看到的天體亮度，可用M=m?5lgdd0近似表示絕對(duì)星等M、目視星等m和觀測(cè)距離d（單位：光年）之間的關(guān)系.已知織女星的絕對(duì)星等為0.58A.10?2.2 B.100.172 C.10[解析]設(shè)觀測(cè)者與織女星和大角星之間的距離分別為d1，d2，則0.58=0.04?5lgd2.某公司在30天內(nèi)A商品的銷售價(jià)格P（單位：元）與時(shí)間t（單位：天）的關(guān)系滿足圖象所示的函數(shù)，A商品的銷售量Q（單位：萬(wàn)件）與時(shí)間t的關(guān)系是Q=40?①第15天日銷售額最大；②第20天日銷售額最大；③最大日銷售額為120萬(wàn)元；④最大日銷售額為125萬(wàn)元.A.①③ B.①④ C.②③ D.②④[解析]由圖象可得當(dāng)0≤t≤20時(shí)，可設(shè)P=at+所以b=2,6=20a+b,解得b=2,a所以6=20m+n,故P又Q=?t+400所以y化簡(jiǎn)可得y當(dāng)0<t<20時(shí)，y=?當(dāng)20≤t≤30時(shí)，y=綜上可得，第15日的銷售額最大，最大值為125萬(wàn)元，故①④正確.故選B.3.某科研小組對(duì)面積為8000平方米的某池塘里的一種生物的生長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行研究.一開(kāi)始在此池塘投放了一定面積的該生物，觀察實(shí)驗(yàn)得到該生物的覆蓋面積y（單位：平方米）與所經(jīng)過(guò)的月數(shù)x(x0234y42562.5156.3為了描述該生物的覆蓋面積y（單位：平方米）與經(jīng)過(guò)的月數(shù)x(x∈N)的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型可供選擇：①y成套的課件成套的教案成套的試題成