利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

培優(yōu)課05利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問題培優(yōu)點一利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題典例1已知函數(shù)fx=ex+ax2?x.解題觀摩[解析]由fx≥12x3+1得，當(dāng)x>0時，記gx令?x則?'x=則φ'x=ex故函數(shù)?x單調(diào)遞增，?x>?0故當(dāng)x∈0,2時，當(dāng)x∈2,+∞時，g故gxmax=g21.分離參數(shù)法解含參不等式恒成立的三個步驟用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式.一般步驟：第一步：分離參數(shù)（注意分離參數(shù)時自變量x的取值范圍是否影響不等式的方向）.第二步：轉(zhuǎn)化，若a>fx對x∈D恒成立，則只需a>f第三步：求最值.2.分類討論法求含參不等式恒成立的思路根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍,一般是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，要證明不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意.引入三角函數(shù)1.已知函數(shù)fx=sinx?2ax,a∈R，若關(guān)于[解析]不等式fx≤cos即2a≥sin設(shè)gx則g'設(shè)?x則?'因為當(dāng)x∈π2,π時，所以當(dāng)x∈π2所以函數(shù)?x在π2,π所以當(dāng)x∈π2,π時，則函數(shù)gx在π2,π所以當(dāng)x∈π2,π時，故實數(shù)a的取值范圍是[2分類討論法解決含參不等式恒成立問題2.[2023·全國甲卷]已知函數(shù)fx=ax?sinx[解析]f'x=a?則f'x=則F'設(shè)φt=a則φ't=?4?所以φt若a∈(?∞,3],則F'x=φ所以當(dāng)a∈(?∞,3]若a∈3,+∞,則當(dāng)t→0又φ1=a?3即?x0∈(0,當(dāng)t∈t0,1時,φt>所以當(dāng)x∈0,綜上,實數(shù)a的取值范圍為(?∞,培優(yōu)點二利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的能成立問題典例2已知函數(shù)fx=2xlnx+解題觀摩[解析]若存在x0∈[1e,e]，使得不等式f所以只需a設(shè)?則?'x=當(dāng)x當(dāng)x又?1e=?2+所以?所以a≤?xmax1.含參數(shù)的能成立（存在性）問題的解題方法（1）a≥fx在x（2）a≤fx在x2.含全稱量詞、存在量詞不等式能成立問題（1）存在x1∈A，對任意x2∈（2）任意x1∈A，存在x2∈雙變量能成立問題[2024·廣西模擬]已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx[解析]函數(shù)fx的定義域為0f'①當(dāng)a>0時，由f'x>0得由f'x<0得0<②當(dāng)a<0時，由f'x>0得x>?6a，即fx在?（2）設(shè)gx=2x2?mex+e212[解析]當(dāng)a=?16e時，由（1）知，函數(shù)所以