人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題04全等模型-半角模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·黑龍江九年級(jí)階段練習(xí)）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，（如圖1），易證BM+DN=MN．(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．例2．（2022·北京四中九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)P在線段AB上，作射線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，交CQ于點(diǎn)E，連接BE．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．例3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022·綿陽(yáng)市八年級(jí)期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定例3．（2022·廣東廣州·二模）如圖，點(diǎn)為等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在和上，且，，，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．例4．（2023.重慶市八年級(jí)期中）問(wèn)題情境：在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究：如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明：（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求度數(shù).例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)畫(huà)出圖形（除圖②外），并直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.例4．（2023.山東八年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022.廣西八年級(jí)期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則△AMN的周長(zhǎng)是．2．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫(xiě)出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．3．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）回答問(wèn)題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿(mǎn)足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請(qǐng)寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)兩艦艇之間的距離．5．（2022·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．6．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期中）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+DF，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+FD，請(qǐng)問(wèn)：（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論．（3）若（2）中的點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊CB、CD的延長(zhǎng)線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個(gè)關(guān)于∠EAF與∠BAD的關(guān)系式，哪個(gè)是正確的？請(qǐng)證明結(jié)論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．7．（2023春·山東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按小亮的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？8．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀﹩?wèn)題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿(mǎn)足______數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE＋FD，并說(shuō)明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F．且AE⊥AD，米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)．9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．10．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．11.如圖，正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F，AE、AF分別交BD于點(diǎn)G、H，且∠EAF＝45°．（1）當(dāng)∠AEB＝55°時(shí)，求∠DAH的度數(shù)；（2）設(shè)∠AEB＝α，則∠AFD＝（用含α的代數(shù)式表示）；（3）求證：∠AEB＝∠AEF．12．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？计谥校┰诰毩?xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來(lái)”，再通過(guò)證明兩三角形全等，從而探究出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：如圖（1），把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝45°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，，連接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明．（2）∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M，N分別在CA，BC的延長(zhǎng)線上，完成圖（2），其余條件不變，直接寫(xiě)出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你解答：請(qǐng)對(duì)慧慧同學(xué)所編制的問(wèn)題進(jìn)行解答．

專(zhuān)題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·黑龍江九年級(jí)階段練習(xí)）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，（如圖1），易證BM+DN=MN．(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，然后證明得到，從而證得，可得結(jié)論；（2）首先證明，得，再證明，得，可得結(jié)論；（1）解：．理由如下：如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，，又，在與中，，（SAS），，，；（2）解：．理由如下：在線段上截取，在與中，，（SAS），，．在和中，，（SAS），，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．例2．（2022·北京四中九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)P在線段AB上，作射線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，交CQ于點(diǎn)E，連接BE．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析．(2)結(jié)論：AD+BE=DE．證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）結(jié)論：AD+BE=DE．延長(zhǎng)DA至F，使DF=DE，連接CF．利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（1）解：如圖所示：（2）結(jié)論：AD+BE=DE．理由：延長(zhǎng)DA至F，使DF=DE，連接CF．∵AD⊥CP，DF=DE，∴CE=CF，∴∠DCF=∠DCE=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=45°，∵∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°，∴∠FCA=∠ECB，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=DE．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．例3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關(guān)于對(duì)稱(chēng)得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．【詳解】解：如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022·綿陽(yáng)市八年級(jí)期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】(1)；(2)成立，；(3)，見(jiàn)解析【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等邊三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，從而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求證；（3）在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證得△MDN≌△M1DN，即可求證．【詳解】（1）解：BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，故答案為：BM+NC＝MN；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1（SAS），∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；（3）NC?BM=MN，理由如下：證明：在CN上截取CM1＝BM，連接MN，DM1由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定【答案】C【分析】將△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH，連接HN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等量關(guān)系可得：∠NBM=∠NBH，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得△NBM≌△NBH，由全等三角形的性質(zhì)可將x、m、n放在△NCH中，即可確定三角形的形狀．【詳解】解：如圖所示：將△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH，連接HN，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BM=BH，CH=AM，，，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，在△NBM與△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，∴以x，m，n為邊長(zhǎng)的三角形△NCH是鈍角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，例3．（2022·廣東廣州·二模）如圖，點(diǎn)為等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在和上，且，，，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】先證明∠DBM=∠DCN=90°，如圖，延長(zhǎng)AC至H，使CH=BM，連接DH，再證明△DBM≌△DCH（SAS），證明△MDN≌△HDN（SAS），可得MN=HN=BM+CN，從而可得答案．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=×（180°-120°）=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，如圖，延長(zhǎng)AC至H，使CH=BM，連接DH，∴∠DCH=90°，∴∠DBM=∠DCH，在△DBM和△DCH中，，∴△DBM≌△DCH（SAS），∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，∵∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDN+∠CDH=60°，∴∠MDN=∠HDN，在△MDN和△HDN中，，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN=HN=BM+CN，，，，即等邊三角形的邊長(zhǎng)為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例4．（2023.重慶市八年級(jí)期中）問(wèn)題情境：在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究：如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明：（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見(jiàn)解析；（4）【詳解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案為：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；歸納證明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展應(yīng)用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長(zhǎng)＝3AB，∴△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為＝，故答案為：．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求度數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20°【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)△BCF使BC與CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD為等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′為平角，∴A，D，F(xiàn)′共線，∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)畫(huà)出圖形（除圖②外），并直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）圖形見(jiàn)解析，【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接．證明，則，，，證明，得出，由此可得，；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，可得出，，那么．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)至，使，連接，∵，，，∴，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，且∴，故答案為：．（）解：（）中的結(jié)論仍成立，證明：如圖所示，延長(zhǎng)至，使，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，即．（），證明：如圖所示，在上截取使，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，在和中，

，∴，∴，∵，且，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒(méi)有明確的全等三角形時(shí)，要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形．例3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是理由見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形及題意即可證明；（2）在上截取，使，連接，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，理由：如圖②，在上截取，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．例4．（2023.山東八年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見(jiàn)解析；（3）MN=CN-AM，理由見(jiàn)解析【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022.廣西八年級(jí)期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則△AMN的周長(zhǎng)是．【分析】要求△AMN的周長(zhǎng)，根據(jù)題目已知條件無(wú)法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來(lái)表示，所以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，通過(guò)證明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，從而得出MN＝MF，△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，在△DMN和△DMF中，，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN＝MF，∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6+6＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明三角形全等，構(gòu)造另一個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫(xiě)出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“邊角邊”證明△MND和△QND全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=QN，再根據(jù)AQ+AN=QN整理即可得證；（2）把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DN=DP，AN=BP，根據(jù)∠DAN=∠DBP=90°可知點(diǎn)P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MND和△MPD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=MP，從而得證；（3）過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以證明△BMG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BM=MG=BG，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠QND=∠MND，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根據(jù)等角對(duì)等邊可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角邊”證明△ANE和△GHE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=GE，再根據(jù)BG=AB-AE-GE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出BG，從而得到BM的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴點(diǎn)Q在直線CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，則DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，根據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.8【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）作平行線并求出AN=GH是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．3．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）回答問(wèn)題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿(mǎn)足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見(jiàn)解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請(qǐng)寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF=BE+DF，理由見(jiàn)解析；（2）EF=BE+DF，理由見(jiàn)解析；（3）85海里【分析】（1）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可證得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可證得△AEF≌△AGF，從而得到EF=FG，即可求解；（2）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，可證得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可證得△AEF≌△AHF，從而得到EF=FH，即可求解；（3）連接CD，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，即可求解．【詳解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵，，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；（3）如圖，連接CD，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)M，根據(jù)題意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此時(shí)兩艦艇之間的距離85海里．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形，解答時(shí)，注意類(lèi)比思想的應(yīng)用．5．（2022·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．【答案】（1）EF=BE+DF．證明見(jiàn)解析；（2）AM=AB；（3）AM=AB．證明見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．（2）根據(jù)△EAQ≌△EAF，EF=BQ，得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；（3）延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)折疊和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，證得△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，從而證得△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．【詳解】解：（1）EF=BE+DF．證明如下：如答圖1，延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°．在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，∴△ABQ≌△ADF（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF．∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°．∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠EAF．在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．（2）解：AM=AB，理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB．（3）AM=AB．證明如下：如答圖，延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，∵折疊后B和D重合，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD．在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，∴△ADF≌△ABQ（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF．∵∠FAE=∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，即∠EAQ=∠FAE．在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ．∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB．6．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期中）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+DF，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+FD，請(qǐng)問(wèn)：（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論．（3）若（2）中的點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊CB、CD的延長(zhǎng)線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個(gè)關(guān)于∠EAF與∠BAD的關(guān)系式，哪個(gè)是正確的？請(qǐng)證明結(jié)論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）②正確【分析】（1）如圖1，將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到，則，，，，可得點(diǎn)三點(diǎn)共線，從而可證得，從而得到，即可求證；（2）如圖2，將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到，則，，，，先證明，即可求證；（3）在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，可先證明，可得到AH=AE，∠DAH=∠BAE，從而EF=FH，從而得到，進(jìn)而∠FAE=∠FAH，再由∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到，則，，，，在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵EF＝BE+DF，∴，∵AE=AE，∴，∴，∴；（2），理由如下：如圖2，將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到，則，，，，∵，∴，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵EF＝BE+DF，∴，∵AE=AE，∴，∴，∴；（3）在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD∴，∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DH+FD=FH，∵AF=AF，∴，∴∠FAE=∠FAH，∵∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠DAH）=360°，即2∠FAE+∠BAD=360°，故②正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，能夠利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·山東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按小亮的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明即可．（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)到，證明即可求得．【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可得,,四邊形為正方形、、三點(diǎn)在一條直線上在和中（2）結(jié)論：．理由：如圖2，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，同（1）可證得,且【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形．8．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）問(wèn)題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿(mǎn)足______數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE＋FD，并說(shuō)明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F．且AE⊥AD，米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠BAD＝2∠EAF，理由見(jiàn)解析(3)這條道路EF的長(zhǎng)為米．【分析】（1）先證明，得到AE=AG，∠BAE＝∠GAD，從而證明∠GAF=∠EAF，可證得出EF＝GF＝GD＋DF即可；（2）仿照（1）的方法延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，則可通過(guò)的相同的方法證明△ABM≌△ADF、△EAF≌△EAM，即可證出；（3）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，先通過(guò)證明△BAE是等邊三角形得出BE＝AB，再利用（2）的結(jié)論得到，將BE、DF的值代入即可求出．（1）解：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，如圖（1）中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴，∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG，∴∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°?45°＝45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AEF和△AGF中，，∴，∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF；（2）解：∠BAD＝2∠EAF，理由如下：如圖（2），延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△EAF和△EAM中，，∴△EAF≌△EAM，∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF，即EF＝BE＋DF；（3）解：如圖3，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，連接AF．∵∠BAD＝150°，AE⊥AD，∴∠BAE＝150°-90°=60°，又∵∠B＝60°，∴△BAE是等邊三角形，∴BE＝AB＝80，∵∠ADC=120°，∴∠ADC+∠B=120°+60°=180°，由（2）得，（米），即這條道路EF的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，對(duì)于大角中等于其中包含的小角的2倍的問(wèn)題，可利用題中旋轉(zhuǎn)的方法補(bǔ)全三角形，再通過(guò)證明三角形全等的方法求解相關(guān)線段．9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考期末）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見(jiàn)解析；（3）MN=CN-AM，理由見(jiàn)解析【分析】（1）把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（3）在NC上截取CM'=AM，連接BM'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可證得△ABM≌△CBM'，從而得到AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，進(jìn)而得到∠MAM'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，從而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△N