六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)試題-牛吃草問(wèn)題（含答案）人教版

1

牛吃草

§3季目混

1.理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問(wèn)題的解題思路.

2,初步了解牛吃草的變式題，會(huì)將一些變式題與牛吃草問(wèn)題進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系

英國(guó)科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問(wèn)題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，

牧場(chǎng)上的草在不斷的、均勻的生長(zhǎng).后人把這類問(wèn)題稱為牛吃草問(wèn)題或叫做“牛頓問(wèn)題

“牛吃草”問(wèn)題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間.難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按

不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定.“牛吃草”問(wèn)題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn).

解“牛吃草”問(wèn)題的主要依據(jù)：

①草的每天生長(zhǎng)量不變；

②每頭牛每天的食草量不變；

③草的總量=草場(chǎng)原有的草量+新生的草量，其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值

④新生的草量=每天生長(zhǎng)量x天數(shù).

同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問(wèn)題，一般的解法可總結(jié)為：

⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；

（2）草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)x較多天數(shù)-對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)x較少天數(shù)）十（較多天數(shù)-較少天數(shù)）；

（3）原來(lái)的草量=對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)x吃的天數(shù)-草的生長(zhǎng)速度x吃的天數(shù)；

（4）吃的天數(shù)=原來(lái)的草量+（牛的頭數(shù)-草的生長(zhǎng)速度）：

（5）牛的頭數(shù)=原來(lái)的草量+吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度.

，，牛吃草”問(wèn)題有很多的變例，像抽水問(wèn)題、檢票口檢票問(wèn)題等等，只有理解了“牛吃草”問(wèn)題的本

質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解決此類問(wèn)題.

板塊一、一塊地的“牛吃草問(wèn)題”

【例1】青青一牧場(chǎng)，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改養(yǎng)廿三只，九周走他方；

若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊?。）

【解說(shuō)】題目翻譯過(guò)來(lái)是：一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，27頭牛6個(gè)星期可以吃完，或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。

若是21頭牛，要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草每天都在生長(zhǎng)）

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了27x6=162份；23頭牛吃9周共吃了

23x9=207份.第二種吃法比第一種吃法多吃了207-162=45份草，這45份草是牧場(chǎng)的草

9一6=3周生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每周生長(zhǎng)的草量為45+3=15,那么原有草量為：162-6x15=72.

供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長(zhǎng)的草，剩下6頭牛需要72+6=12（周）可將原有牧草吃

―3個(gè)星嬴—

<-------------?21頭牛？個(gè)星期?----------?

【鞏固】牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng).這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天.供

25頭牛可吃幾天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了10x20=200份；15頭牛吃10天共吃了

15x10=150份.第一種吃法比第二種吃法多吃了200-150=5C份草，這50份草是牧場(chǎng)的草

20-10=10天生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每天生長(zhǎng)的草量為50+10=5,那么原有草量為：

200-5x20=100.

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下20頭牛需要100+20=5（天）可將原有牧草吃

完，即它可供25頭牛吃5天.

【鞏固】倉(cāng)庫(kù)里原有一批存貨，以后繼續(xù)運(yùn)貨進(jìn)倉(cāng)，且每天運(yùn)進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車運(yùn)貨出倉(cāng)，

如果每天用4輛汽車，則9天恰好運(yùn)完；如果每天用5輛汽車，則6天恰好運(yùn)完。倉(cāng)庫(kù)里原有

的存貨若用1輛汽車運(yùn)則需要多少天運(yùn)完？

【解析】設(shè)1輛汽車1天運(yùn)貨為"1"，進(jìn)貨速度為（9x4-5x6）+（9-6）=2,原有存貨為（4-2）x9=18,倉(cāng)

庫(kù)里原有的存貨若用1輛汽車運(yùn)則需要18+1=18（天）

【例2】牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭

牛吃18周？

【解析】設(shè)1頭牛1周的吃草量為"1"，草的生長(zhǎng)速度為（23x9-27x6）X9-6）=15,原有草量為

（27-15）x6=72,可供72+18+15=19（頭）牛吃18周

【鞏固】有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天.那么它可供幾頭牛吃

20天?

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么25-10=15天生長(zhǎng)的草量為12x25-24x10=60,所以每天

生長(zhǎng)的草量為60+15=4;原有草量為：（24-4）x10=200.

20天里，草場(chǎng)共提供草200+4x20=280,可以讓280+20=14頭牛吃20天.

【鞏固】（湖北省“創(chuàng)新杯”）

牧場(chǎng)有一片青草，每天長(zhǎng)勢(shì)一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則

頭牛96天可以把草吃完.

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長(zhǎng)的草量為（30x60-70x24）+（60-24）=^,牧

場(chǎng)原有草量為‘0-51x60=1600,要吃96天，需要1600+96+曰=20（頭）牛.

【鞏固】一牧場(chǎng)放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完.假定草的生長(zhǎng)量每日相等，每頭

牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以把草吃完？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為1個(gè)單位，則每天生長(zhǎng)的草量為：（50x9-58*7）+（9-7）=22,原有草

量為：50x9-22x9=252,（252+22x6）+6=64（頭）

【鞏固】林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問(wèn)如果

要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）

【解析】設(shè)一只猴子一周吃的野果為“1”，則野果的生長(zhǎng)速度是（21x12-23x9）X12-9）=15,原有的野

果為（23-15）x9=72,如果要4周吃光野果，則需有72+4+15=33只猴子一起吃

【鞏固】一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連

續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

【解析】水庫(kù)原有的水與20天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？20x5=100（臺(tái)）.

水庫(kù)原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？6x15=90（臺(tái)）.

每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

（100-90）4-（20-15）=2（臺(tái)）.

原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

100-20x2=60（臺(tái)）.

若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？

60+6+2=12（臺(tái)）.

【例3】由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少.已知某塊草地上的

草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天.照此計(jì)算，可以供多少頭牛吃10天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：（20x5-15x6）+（6-5）=10,原有

草量為：（20+10）x5=150;10天吃完需要牛的頭數(shù)是：150+10—10=5（頭）.

【鞏固】由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草

可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？

【解析】設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少（25x4-16x6）+（6-4）=2;

原來(lái)牧場(chǎng)有草（25+2）x4=108,

12天吃完需要牛的頭數(shù)是：108+12—2=7（頭）或（108-12x2）+12=7（頭）。

【例4】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少.經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5

天，或可供16頭牛吃6天.那么，可供11頭牛吃幾天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，6書1=天自然減少的草量為20x5—16x6=4,原有草量為：

（20+4）x5=120.

若有11頭牛來(lái)吃草，每天草減少11+4=15;所以可供11頭牛吃120+15=8（天）.

【鞏固】由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草

可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？

【解析】設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少（25x4-16x6）+（6-4）=2

原來(lái)牧場(chǎng)有草（25+2）*4=108

可供10頭牛吃的天數(shù)是：108+（10+2）=9（天）。

[例5]一塊勻速生長(zhǎng)的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一頭牛一天吃草量等

于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊

吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天.那么每天生長(zhǎng)的草量為(16x20-20x12)+(20-12)=10,原有

草量為：(16-10)x20=120.

10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去

吃每天生長(zhǎng)的草，那么剩下的15頭牛需要120+15=8天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供

10頭牛和75只羊一起吃8天.

【鞏固】(希望杯六年級(jí)二試試題)

有一片草場(chǎng)，草每天的生長(zhǎng)速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完

(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完？

【解析】“4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只羊一天的食量為1,那么14

頭牛30天吃了14x4x30=1680單位草量，而70只羊16天吃了16x70=1120單位草量，所以草

場(chǎng)在每天內(nèi)增加了(1680—1120)+(30—16)=40草量，原來(lái)的草量為1120—40*16=480草量，所

以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過(guò)480+(88-40)=10天，可將草吃完。

【鞏固】一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”,60只羊的吃草量等于15頭牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22

頭牛的吃草量，所以草的生長(zhǎng)速度為(1%24301-2)￡24=,原有草量為

(20-1僅)b2,12頭牛與88只羊一起吃可以吃120+(12+22-10)=5(天)

【鞏固】一片茂盛的草地，每天的生長(zhǎng)速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100

只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于1頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可

以吃多少天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析

16頭牛15天16X15=240：原有草量+15天生長(zhǎng)的草量

100只羊(25頭牛)6天25X6=150:原有草量+6天生長(zhǎng)的草量

從上易發(fā)現(xiàn)：1天生長(zhǎng)的草量=10;那么原有草量：150—10X6=90;

8頭牛與48只羊相當(dāng)于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有

草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。

【例6】有一牧場(chǎng)，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完.現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣

掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完.問(wèn)：原來(lái)有多少頭牛吃草(草均勻生長(zhǎng))？

【解析】設(shè)1頭牛I天的吃草量為“1”，那么每天生長(zhǎng)的草量為(17x30-19x24)+(30-24)=9,原有草

量為：(17-9)x30=240.

現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，

那么原有草量需增加4x2=；才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數(shù)為

(24Q)8+&%(頭).

【鞏固】一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛

一起吃，還可以再吃幾天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為"1"，那么每天生長(zhǎng)的草量為（4x40-5x30）+（40-30）=1,原有草量

為：（5-1）x30=120.如果4頭牛吃30天，那么將會(huì)吃去30天的新生長(zhǎng)草量以及90原有草量，

此時(shí)原有草量還剩120-90=30,而牛的頭數(shù)變?yōu)?,現(xiàn)在就相當(dāng)于：“原有草量30,每天生長(zhǎng)草

量1,那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：30+（6-1）=6（天）.

【例7]一片勻速生長(zhǎng)的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡;

如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡.已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量.現(xiàn)在

讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【解析】設(shè)1匹馬1天吃草量為“1”，根據(jù)題意，有：

15天馬和牛吃草量=原有草量+15天新生長(zhǎng)草量……（1）

20天馬和羊吃草量=原有草量+20天新生長(zhǎng)草量……（2）

30天牛和羊（等于馬）吃草量=原有草量+30天新生長(zhǎng)草量……⑶

由（1）x2-⑶可得：30天牛吃草量=原有草量，所以：牛每天吃草量=原有草量+30:

由⑶可知，30天羊吃草量=30天新生長(zhǎng)草量，所以：羊每天吃草量=每天新生長(zhǎng)草量；設(shè)馬每天

吃的草為3份

將上述結(jié)果帶入⑵得：原有草量=60,所以牛每天吃草量=2.

這樣如果同時(shí)放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長(zhǎng)的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：

60*2+3）=12（天）.

【鞏固】現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，

于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，

需多少時(shí)間？

【解析】牛、馬45天吃了原有445天新長(zhǎng)的草①

T?牛、馬90天吃了2原有+90天新長(zhǎng)的草⑤

馬、羊60天吃了原有+60天新長(zhǎng)的草②

牛、羊90天吃了原有+90天新長(zhǎng)的草③

馬90天吃了原有+90天新長(zhǎng)的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)

的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草.

所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草.

現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草.

所需時(shí)間為1+（，+,）=36天.

9060

所以，牛、羊、馬一起吃，需36天.

板塊二、多塊地的“牛吃草問(wèn)題”

【例8】東升牧場(chǎng)南面一塊2000平方米的牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，牧草每天都在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供18

頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天.在東升牧場(chǎng)的西側(cè)有一塊6000平方米的牧場(chǎng)，可供多少

頭牛吃6天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么2000平方米的牧場(chǎng)上16-8=8天生長(zhǎng)的草量為

18x16-27x8=72,即每天生長(zhǎng)的草量為72+8=9.那么2000平方米的牧場(chǎng)上原有草量為：

(18-9)x16=144.

則6000平方米的牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的草量為9x（6000-2000）=27：原有草量為：

144x（6000-2000）=432.6天里，該牧場(chǎng)共提供牧草432+27x6=594,可以讓594+6=99（頭）

牛吃6天.

【鞏固】有甲、乙兩塊勻速生長(zhǎng)的草地，甲草地的面積是乙草地面積的3倍.30頭牛12天能吃完甲草地

上的草，20頭牛4天能吃完乙草地上的草.問(wèn)幾頭牛10天能同時(shí)吃完兩塊草地上的草？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于甲草地的面積是乙草地面積的3倍，把甲草地分成面積相等

的3塊，那么每塊都與乙草地的面積相等.由于30頭牛12天能吃完甲草地上的草，相當(dāng)于每塊

上的草由10頭牛12天吃完.那么條件轉(zhuǎn)換為“10頭牛12天能吃完乙草地上的草，20頭牛4天

也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地長(zhǎng)草量為（10x12-20x4）+（12-4）=5,乙草地原有草

量為：（20-5）x4=6（:則甲、乙兩塊草地每天的新生長(zhǎng)草量為5x4=20,原有草量為：

60x4=240.要10天同時(shí)吃完兩塊草地上的草，需要240+10+20=44（頭）牛.

【鞏固】有一塊1200平方米的牧場(chǎng)，每天都有一些草在勻速生長(zhǎng)，這塊牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，

或可供15頭牛吃10天，另有一塊3600平方米的牧場(chǎng)，每平方米的草量及生長(zhǎng)量都與第一

塊牧場(chǎng)相同，問(wèn)這片牧場(chǎng)可供75頭牛吃多少天？

【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析

10頭牛20天10X20=200：原有草量+20天生長(zhǎng)的草量

15頭牛10天15X10=150:原有草量+10天生長(zhǎng)的草量

從上易發(fā)現(xiàn)：1200平方米牧場(chǎng)上20—10=10天生長(zhǎng)草量=200—150=50,

即1天生長(zhǎng)草量=50+10=5;

那么1200平方米牧場(chǎng)上原有草量：200—5義20=100或150—5X10=100。

則3600平方米的牧場(chǎng)1天生長(zhǎng)草量=5X（36004-1200）=15;

原有草量：100X（36004-1200）=300.

75頭牛里，若有15頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下60頭牛需要300?60=5（天）可將原有草吃

完，即它可供75頭牛吃5天。

【例9】一個(gè)農(nóng)夫有面積為2公頃、4公頃和6公頃的三塊牧場(chǎng).三塊牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)

得一樣快.農(nóng)夫?qū)?頭牛趕到2公頃的牧場(chǎng)，牛5天吃完了草；如果農(nóng)夫?qū)?頭牛趕到4公頃

的牧場(chǎng)，牛15天可吃完草.問(wèn)：若農(nóng)夫?qū)⑦@8頭牛趕到6公頃的牧場(chǎng)，這塊牧場(chǎng)可供這些牛吃

幾天？

【解析】（法1）設(shè)1頭牛1天吃草量為“1”，可以將不同的公頃數(shù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為單位量1公頃來(lái)解決.

把2公頃牧場(chǎng)分割成2塊，每塊1公頃，每塊可供4頭牛吃5天；

把4公頃牧場(chǎng)分割成4塊，每塊1公頃，每塊可供2頭牛吃15天.

那么1公頃牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為（2x15-4x，［15-5=,1公頃牧場(chǎng)原有草量為

（4-l）x5=H.那么6公頃牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為1x6=6,原有草量為15x6=90.

8頭牛里，若有6頭牛去吃每天新生長(zhǎng)的草，剩下2頭牛需要90+2=45（天）可將原有草吃完，即

它可供8頭牛吃45天.

（法2）題中3塊牧場(chǎng)面積不同，要解決這個(gè)問(wèn)題，可以將3塊牧場(chǎng)的面積統(tǒng)一起來(lái).

設(shè)1頭牛1天吃草量為“1”.將8頭牛趕到2公頃的牧場(chǎng)，牛5天吃完了草，相當(dāng)于12公頃的牧

場(chǎng)可供48頭牛吃5天；羽:8頭牛趕到4公頃的牧場(chǎng)，牛15天可吃完草，相當(dāng)于12公頃的牧場(chǎng)可

供24頭牛吃15天.所以12公頃的牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為：(24x15-48x5);(15—5)=12,12

公頃牧場(chǎng)原有草量為(48-12)x5=180.那么12公頃牧場(chǎng)可供16頭牛吃180+(16—12)=45(天)，

板塊三、“牛吃草問(wèn)題”的變形

【例10】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘

水，8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？

【解析】設(shè)1人1小時(shí)淘出的水量是“1”,淘水速度是(5x8-10*3)+(8—3)=2,原有水量(10—2)x3=24,

要求2小時(shí)淘完，要安排24+2+2=14人淘水

【鞏固】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；

6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？

【解析】設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，06-3=分鐘的進(jìn)水量為3x40—6x16=24,所以每分鐘的

進(jìn)水量為24+24=1,那么原有水量為：(3-1)x40=80.5人淘水需要80+(5-1)=20(分鐘)把

水淘完.

【例11】假設(shè)地球上新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，照此計(jì)算,地球上的資源可供110億人生活90年;

或供90億人生活210年。為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養(yǎng)活多少人？

【解析】(90x210—110*90)+(210—90)=75億人。

【例12】畫展8:30開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如

果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)45分就沒(méi)有人排隊(duì)。求第一

個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間。

【解析】設(shè)每分鐘1個(gè)入口進(jìn)入的人數(shù)為1個(gè)單位。8:30到9:00共30分鐘3個(gè)入口共進(jìn)入3x30=90。

8:30到8:45共15分鐘5個(gè)人口共進(jìn)入5x15=75,15分鐘到來(lái)的人數(shù)90-75=15,每分鐘到

來(lái)15+15=1。8：30以前原有人3x30-1x30=60。所以應(yīng)排了60+1=60(分鐘)，即第一個(gè)

來(lái)人在7：30

>畫展9點(diǎn)開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如果開(kāi)3

個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì).求第一個(gè)觀眾到

達(dá)的時(shí)間.

>如果把入場(chǎng)口看作為“?！?，開(kāi)門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來(lái)的觀眾為“草的增長(zhǎng)速度”,

那么本題就是一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題.

?設(shè)每一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘通過(guò)“1”份人，那么4分鐘來(lái)的人為3x9—5x5=2,即1分鐘來(lái)的

人為2+4=0.,原有的人為：(3-0.5)x9=226.這些人來(lái)到畫展，所用時(shí)間為

22.5+0.5=45(分).所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間為8點(diǎn)15分.

?點(diǎn)評(píng)：從表面上看這個(gè)問(wèn)題與“牛吃草”問(wèn)題相離很遠(yuǎn)，但仔細(xì)體會(huì)，題目中每分鐘來(lái)的觀

眾一樣多，類似于“草的生長(zhǎng)速度”，入場(chǎng)口的數(shù)量類似于“?！钡臄?shù)量，問(wèn)題就變成“牛

吃草”問(wèn)題了.解決一個(gè)問(wèn)題的方法往往能解決一類問(wèn)題，關(guān)鍵在于是否掌握了問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

>早晨6點(diǎn)，某火車進(jìn)口處已有945名旅客等候檢票進(jìn)站，此時(shí)，每分鐘還有若干人前來(lái)進(jìn)口處準(zhǔn)備進(jìn)

站.這樣，如果設(shè)立4個(gè)檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設(shè)立8個(gè)檢票口，7分鐘可以放完旅客.現(xiàn)

要求5分鐘放完，需設(shè)立幾個(gè)檢票口？

>設(shè)1個(gè)檢票口I分鐘放進(jìn)1個(gè)單位的旅客.

?1分鐘新來(lái)多少個(gè)單位的旅客

?（4x15-8*7）X15-7）」

2

?檢票口開(kāi)放時(shí)已有多少個(gè)單位的旅客在等候，

?4X15-1X15=52-

22

?5分時(shí)間內(nèi)檢票口共需放進(jìn)多少個(gè)單位的旅客

?521+1x5=55

22

?設(shè)立幾個(gè)檢票口

?55+5=11（個(gè)）

在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯.小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，

那么他走過(guò)20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面.從站臺(tái)

到地面有級(jí)臺(tái)階.

本題非常類似于“牛吃草問(wèn)題”，如將題目改為：

?“在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯.小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁

一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)15秒到達(dá)地

面.問(wèn)：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”

?采用牛吃草問(wèn)題的方法，電梯20-15=5秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：

2x15-1x20=10階，電梯的速度為10+5=2階/秒，扶梯長(zhǎng)度為20x（l+2）=60（階）。

兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯級(jí)，結(jié)

果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？

本題與牛吃草問(wèn)題類似，其中扶梯的梯級(jí)總數(shù)相當(dāng)于原有草量；而自動(dòng)扶梯運(yùn)行的速度則相當(dāng)于草的

增長(zhǎng)速度。并且上樓的速度要分成兩部分：一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。

?自動(dòng)扶梯的速度=（女孩每秒走的梯級(jí)X女孩走的時(shí)間一男孩每秒走的梯級(jí)X男孩走的時(shí)

間）4-（女孩走的時(shí)間一男孩走的時(shí)間）=（2x300-3x100）4-（300-100）=1.5,自動(dòng)扶梯的

梯級(jí)總數(shù)=女孩每秒走的梯級(jí)X女孩走的時(shí)間一自動(dòng)扶梯的速度X女孩走的時(shí)間

?=2x300-1.5x300-600-450=150（級(jí)）所以自動(dòng)扶梯共有150級(jí)的梯級(jí)。

自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒

向上走1梯級(jí)，女孩每3秒鐘走2梯級(jí)。結(jié)果男孩用50秒到達(dá)樓上，女孩用60秒到達(dá)樓上。該樓梯

共有多少級(jí)？

■該題屬于草勻速減少的情況，扶梯的運(yùn)行速度：（50x1-60+3x2）+（60-50）=1。自動(dòng)扶梯的梯

級(jí)總數(shù)：50x（1+1）=100（級(jí)）

小明從甲地步行去乙地，出發(fā)一段時(shí)間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時(shí)行15千米，3

小時(shí)可以追上；若騎摩托車，每小時(shí)行35千米，1小時(shí)可以追上；若開(kāi)汽車，每小時(shí)行45千米，_

分鐘能追上。

本題是“牛吃草”和行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題的結(jié)合.小明在3-1=2小時(shí)內(nèi)走了15*3-35x1=10千米，

那么小明的速度為10+2=5（千米/時(shí)），追及距離為（15-5）x3=30（千米）.汽車去追的話需要：

304-（45-5）=-（小時(shí)）=45（分鐘）.

快、中、慢三車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路開(kāi)往3地，途中有騎車人也在同方向行進(jìn)，這三輛車分別

用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人.已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的

速度是多少？

可以將騎車人與三輛車開(kāi)始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長(zhǎng)的速度，所以騎車人

速度是：（600x14-800*7）+（14—7）=400（米/分），開(kāi)始相差的路程為：（600-400）x14=2800（米），

所以中速車速度為：2800+8+400=750（米/分）.

有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍追趕乙車，5小時(shí)后甲車追上乙車；如果

甲車以現(xiàn)在速度的3倍追趕乙車，3小時(shí)后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，

問(wèn)：幾個(gè)小時(shí)后甲車追上乙車？

分析知道甲車相當(dāng)于“?！?，甲追趕乙的追及路程相當(dāng)于“原有草量”，乙車相當(dāng)于“新生長(zhǎng)的草

?設(shè)甲車的速度為“1”，那么乙車5—3=2小時(shí)走的路程為2x5—3x3=l,所以乙的速度為

14-2=0.5,追及路程為：（2-0.5）x5=7.5.

?如果甲以現(xiàn)在的速度追趕乙，追上的時(shí)間為：7.5+（1-0.5）=15（小時(shí)）.

甲、乙、丙三車同時(shí)從A地出發(fā)到8地去.甲、乙兩車的速度分別是每小時(shí)60千米和每小時(shí)48千米.有

一輛卡車同時(shí)從B地迎面開(kāi)來(lái)，分別在它們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙車相遇,

求丙車的速度.

相遇問(wèn)題可以看成是草勻速減少的過(guò)程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。

所以卡車速度為：（60x6-48x7）+（7-6）=24（千米/時(shí)），全程：（60+24）x6=504（千米），丙車

速度為：504+8-24=39（千米/時(shí)）

小新、正南、妮妮三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到公園去.小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分

鐘16米.在他們出發(fā)的同時(shí)，風(fēng)間從公園迎面走來(lái)，分別在他們出發(fā)后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后

與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度.

■當(dāng)小新和風(fēng)間相遇時(shí)，正南落后小新6x（20-16）=24（米），依題意知正南和風(fēng)間走這24米需要

7-6=1（分鐘），正南和風(fēng)間的速度和為：24+1=24（米/分），風(fēng)間的速度為：24-16=8（米/

分），學(xué)校到公園的距離為：24x7=168（米）.所以妮妮的速度為：168+8-8=13（米/分）.

一個(gè)裝滿了水的水池有一個(gè)進(jìn)水閥及三個(gè)口徑相同的排水閥，如果同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水閥及一個(gè)排水閥，則

30分鐘能把水池的水排完，如果同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水閥及兩個(gè)排水閥，則10分鐘把水池的水排完.問(wèn)：關(guān)

閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開(kāi)三個(gè)排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？

設(shè)一個(gè)排水閥1分鐘排水量為"1"，那么進(jìn)水閥1分鐘進(jìn)水量為（1x30-2x10）+（30-10）=0.5,水池

原有水量為（1-0.5）x30=15.關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開(kāi)三個(gè)排水閥，需要15+3=5（分鐘）才能排完

水池的水.

一個(gè)蓄水池有1個(gè)進(jìn)水口和15個(gè)出水口，水從進(jìn)水口勻速流入.當(dāng)池中有一半的水時(shí)，如果打開(kāi)9

個(gè)出水口，9小時(shí)可以把水排空.如果打開(kāi)7個(gè)出水口，18小時(shí)可以把水排空.如果是一滿池水，打

開(kāi)全部出水口放水，那么經(jīng)過(guò)時(shí)分水池剛好被排空.

本題是牛吃草問(wèn)題的變形.

?設(shè)每個(gè)出水口每小時(shí)的出水量為1,則進(jìn)水口每小時(shí)的進(jìn)水量為：（7X18-9X9）4-（18-9）=5,

半池水的量為：（9一5）*9=36,所以一池水的量為72.

?如果打開(kāi)全部15個(gè)出水口，排空水池所需要的時(shí)間為72+（15-5）=72小時(shí)，即7小時(shí)12

分鐘.

北京密云水庫(kù)建有10個(gè)泄洪洞，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全線，并且水量還在以一個(gè)不變的速度

增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘，

30個(gè)小時(shí)以后水位降至安全線；若同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)泄洪閘，10個(gè)小時(shí)后水位降至安全線.根據(jù)抗洪形

勢(shì)，需要用2個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，則至少需要同時(shí)打開(kāi)泄洪閘的數(shù)目為多少個(gè)？

>此題是牛吃草問(wèn)題的變形，假設(shè)每個(gè)泄洪洞每小時(shí)泄洪的量為1,則水庫(kù)每小時(shí)增加的水量為

(1x30-2x10)4-(30-10)=0.5,原有的水量超過(guò)安全線的部分有(1-0.5)x30=15.

如果要用2個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，至少需要開(kāi)15+2+0.5=8個(gè)泄洪閘.

【鞏固】(“希望杯”五年級(jí)二試)有一個(gè)蓄水池裝了9根相同的水管，其中一根是進(jìn)水管，其余8根是

出水管.開(kāi)始時(shí)，進(jìn)水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水.后來(lái)，想打開(kāi)出水管，使池內(nèi)的

水全部排光.如果同時(shí)打開(kāi)8根出水管，貝U3小時(shí)可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開(kāi)5根出水管，則

需6小時(shí)才能排盡池內(nèi)的水.若要在4.5小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開(kāi)多少根出水

管？

【解析】設(shè)1根出水管1小時(shí)排水的量為“1”，那么進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)水量為(5x6-8x3)+(6-3)=2,池

內(nèi)原有水量為(8—2)x3=18.要在4.5小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開(kāi)18+4.5+2=6根出水管.

【鞏固】一個(gè)蓄水池裝有9根水管，其中1根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管。開(kāi)始進(jìn)水管以均勻

的速度不停地向這個(gè)蓄水池蓄水。池內(nèi)注入了一些水后，有人想把出水管也打開(kāi)，使池內(nèi)的水

再全部排光。如果把8根出水管全部打開(kāi)，需要3小時(shí)可將池內(nèi)的水排光；而若僅打開(kāi)3根出

水管，則需要