導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)教案1（共7份） 人教課標(biāo)版

函數(shù)的零點

【題型一】函數(shù)的零點個數(shù)

【解題技巧】用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的零點個數(shù)，常通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，描繪出函

數(shù)的圖象，再借助圖象加以判斷。

【例】已知函數(shù)—3<2￥—1,4。0

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(0)若/(x)在％=-1處取得極值，直線與y=/(x)的圖象有三個不同的交點，求的取值

范圍。

變式：已知定義在上的奇函數(shù)/(X),滿足/(X—4)=—/(%),且在區(qū)間門上是增函數(shù)，

若方程于(x)=0：在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根石,々，毛，及，則

+12+%3+%4=-

【答案】

【解析】因為定義在上的奇函數(shù)，滿足/(X—4)=—/(x),所以/(x—4)=/(—%),所以,

山/(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱且/(0)=0,山/(x—4)=—/(x)知

/(%-8)=/(%),所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，又因為/(x)在區(qū)間口上是增函數(shù)，

所以了(%)在區(qū)間口上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程()(>)在區(qū)間［-8,8］上有四個不

同的根%”％2,工3,工，不妨設(shè)不<%2<&<：，由對稱性知%+%2=—12，

電+%4=4所以％］+z+Xj+z=—12+4=—8

【題型二】復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)

復(fù)合函數(shù)是由內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)復(fù)合而成的，在處理其零點個數(shù)問題時，應(yīng)分清內(nèi)層

和外層函數(shù)與零點的關(guān)系。

【解題技巧】函數(shù)〃(x)=/(/(x))-C的零點個數(shù)的判斷方法可借助換元法解方程的思想

分兩步進(jìn)行。即令/(x)=4,則/z(x)=/(d)—c

第一步：先判斷/(d)=c的零點個數(shù)情況

第二步：再判斷/(x)=d的零點個數(shù)情況

【例】已知函數(shù)/(x)=V-3x設(shè)〃(x)=/(/(x))-c,其中cw[-2,2],求函數(shù)y=〃(x)的

零點個數(shù)

.(江蘇省連云港市屆高三上學(xué)期摸底考試(數(shù)學(xué))已知函數(shù)/(x)=d—3依2—9/x(a。0).

若方程f(x)=121nx-6ar-9/—q在口恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍(注

七):

【題型三】如何運用導(dǎo)數(shù)求證函數(shù)“存在、有且只有一個“零點

【解題技巧】()要求證一個函數(shù)存在零點，只須要用“函數(shù)零點的存在性定理”即可證明。

即：

如果函數(shù)/(x)在區(qū)間[。，同上是一條連續(xù)不斷曲線，并且/(。)"(。)<0,則函數(shù)

/(X)在區(qū)間(a，b)上至少有一個零點。即存在一點/w(ah)，使得/(毛)=0,

這個/也就是方程/(x)=0的根..

()要求證一個函數(shù)“有且只有一個"零點，先要證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，即存在零點；再用

“函數(shù)零點的存在性定理”求證函數(shù)零點的唯一性。其依據(jù)為：

如果函數(shù)/(x)在區(qū)間[a，々上是單調(diào)函數(shù)，并且/(a>/S)<0,則函數(shù)/(x)在區(qū)間

(a,匕)上至多有一個零點。

a9，

【例】設(shè)函數(shù)f(x)=x3--x2+6x-a.

()對于任意實數(shù)x,7'(x)N加恒成立，求機的最大值；

()若方程/(x)=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍.

變式:設(shè)函數(shù)/(%)=ln%,g{x}=—,網(wǎng)幻=/00+以幻.若方程八幻二如

x

在區(qū)間［1,e?］上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)利的取值范圍；

解析：方程/(%)=出％在區(qū)間［1,e?］上有唯一實數(shù)解等價于

Inx,2i

方程加=——在區(qū)間r［1,e［上有唯一實數(shù)解。

X

，/、Inx,2、〃/、1-lnx,,、八

記//(%)=----xe［rl,e'］,則〃(%)=--------,令&(zx)=0,得：x=e,

xx

當(dāng)了e［l,e］時，”(％)>0,"(%)遞增；

,1

當(dāng)％w［e,e］時,h\x)<01/z(x)遞減。所以用(％*仇="(e)=—。

e

、2

易求得：力(1)=0,h{e)=—o

e

Inx2i

為使方程加=——在區(qū)間r［i1,上有唯一實數(shù)解，

x

，/、Inx

則直線y="1與函數(shù)y=/z(x)=---的圖象有唯一交點，

x

12

根據(jù)/?(%)的圖象可知：m=-或04/72<—7。

「八2、fl]

故的取值范圍是0,—《一上

【例】已知函數(shù)/(x)="—蛆在(-1,+00)上沒有零點，求機的取值范圍;

【題型四】如何運用導(dǎo)數(shù)來判斷與求證含參函數(shù)的零點

【例】(?江蘇卷)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ax,g{x)-ex-ax,其中a為實數(shù).若g(x)在

(-1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，試求/(幻的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

基礎(chǔ)練習(xí)：

.己知/(x)=e*-alnx-a,其中常數(shù)a>0.

O當(dāng)a=e時，求函數(shù)/(x)的極值；

.己知函數(shù)()=(-)一++,G.當(dāng)〉時，若曲線=()在點(,)處的切線與曲線=

O有且只有一個公共點，求實數(shù)的值.

.己知函數(shù)/(無)=x—l+e(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若直線/:y=fcc—1與曲線

y=/(x)沒有公共點，求女的最大值.

.已知函數(shù)()J其中〉.若函數(shù)()在區(qū)間()內(nèi)恰有兩個零點，求的取值范圍；

.設(shè)”>1,函數(shù)/(外=(1+/)/—。.

()求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

()證明：/(x)在(-00,+0。)上僅有一個零點；

參考答案與解析

【例】解析：()f(x)=3x2-3a-3(x2—a),

當(dāng)a<()時，對xeR,有f(x)>0,

當(dāng)a<()時，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,+8)

當(dāng)。>()時，由/''(X)>0解得x<或x>；

由了‘(X)<0解得—<x<\[a,

當(dāng)。>0時，/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(—8,—6),(丁￡,+8)；/(幻的單調(diào)減區(qū)間為

(-s1~Clo

()因為/(外在X=-l處取得極大值，

所以尸(_1)=3X(-1)2-3a=0,a=1.

所以/Xx)=x3-3x-l,f(x)=3x2-3,

由f(x)=0解得玉=-1,/=1。

由()中/(幻的單調(diào)性可知，/(x)在x=-l處取得極大值/(-1)=1,

在x=1處取得極小值/(I)=-3o

因為直線曠=加與函數(shù)丫=/(x)的圖象有三個不同的交點，又/(-3)=-19<一3,

/(3)=17>1,

結(jié)合/(幻的單調(diào)性可知，加的取值范圍是(-3,1)。

【例】令/(x)=x3-3x=d,則：

Kx)=f(f(x))-c=f(d)-c

()先討論關(guān)于”的方程/(d)=c即/—33=。根的情況：ce[-2,2]

(3)=3/—3=3(4-1)(J+1)

在區(qū)間(f,—1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(—1,1)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+0。)單調(diào)遞增。

/3)極小值=/⑴=-2/3)極大值=/(-1)=2

描繪出函數(shù)的草圖，并據(jù)草圖可得：方程f(d)=c根的情況如下表所示：

的取值范圍根的個數(shù)根或根的范圍

C--2個根"=一2或"=1

—2vcv2個根d］、d］、d2

c=2個根d=-1或d=2

()下面考慮方程/(x)="即x3-3x=d根的情況^/

據(jù)上述表格及圖形/(x)=d和/3)=(/淑勺情況亦表

\

f(d)=c：/-1

曲范圍hl/虛圍),=。/。)=4根的個數(shù)

根的個W

f2

c=-2個根4、d24=1個根個根

d2=-2個根

-2v4V2個根

個根

—2vcv2—2<d，2v2個根個根

4、4、4

-2v4<2個根

4=—1個根

c=2個根4、4個根

4=2個根

綜上所述：

當(dāng)問=2時，函數(shù)y=/i(x)有個零點；

當(dāng)同v2時，函數(shù)y=〃(x)有個零點。

【例】解：()/(x)=3f-9x+6=3(x-l)(x-2),

因為xw(-oo,+oo),/(x)N"z,即3f-9x+(6-m)20恒成立，

33

所以△=81—12(6—加)<0,得加<一一,即6的最大值為一一

44

()因為當(dāng)工<1時，f'(x)>0;當(dāng)1c<2時,/(幻〈0；當(dāng)%>2時，/(%)>0；

所以當(dāng)X=1時,/*)取極大值/(1)=|-?;

當(dāng)x=2時,/(x)取極小值/(2)=2-a；

故當(dāng)/(2)>(或/⑴<0時，方程/0)=0僅有一個實根.解得。<2或

5

a>—.

2

【例】方法一：當(dāng)〃=0,可得〃'(x)=(e*—/nr)'=e'—m,因為x>-l,所以e"〉］，

e

①當(dāng)加V1時，〃'直)="—加>0,函數(shù)/z(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，而〃(0)=1,

e

所以只需〃(—1)=1+加20,解得加從而—

eeee

②當(dāng)相>一時，由〃(x)="-相=0,Wf#x=lnmG(-l,+oo),

當(dāng)xe(-l,ln/n)時,/z\x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；當(dāng)％e(ln九+oo)時,hr(x)>0,%(x)單

調(diào)遞增.

所以函數(shù)/z（光）在（一1,+8）上有最小值為〃（ln〃z）=加一〃21n根,

令加一mln6>（）,解得利vs,所以

e

綜上所述，me]—,e）.

e

方法二：當(dāng)〃=0,ex-iwc

①當(dāng)x=0時，顯然不成立；

“Xpxx-exex（x-W

②當(dāng)X>—1且xwon寸，〃1=一，令丁=一，則了=—彳—=I」，當(dāng)一1VXV0

xxx~x

時，y<0,函數(shù)y=J單調(diào)遞減，0<x<l時，y<0,函數(shù)y=《單調(diào)遞減，當(dāng)X>1

XX

X11

時，y>0,函數(shù)y=一單調(diào)遞增，又y|小一一，y|=e,由題意知相￡[一一⑼.

xege

【例】/（x）=e"在（一L+°o）上恒成立，則4W,故：a<.

/（X）=L-"上竺（x>0）.

XX

（i）若令ra）>得增區(qū)間為（，）；

令/'（X）〈得減區(qū)間為（，+8）.

當(dāng)一時，（）—--°°；當(dāng)f+8時，（）--OO.

當(dāng)=0寸，（）=-一>，當(dāng)且僅當(dāng)。=時取等號.

故：當(dāng)。=時，（）有個零點；當(dāng)時，（）有個零點.

（ii）若=,則（）=-,易得（）有個零點.

（iii）若<,則/''（x）=L—。>（）在（0,+8）上恒成立，

X

即：/（無）=1!1元一。工在（0,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，

當(dāng)一時，（）一-8；當(dāng)f+8時，（）一+8.

此時，O有個零點.

綜上所述：當(dāng)。=或<時，（）有個零點；當(dāng)VqV時，（）有個零點.

練習(xí)、【答案】（）/（X）有極小值，沒有極大值

【解析】函數(shù)/(X)的定義域為(0,+00),

()當(dāng)a=e時，f(x)-ex—elnx—e,f'(x)=e',

x

而/'(x)=e*-￡在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/XI)=0,

x

當(dāng)0＜x＜l時，r(x)＜/'(l)=0,則/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞l時，f'(x)＞/(1＞I,則/(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，所以/(x)有極小值

/(1)=G沒有極大值.

、【解析】由'()=一一+,得'()=一，

所以曲線=()在點(,)處的切線的方程為=—+.

由題意得，關(guān)于的方程()=一+有且只有一個解，

即關(guān)于的方程(一)一++=有且只有一個解.

令()=(-)-++(＞).

則'()=(-)—+==(＞).

①當(dāng)VV時，由，()＞得＜＜或＞，由，()＜得＜v,

所以函數(shù)()在(，)為增函數(shù)，在(，)上為減函數(shù)，在(,+8)上為增函數(shù).

又()=,且當(dāng)f8時，()f8,此時曲線=()與軸有兩個交點.

故＜＜不合題意.

②當(dāng)二時，，()》，()在(,+8)上為增函數(shù)，且()=,故=符合題意.

③當(dāng)〉時，由，()＞得＜＜或＞，由，()＜得＜＜,

所以函數(shù)()在(，)為增函數(shù)，在(，)上為減函數(shù)，在(，+°°)上為增函數(shù).

又()=,且當(dāng)一時，()-8,此時曲線=()與軸有兩個交點.

故》不合題意.

綜上，實數(shù)的值為=.

、【答案】解：當(dāng)。=1時,/(x)=x—l+5

令g(x)=/(x)-(依-l)=(l-%)x+5，

則直線/：y=點―1與曲線y=/(X)沒有公共點，

等價于方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解.

1=-1+^—<0,

假設(shè)/>1,此時g(O)=l>O,g

1^1

ek~'

又函數(shù)g(x)的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理，可知g(x)=O在R上至少有一解，與“方程

g(x)=0在R上沒有實數(shù)解”矛盾，故k<\.

又％=1時,g(x)=">0，知方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解.

所以攵的最大值為L

解法二：

(I)(n)同解法一.

(III)當(dāng)”=1時,/(x)=x-l+C.

直線/：y=fcc-1與曲線y=/(x)沒有公共點，

等價于關(guān)于x的方程依-1=x-1+-5-在R上沒有實數(shù)解，即關(guān)于x的方程:

e

(Z:-l)x=^-(*)

e

在R上沒有實數(shù)解.

①當(dāng)左=1時，方程(*)可化為工=0,在R上沒有實數(shù)解.