第二十四章-章末復(fù)習(xí)與小結(jié)

章末復(fù)習(xí)與小結(jié)第二十四章圓專題選講知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重難突破課后習(xí)題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圓圓有關(guān)的性質(zhì)圓的對稱性弧、弦、圓心角之間的關(guān)系同弧上的圓周角和圓心角的關(guān)系點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系三角形的外接圓切線三角形的內(nèi)接圓正多邊形和圓等分圓周弧長和扇形面積弧長扇形面積圓錐的側(cè)面積和全面積方法專題10

與圓的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算P80方法專題11切線證明的常用方法P88本章專題索引專題選講方法專題12

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明P89方法專題13求陰影部分的面積P96專題選講——

與圓的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算類型一求角度例如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠AOC=140°，則∠B的度數(shù)是（）A.70°B.80°C.110°D.140°C專題選講——

與圓的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算類型一求角度練一練：如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O的直徑BE上，連接AE，若∠E=36°，則∠ADC的度數(shù)是（）A.44°B.54°C.72°D.53°B專題選講——

與圓的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算類型二求長度例如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，則弦BC的長為（）A.4B.C.D.D專題選講——

與圓的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算類型二求長度練一練：如圖，在⊙O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于點(diǎn)D，連接BE，若AB=，CD=1，則BE的長是（）A.5B.6C.7D.8B專題選講——

切線證明的常用方法切線證明的常用方法有切點(diǎn)，連半徑，證垂直無切點(diǎn)，作垂直，證半徑類型一利用角度轉(zhuǎn)換證垂直類型二利用勾股定理的逆定理證垂直類型三利用全等證垂直類型四利用垂徑定理的推論證垂直專題選講——

切線證明的常用方法類型一利用角度轉(zhuǎn)換證垂直例如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC.求證：DE與⊙O相切.證明：連接OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°.∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A.∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴DE與⊙O相切.∴OD⊥DE，專題選講——

切線證明的常用方法類型一利用角度轉(zhuǎn)換證垂直專題選講——

切線證明的常用方法類型二利用勾股定理的逆定理證垂直例如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=.求證：BC是⊙O的切線.∴BC是⊙O的切線.專題選講——

切線證明的常用方法類型二利用勾股定理的逆定理證垂直證明：∵M(jìn)E=1，AM=2，AE=，∴ME2+AE2=AM2，∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°.又∵M(jìn)N∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半徑，專題選講——

切線證明的常用方法類型三利用全等證垂直例如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC，弦AD∥OC.求證：CD是⊙O的切線.專題選講——

切線證明的常用方法類型三利用全等證垂直∴CD⊥OD，證明：連接OD.∵AD∥OC，∴∠COB=∠A,∠DOC=∠ODA.∵AO=DO,∴∠A=∠ADO，∴∠DOC=∠BOC.在△CDO與△CBO中，∴△CDO≌△CBO,∴∠CDO=∠CBO=90°，∴CD是⊙O的切線.OD=OB，∠DOC=∠BOC，OC=OC，專題選講——

切線證明的常用方法類型四利用垂徑定理的推論證垂直例如圖，AB是⊙O的直徑，CD經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)D，且CD⊥AC于點(diǎn)C，ED=DB.求證：CD是⊙O的切線.））專題選講——

切線證明的常用方法類型四利用垂徑定理的推論證垂直∴CD是⊙O的切線.證明：連接OD，OE，BE，OD與BE交于點(diǎn)H.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°.∵ED=DB，））∴∠EOD=∠BOD.又∵OE=OB，∴OD⊥BE.∵AC⊥CD,∴四邊形ECDH是矩形，∴OD⊥CD，H專題選講——

切線證明的常用方法類型五無切點(diǎn)，作垂直，證半徑例如圖，在△ABC中，∠ABC=90°.（1）作∠ACB的平分線交AB邊于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.專題選講——

切線證明的常用方法類型五無切點(diǎn)，作垂直，證半徑即d=r,解：（1）如圖所示.（2）AC與⊙O相切.理由如下：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D.∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，∴AC與⊙O相切.O專題選講——

切線證明的常用方法

證明切線的兩種方法：（1）“有點(diǎn)連半徑證垂直”，證明垂直時(shí)可利用垂直證垂直，利用勾股定理的逆定理證垂直等；（2）“無點(diǎn)作垂直，證半徑”，往往題目中有角平分線背景，或等腰三角形三線合一背景，過點(diǎn)O作已知直線的垂線段，再利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證明d=r.方法指導(dǎo)專題選講——

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明類型一利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算例如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BE的延長線于點(diǎn)C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O的半徑.專題選講——

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明類型一利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.解：（1）連接OA.∵AC是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°.∵AE=AE,∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，））專題選講——

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明類型一利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算∴⊙O的半徑為2.解：（2）∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，設(shè)⊙O的半徑為r.∵CE=2，解得r=2，）∵AE=AE，）∴OA=OC.21∴r=（r+2），21專題選講——

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明類型二利用切線的性質(zhì)進(jìn)行證明例如圖，CA，CD是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，D，AB是⊙O的直徑，AB=AC，過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E.（1）求證：AE=CF；（2）若AB=2，求AE的長.專題選講——

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明類型二利用切線的性質(zhì)進(jìn)行證明∴△ABE≌△CAF，證明：（1）連接BE，則∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°.∵AC是⊙O的切線，∴∠CAB=90°，即∠CAF+∠FAB=90°，∴∠CAF=∠EBA.∵AF⊥CD，∴∠CFA=90°=∠AEB.在△ABE和△CAF中，∴AE=CF.∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠FAC，AB=CA，即x2+(4-2x)2=22，專題選講——

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明類型二利用切線的性質(zhì)進(jìn)行證明解：（2）連接OD，交BE于點(diǎn)G.由（1）可知△ABE≌△CAF，∴BE=AF.∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD.又∵AF⊥CD，∴AE∥OD，∴OD⊥BE，∴DF=EG，EG=BG，∴BE=2DF.∵CA，CD是⊙O的切線，AB=AC，AB=2，設(shè)AE=CF=x.∴CD=CA=AB=2，∴DF=2-x，∴BE=4-2x.在△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴x1=,x2=2（舍去），∴AE=.5

65

6G專題選講——

求陰影部分的面積類型一直接利用規(guī)則圖形的和差求面積例如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，圖中陰影部分的面積是__________________.（結(jié)果保留π）6-π專題選講——

求陰影部分的面積類型一直接利用規(guī)則圖形的和差求面積練一練：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，將△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，此時(shí)點(diǎn)A′恰好在CB的延長線上，則圖中陰影部分的面積為_________.（結(jié)果保留π）4π專題選講——

求陰影部分的面積類型二割補(bǔ)法例如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則以格點(diǎn)為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為（）A.4π-2B.2π-2C.4π-4D.2π-4D練一練：如圖，在半徑為2，圓心角為90°的扇形內(nèi)，以BC為直徑作半圓，交弦AB于點(diǎn)D，則陰影部分的面積為（）A.π-1B.2π-1C.2π-2D.π-2專題選講——

求陰影部分的面積類型二割補(bǔ)法A專題選講——

求陰影部分的面積類型三等積法例1

如圖，在半徑為4的⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，∠AOB=90°，則陰影部分的面積是（）A.4π-4B.2π-4C.4πD.2πD專題選講——

求陰影部分的面積類型三等積法例2

如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓O的三等分點(diǎn)，若弦CD=2，則圖中陰影部分的面積為____________.π32專題選講——

求陰影部分的面積類型四折疊問題中求面積例如圖，半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式折疊，使對折后半圓弧的中點(diǎn)M與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是_________.（注：若直角三角形的斜邊長是短直角邊長的2倍，則短直角邊所對的角為30°）

求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時(shí)，通過對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件.方法指導(dǎo)專題選講——

求陰影部分的面積重難突破垂徑定理及其推論1例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長為（）A.B.C.D.C重難突破垂徑定理及其推論1【變式訓(xùn)練】如圖，在⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，則BC的長為_________.20重難突破圓心角與圓周角2例2

如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是AC上的點(diǎn)，若∠BOC=40°，則∠D的度數(shù)為（）A.100°B.110°C.120°D.130°B重難突破圓心角與圓周角2【變式訓(xùn)練】如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE，DE，DF.（1）求證：∠E=∠C；（2）若∠E=58°，求∠BDF的度數(shù).重難突破圓心角與圓周角2證明：（1）連接AD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C.又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C.∴∠BDF=∠C+∠CFD=116°.解：（2）∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AFD=180°-∠E.又∵∠CFD=180°-∠AFD，∴∠CFD=∠E=58°.又∵∠C=∠E=58°，重難突破圓