《直線和圓的位置關系（2）》名師教案

1/124.2.2直線和圓的位置關系（第二課時）切線的性質與判定（盧念）一．教學目標（一）學習目標1.理解掌握切線的判定定理和性質定理．2．判定一條直線是否為圓的切線；會過圓上一點畫圓的切線．3．會運用圓的切線的性質與判定來解決相關問題．（二）學習重點切線的判定定理和性質定理及其運用它們解決一些具體的題目．（三）學習難點切線的判定和性質及其運用．二、教學設計（一）課前設計1.預習任務(1）切線判斷定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(2）切線的判定方法：①定義：直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相切，直線叫做圓的切線．②數(shù)量關系：⊙O的半徑與圓心O到直線l的距離相等時，直線l和圓O相切．③切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(3）切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．2.預習自測（1）下列說法正確的是（）A．與圓有公共點的直線是圓的切線B．和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線D．過圓的半徑的外端的直線是圓的切線【知識點】切線的判定定理與性質定理【思路點撥】熟練掌握切線的判定定理與性質【解題過程】因為與圓有且僅有一個公共點的直線是圓的切線，所以A選項錯誤；當圓心到直線l的距離等于圓半徑時，直線和圓相切，所以B選項正確垂直于圓的半徑且經(jīng)過半徑外端點的直線是圓的切線，兩個條件缺一不可，C選項中只滿足垂直于半徑這一個條件，所以C選項錯誤．D選項中只滿足了過半徑的外端這一個條件，但在位置關系上未滿足直線和半徑垂直，所以D選項錯誤．【答案】B（2）如圖，AT切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑．若∠ABT=40°，則∠ATB=．【知識點】切線的性質、直角三角形性質【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】解：∵AT切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°.【答案】50°【思路點撥】根據(jù)切線性質得∠ATB=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解．（3）如圖，PA為⊙O切線，A為切點，PO交⊙O于點B，OA=3，OP=6，則∠OPA度數(shù)為_____度．【知識點】切線的性質，直角三角形的性質【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】根據(jù)切線的性質得OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=3，OP=6，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解．【解題過程】解：∵PA為⊙O的切線，A為切點，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；∵在Rt△OAP中，OA=3，OP=6∴∠OPA=30°【答案】30°（4）如圖，半徑為3的⊙O與直線AC相切于點B，BC=cm，則OC=．【知識點】切線性質、勾股定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】根據(jù)切線性質，連接OB得RtΔOBC，再根據(jù)勾股定理求OC長度．【解題過程】解：連接OB∵⊙O與直線AC相切于點B，∴∠CBO=90°，OB=3在△CBO中，∠CBO=90°,OB=3,BC=∴OC=【答案】2（二）課堂設計1.知識回顧直線與圓三種位置關系的判定和性質：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d1）直線l和圓O相離d>r2）直線l和圓O相切d＝r3）直線l和圓O相交d<r【數(shù)學思想】數(shù)形結合【設計意圖】①通過簡單作圖回顧直線與圓的三種位置關系：②從公共點個數(shù)判斷，得出切線概念；③從數(shù)量關系上體會圓的切線的判別方法：當圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切．2.問題探究探究一：切線的判定定理★▲●活動大膽操作，探究新知如何過⊙O上一點A作圓的切線？（請學生上黑板按要求尺規(guī)作圖）老師問：在⊙O中，經(jīng)過半徑OA外端點A作直線l⊥OA,則圓心O到直線l的距離與圓半徑什么關系？學生答：相等.老師問：直線與⊙O是什么位置關系？學生答：相切.【設計意圖】利用作圖讓學生體會切線的判定定理中①經(jīng)過半徑的外端，②垂直于半徑這兩個條件缺一不可；加深對判定的理解，為過渡到學習圓的切線性質做鋪墊．知識點歸納：1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．注意：經(jīng)過半徑外端點、垂直于半徑這兩個條件缺一不可．2.切線的判定方法：①定義：直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相切，直線叫做圓的切線．②數(shù)量關系：⊙O半徑r等于圓心O到直線l的距離為d時，直線l和圓O相切．③切線判定定理：經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．探究二：推理論證切線的性質定理★▲●活動集思廣益，證明新知老師問：如圖：在⊙O中，若作直線l是⊙O的切線，切點為A,那么直線l與半徑OA是不是一定垂直？例：已知：OA是⊙O半徑,直線l是⊙O的切線，求證：OA⊥直線l證明：（反證法）假設OA⊥直線l不成立，過點O作OP⊥直線l于點P∴OA為Rt△OPA的斜邊．又∵OP⊥l于P,∴OP的長就是圓心O到切線l的距離，∴OP的長等于⊙O的半徑，即OA=OP,這與“直角三角形的斜邊大于直角邊”矛盾．所以假設OA與l不垂直不成立．【設計意圖】用反證法證明切線的性質定理，從命題的題設與結論出發(fā)加深對切線性質定理的理解．知識點歸納切線性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．探究三：切線的判定定理和性質定理的應用★▲●活動①基礎性例題例1.下列命題中，假命題是（）A．經(jīng)過半徑的端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線B．經(jīng)過直徑的端點且垂直于這條直徑的直線是圓的切線C．經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點D．經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心【知識點】切線的判定定理與性質定理【思路點撥】熟練掌握切線的判定定理與性質【解題過程】根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．故A選項是假命題．【答案】A練習題：下列說法正確的是（）A.經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線B.若射線與圓有一個交點，則射線是圓的切線C.垂直于半徑的直線是圓的切線D.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑【知識點】切線的判定定理與性質定理【思路點撥】熟練掌握切線的判定定理與性質【解題過程】根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．故A選項是錯誤的；射線與圓有一個交點但不一定垂直于過該點的半徑，所以B選項錯誤．垂直于半徑且經(jīng)過半徑外端點的直線是圓的切線，故C選項錯誤．【答案】D【設計意圖】考察對切線判定定理和性質定理的理解、記憶．●活動②提升型例題例2.AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C；連接BC，若∠P=40°，則∠B等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°【知識點】切線的性質、直角三角形性質、等腰三角形性質、三角形外角定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】由切線的性質得：切線垂直于過切點的半徑∠PAB=90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算∠POA=50°，最后利用同圓的半徑相等得等腰三角形進行計算．【解題過程】解：∵PA切⊙O于點A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°-40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，選B．【答案】B練習：如圖，△ABC的邊AC經(jīng)過圓心O，且與⊙O相交于C，D兩點，邊AB與⊙O相切，切點為B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28° B．33° C．34° D．56°【知識點】切線的性質、等腰三角形，直角三角形性質【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】運用切線的性質來進行計算或論證，常用輔助線：連接圓心和切點，得直角三角形，再根據(jù)直角相關性質求解．【解題過程】解：如圖，連結OB，∵AB與⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣34°=56°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，∴∠C+∠OBC=56°，而OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠C=×56°=28°．故選A．【答案】A【設計意圖】運用切線的性質來進行計算或論證●活動③探究型例題例3.如圖：已知△ABC中，AB=AC，O是底邊BC的中點，AB與⊙O相切于點D，猜測AC與⊙O有怎樣的位置關系？【知識點】切線的判定定理，切線的性質定理，等腰三角形性質，角平分線性質【思路點撥】切線判定方法的常規(guī)輔助線：未知切點，作垂線段，證垂線段與半徑相等．【解題過程】解：AC是⊙O的切線，理由如下：證明：如圖過點O作OE⊥AC于點E，連結OD，OA∵AB與⊙O相切于點D，∴AB⊥OD，∵AB=AC，O是底邊BC的中點，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE=OD，OE是⊙O的半徑，∵AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端點且垂直于OE，∴AC是⊙O的切線．練習：已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA＝CB．求證：直線AB是⊙O的切線．【知識點】切線的性質、等腰三角形性質【思路點撥】已知切點，連半徑，運用等腰三角形性質證垂直．【解題過程】解：連接OC∵OA=OB，CA＝CB∴OC⊥AB∵直線AB經(jīng)過⊙O上的點C∴直線AB是⊙O的切線【設計意圖】通過兩道證明題，掌握圓的切線證明方法中兩種典型的輔助線做法．①切點未知，作垂線段，證垂線段與半徑等；②切點已知，連半徑，證垂直.3.課堂總結知識梳理：（1）切線的判定定理:經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）切線的判定方法：（歸納總結）①定義：直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相切，直線叫做圓的切線．②切線判斷定理：經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．③數(shù)量關系：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若d＝r，則直線l和圓O相切．（3）切線性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．重難點歸納總結：（1）已知切線時常常把切點與圓心相連，利用切線性質解題．（2）切線的判定常規(guī)輔助線：切點未知，作垂線段，證垂線段與半徑等；切點已知，連半徑，證垂直.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．如圖，⊙O的半徑為3，P是CB延長線上一點，PO=5，PA切⊙O于A點，則PA=．【知識點】切線的性質.勾股定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】先根據(jù)切線的性質得OA⊥PA，再根據(jù)勾股定理求直角三角形邊長．【解答過程】解：∵PA切⊙O于A點，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴PA==4．【答案】42.如圖，PA、PB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，∠P=62°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．60° B．62° C．31° D．70°【知識點】圓的切線的性質、四邊形的內角和、平角定義【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】由PA、PB是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質得到∠OAP=∠OBP=90°，再根據(jù)四邊形的內角和為360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直徑，根據(jù)互補即可得到∠BOC的度數(shù)．【解題過程】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=62°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣62°=118°，又∵AC是⊙O的直徑，∴∠BOC=180°﹣118°=62°．故選B．【答案】B3.如圖，OA是⊙B的直徑，OA=4，CD是⊙B的切線，D為切點，∠DOC=30°，則點C的坐標為．【知識點】切線的性質；直角三角形性質．三角形外角定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】連接BD得RtΔBDC，根據(jù)三角形外角定理可得∠DBC=60°，所以∠DCO=30°,CB=2BD=4即可求出C點坐標．【解題過程】解：連接BD，∵∠DOC=30°，∴∠DBC=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4，∴OC=OB+BC=6，∴點C的坐標為（6，0）．【答案】（6，0）4.如圖，半徑為3的⊙O與Rt△AOB的斜邊AB切于點D，交OB于點C，連接CD交直線OA于點E，若∠B=30°，∠E=30°則線段DE的長為．【知識點】切線的性質，等邊三角形的判定、三角形外角定理，等腰三角形判定【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】根據(jù)切線性質，連接OD得RtΔAOB中∠BOD=60°，又同圓中半徑處處相等可證到△COD是等邊三角形，DC=OD=3；再根據(jù)直角三角形性質求得DE=CE-CD=3【解題過程】解：連接OD，∵Rt△AOB的斜邊AB切于點D，∠B=30°，∴OD⊥AB,OD=3，∠BDO=90°，∠BOD=60°∵OD=OC=3，∴△COD是等邊三角形∴DC=OD=3∵Rt△EOC，∠E=30°∴CE=2OC=6∴DE=CE-CD=3【答案】35.如圖：△ABO中，AO=BO，C是底邊AB的中點，若AB=8，OA=5，以點O為圓心的⊙O的半徑為3，求證：AB是⊙O的切線．【知識點】切線的判定定理，等腰三角形性質，勾股定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】根據(jù)等腰三角形性質得OC⊥AB，再根據(jù)切線判定定理證明OC等于圓的半徑．【解題過程】證明：如圖：連結OC∵AO=BO，C是底邊AB的中點∴OC⊥AB，，AC=AB=4在Rt△ACO中，，OA=5 ，AC=4∴OC=3∵⊙O的半徑為3∴AB經(jīng)過⊙O的半徑OC的外端點且垂直于OC，∴AB是⊙O的切線．6、已知:在△ABD中，∠BAD=40°，∠B=10°，⊙O經(jīng)過點A和點D，圓心O在AB上，⊙O交AB于點C，那么BD是⊙O切線嗎？請證明你的結論.【知識點】切線的判定、等腰三角形性質、三角形外角定理、三角形內角和定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】已知切點，連半徑，證垂直．【解題過程】解：BD是⊙O切線，證明如下：證明：連接OD∵OA=OD，∠BAD=40°∴∠ADO=∠BAD=40°∴∠DOB=∠ADO+∠BAD=80°∵∠B=10°∴△DOB中∠ODB=1800-800-100=900∴OD⊥DB∴直線DB是⊙O的切線能力型師生共研7.如圖：AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，OC//弦AD，求證：CD是⊙O的切線【知識點】切線的判定，等腰三角形性質，平行線性質，全等三角形判定、【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】已知點、連半徑、證垂直．首先連接OD，由弦AD∥OC，易證得∠COB=∠COD，繼而證得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC與⊙O相切于點B，可得∠ODC=90°，即可證得CD是⊙O的切線．【解題過程】證明：連接OD，∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線．8、已知等邊三角形ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連接GD，（1）求證：DF與⊙O的位置關系并證明；（2）求AF的長．【知識點】直線與圓的位置關系、等邊三角形的性質、勾股定理、垂徑定理【思路點撥】（1）連接OD，證∠ODF=90°即可．利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF長，【解題過程】1）證明：連接OD，∵以等邊三角形ABC的邊AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以邊AB為直徑的半圓的半徑，∴DF是圓O的切線；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，【答案】（1）相切（2）9探究型多維突破9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點O在AC上，⊙O經(jīng)過B，D兩點，交BC于點E．求證：AC是⊙O的切線；【知識點】切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】（1）連接DO，由等腰三角形的性質和角平分線的定義得出∠1=∠3，證出DO∥BC，由平行線的性質得出∠ADO=90°，即可得出結論；【解題過程】證明：連接DO，如圖1所示∵BD是∠ABC的平分線，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DO∥BC，∵∠C=90°，∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，∴AC是⊙O的切線．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）判斷四邊形AOCD的形狀，并說明理由．【知識點】切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定和性質、菱形的判定和性質．【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思維點撥】（1）連接AC，由題意得，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結論；（2）四邊形AOCD為菱形．由，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【解題過程】解：（1）連接AC，∵點CD是半圓O的三等分點，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC∴∠OCE+∠E=180°，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線；（2）四邊形AOCD為菱形．理由如下：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四邊形AOCD是平行四邊形，∵OA=OC，∴平行四邊形AOCD是菱形．自助餐⊙O的半徑2，圓心O到直線l的距離為2，則圓O與直線l的位置關系（）A.相離B.相切C.相交D.相切或相交【知識點】切線的判定【思路點撥】從數(shù)量關系上判定圓的切線【解題思路】∵⊙O的半徑2，圓心O到直線l的距離為2∴半徑與圓心O到直線l的距離相等∴⊙O與直線l相切2.PA為⊙O切線，A為切點，PO交⊙O于點B，OA=4，OP=8，則AB=．【知識點】切線的性質直角三角形性質、等邊三角形判定【數(shù)學思想】數(shù)形結合【分析】根據(jù)切線的性質可知，OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=4，OP=8，直角三角形中300的角所對的直角邊等于斜邊的一邊，所以可得出∠OPA=300，∠POA=600，又因為OA=OB，所以為等邊三角形即可求出AB長．【解題過程】解：∵PA為⊙O的切線，A為切點，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；在Rt△OAP中，∵OA=4，OP=8∴∠OPA=30°，∴∠POA=90°﹣30°=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等邊三角形∴AB=OA=4【答案】43.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上的一點O為圓心所作的半圓分別與AC、BC相切于點D，E，若AC=6cm，AO=cm，則圓O的半徑為_________cm．【知識點】切線的性質，正方形判定定理、勾股定理【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】連接OD、OE，根據(jù)已知條件證明四邊形CDOE為正方形，得到OD=CD，設OD=x，在Rt△ODA中運用勾股定理建立方程求解．【解題過程】解：連接OD、OE，∵AC、CB為⊙O的切線，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE又∠ACB=90°，∴四邊形CDOE為矩形，又CD=CE，∴四邊形CDOE為正方形，∴OD=CD，設OD=x=CD∵AC=6，∴AD=6-x在Rt△ADO中,∠ADO=90°，AO=，AD=6-x∴∴∴OD=2或4【答案】2或44.如圖，⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離為4，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是．【知識點】切線的性質；垂線段最短【數(shù)學思想】數(shù)形結合【思路點撥】本題確定PB最小時點P的位置是解題的關鍵．PB為切線故△OPB是直角三角形．又OB為定值，當OP最小時，PB就最?。鶕?jù)垂線段最短得OP=4