高等數(shù)學(xué) 洛必達(dá)法則

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束洛必達(dá)法則

第三章2021/5/91微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/92一、存在(或?yàn)?定理1.型未定式(洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/93(

在x,a

之間)證:無(wú)妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以x,a為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯故定理?xiàng)l件:西定理?xiàng)l件,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束存在(或?yàn)?2021/5/94推論1.定理1中換為之一,推論2.若理1條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.洛必達(dá)法則定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/95例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/96例2.求解:原式思考:

如何求

(n

為正整數(shù))?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/97二、型未定式存在(或?yàn)椤?定理2.證:僅就極限存在的情形加以證明.(洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/981)的情形從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/992)的情形.取常數(shù)可用1)中結(jié)論機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9103)時(shí),結(jié)論仍然成立.(證明略)說(shuō)明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.定理2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/911例3.

求解:原式例4.求解:

(1)n

為正整數(shù)的情形.原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/912例4.求(2)

n

不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù)

k,使當(dāng)x>1

時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/913例3.例4.說(shuō)明:1)

例3,例4表明時(shí),后者比前者趨于更快.例如,而用洛必達(dá)法則2)

在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計(jì)算問(wèn)題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9143)若例如,極限不存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/915三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例5.求解:

原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/916解:原式例6.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化2021/5/917例7.

求解:

利用例5例5目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化2021/5/918例8.求解:注意到～原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/919例9.求分析:

為用洛必達(dá)法則,必須改求法1用洛必達(dá)法則但對(duì)本題用此法計(jì)算很繁!法2～原式例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/920內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則令取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/921思考與練習(xí)1.設(shè)是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說(shuō)明.極限說(shuō)明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原式～分析:2021/5/922分析:3.原式～～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/923則4.求解:令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/924作業(yè)P1371(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),4第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/925洛必達(dá)(1661–1704)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他著有《無(wú)窮小分析》(1696),并在該書(shū)中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達(dá)法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問(wèn)題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書(shū).則”.他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/926求下列極限:解:備用題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9