高等數(shù)學(xué) 第六章定積分的應(yīng)用習(xí)題課

章定積分應(yīng)用習(xí)題課2021/5/91一、定積分應(yīng)用的類型1．幾何應(yīng)用

平面圖形的面積特殊立體的體積平面曲線弧長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知立體的體積2．物理應(yīng)用

變力作功水壓力引力2021/5/92二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟1.構(gòu)造微元的基本思想無(wú)論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。元素法的實(shí)質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、“以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須是無(wú)窮小量之間的代替。將局部

上所對(duì)應(yīng)的這些微元無(wú)限積累，通過取極限，把所求的量表示成定積分．2021/5/932.在求解定積分應(yīng)用問題時(shí)，主要有四個(gè)步驟：

①選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；三、典型例題1.幾何應(yīng)用

定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的體積和平面曲線的弧長(zhǎng)。解決這些問題的關(guān)鍵是確定面積元素、體積元素和弧長(zhǎng)元素。③在

上求出微元解析式④把所求的量表示成定積分

②確定積分變量和變化范圍；2021/5/94【例1】求由所圍成圖形的面積。

分析：在直角坐標(biāo)系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形如圖所示。如果取為積分變量,則

設(shè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為則面積元素

就是在

上以“以直代曲”所形成的矩形面積。解：(1)確定積分變量和積分區(qū)間：的交點(diǎn)為和,取為積分變量,則由于曲線

和2021/5/95（2）求微元：任取

如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為,將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為,那么，就是區(qū)間所對(duì)應(yīng)的矩形的面積。因此（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為計(jì)算上面的積分得：

2021/5/96分析：在直角坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面積如圖

【例2】*求位于曲線下方，該曲線過原點(diǎn)的切線

的左方以及軸上方之間的圖形的面積。

所示。如果取為積分變量，則設(shè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形就是在上“以直代曲”所形成的矩形面積。

面積為

則面積元素2021/5/97考慮到當(dāng)和

時(shí)上所對(duì)應(yīng)曲邊梯形不同，所以，相對(duì)應(yīng)矩形面積的表達(dá)式也不同，因此微元

應(yīng)該分別去求.

解：（1）確定積分變量和積分區(qū)間：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為

則過原點(diǎn)且與相切的切線方程為：

由得的坐標(biāo)為.故得到切線方程為.

所以選取為積分變量,.（2）求微元：任取

,則當(dāng)時(shí),那么面積元素

就是區(qū)間所對(duì)應(yīng)的矩形的面積，2021/5/98（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：解上面的積分得：即當(dāng)時(shí),那么面積元素

就是區(qū)間所當(dāng)對(duì)應(yīng)的矩形的面積，即2021/5/99【例3】求由擺線,

的一拱與軸所圍成圖形的面積.分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，設(shè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為

則面積元素就是在上“以直代曲”

所形成的矩形面積。

如果取

為積分變量,則.2021/5/910解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：選取

為積分變量，(2)求微元：,,那么面積元素就是區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的矩形的面積，即.

(3)求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：2021/5/911【例4】求曲線圍成的圖形的面積.

分析：在極坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面積如圖所示。所對(duì)應(yīng)的曲邊扇形的面積為

所求圖形的面積

則面積元素就是用區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的扇形面積代替曲邊扇形的面積

面積因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱，所以只須考慮第一象限中的情況.取

為積分變量,則設(shè)區(qū)間2021/5/912解：(1)確定積分變量和積分區(qū)間:取為積分變量，

(2)求微元：任取

則面積元素就是區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的扇形面積,(3)求定積分：第一象限圖形的面積表示為則所求的幾何面積為

2021/5/913【例5】設(shè)由曲線，及圍成平面圖形

繞軸,軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，繞

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，取為積分變量;繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),取為積分變量。設(shè)區(qū)間對(duì)

或?qū)蛩鶎?duì)應(yīng)的曲邊梯形為

是以直代曲所形成的矩形為則繞

軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋

轉(zhuǎn)體的體積微元就是矩形分別繞

軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的體積.2021/5/914解:(一)求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞

軸旋轉(zhuǎn)如圖,旋轉(zhuǎn)體體積元素是對(duì)應(yīng)的矩形繞軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即

（2）求微元：對(duì)取為積分變量,則2021/5/915（3）求定積分：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為計(jì)算積分得：（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞軸旋轉(zhuǎn)如圖,

取為積分變量,則(二)求繞

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積2021/5/916（2）求微元：對(duì)旋轉(zhuǎn)體的體積元素

是對(duì)應(yīng)的矩形繞

軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積,即（3）求定積分：繞軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為

2021/5/917計(jì)算積分得:通過例5，同樣可求出繞平行于軸和平行于

軸的直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，見例6。2021/5/918對(duì)設(shè)區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形為

旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

【例6】設(shè)由曲線

及圍成平面圖形試求平面圖形

繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。的旋轉(zhuǎn)體的體積微元就是矩形分別繞直線

分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，因?yàn)橹本€

以直代曲所形成的矩形為

則繞直線旋轉(zhuǎn)而成平行于軸,所以繞直線

旋轉(zhuǎn)時(shí),取積分變量。2021/5/919解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：(2)求微元：對(duì)

軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即

取

為積分變量,則繞直線旋轉(zhuǎn)如圖，旋轉(zhuǎn)體的體積元素是對(duì)應(yīng)的矩形繞

2021/5/920計(jì)算積分得：(3)求定積分：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為2021/5/921

【例7】計(jì)算底面是半徑為2的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。若選擇積分變量為

,如果能求出平面

所截立體的截面面積那么，

所對(duì)應(yīng)的體積元素為.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：則底圓方程為

取為積分變量,所以2021/5/922

（2）求微元：因?yàn)檫^點(diǎn)的截面為等邊三角形（如圖），其邊長(zhǎng)為高為所以截面積為

因此,對(duì)所對(duì)應(yīng)的體積元素為

（3）求定積分：所求立體的體積為2021/5/923【例8】計(jì)算半立方拋物線了被拋物線

截得的一段弧的長(zhǎng)度。分析：所給定的曲線弧如圖所示。

對(duì)把區(qū)間上

所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

代替，則得到弧長(zhǎng)的微元

的解析式.取積分變量為則取為積分變量,則解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：計(jì)算兩曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)得2021/5/924(2)求微元：

區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

來(lái)代替,得弧長(zhǎng)元素由于從而(3)求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得2021/5/925【例9】求星形線的全長(zhǎng).分析：曲線為參數(shù)方程，由于星形線關(guān)于

軸都對(duì)稱所以只須考慮第一象限中的情況。取參數(shù)

為積分變量，

對(duì)把區(qū)間

上所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

代替,則得到曲線弧長(zhǎng)的微元

的解析式。

解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間:取參數(shù)為積分變量,2021/5/926

(2)求微元：把區(qū)間

上所對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

代替,得弧長(zhǎng)元微元

(3)求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得則所求曲線弧長(zhǎng)為

2021/5/927注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來(lái)做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。

以上例1-9給出了定積分在求幾何圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，截面面積為已知的立體的體積和曲線弧長(zhǎng)方面的應(yīng)用。下面的例10給出了定積分的綜合應(yīng)用。【例10】*設(shè)曲線與交于點(diǎn)過坐標(biāo)原點(diǎn)

和點(diǎn)的直線與曲線圍成一平面圖形，

問為何值時(shí),

該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積最大？最大體積是多少？2021/5/928分析：此題為定積分應(yīng)用的最值問題，首先應(yīng)先求出交點(diǎn)

的方程與曲線圍成一平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積可看成直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積減去曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積,見圖,最后求駐點(diǎn)，即可得.解：求交點(diǎn)：

,的坐標(biāo)，確定的范圍,

然后求出直線的方程,直線解得2021/5/929直線方程為直線

與曲線圍成一平面圖形繞

軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為2021/5/930令得為唯一駐點(diǎn).所以，當(dāng)時(shí)旋轉(zhuǎn)體的體積最大2.物理應(yīng)用

定積分的物理應(yīng)用包括作功、水壓力和引力等問題。本節(jié)僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問題時(shí)，選取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)單。2021/5/931【例11】將半徑為的半球形水池內(nèi)注滿水,若將滿池水

全部抽出，需作多少功？分析：吸水作功是水的重力在作功問題，此問題可理解成將水一層一層吸出的。取坐標(biāo)原點(diǎn)在水平面，

軸鉛直向下如果設(shè)

所對(duì)應(yīng)的薄層的體積為

那么在上以直代曲，便得體積元素

從而得到重力作功的功元素

解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：建立如圖所示的坐標(biāo)系.2021/5/932則半圓的方程為

取為積分變量,則(2)求微元:對(duì)把區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的薄層的體積用圓柱體體積代替,得到

由于將這一薄層水吸出是這一薄層水的重力在作功，設(shè)水的比重為所以功的元素為(3)求定積分：將滿池水全部抽出所作的功為2021/5/933【例12】一底為8厘米，高為6厘米的等腰三角形片，鉛直沉入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面3厘米，求每面所受的壓力。分析：由于水壓力等于受力面積乘以壓強(qiáng)。如果取如圖所示的坐標(biāo)系，壓力可理解水深處的壓強(qiáng)乘上受力面積.的矩形面積代替,所以