河北省宣化第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題含解析

河北省宣化第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或2．已知基本單位向量，，則的值為（）A．1 B．5 C．7 D．253．設(shè)有直線(xiàn)和平面，則下列四個(gè)命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，l∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α4．經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為()A． B． C． D．5．向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．6．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（）A． B． C． D．7．已知是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．8．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（）A．3 B．5 C．2 D．19．正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線(xiàn)與所成的角是()A． B． C． D．10．若是第四象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線(xiàn)：與直線(xiàn)的交點(diǎn)位于第一象限，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是___________.12．已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則______.13．在中，為上的一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，則_________.14．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則_______；_______.15．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則=.16．如果奇函數(shù)f（x）在[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①減函數(shù)且最小值是-5；②減函數(shù)且最大值是-5；③增函數(shù)且最小值是-5；④增函數(shù)且最大值是-5三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量與年份有關(guān)，下表是近五年的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20102012201420162018銷(xiāo)售量（噸）114115116116114用所給數(shù)據(jù)求年銷(xiāo)售量（噸）與年份之間的回歸直線(xiàn)方程，并根據(jù)所求出的直線(xiàn)方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年該農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量.參考公式：.18．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.19．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線(xiàn)與平面的夾角．20．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．21．中，角的對(duì)邊分別為，且.（I）求的值；（II）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【詳解】β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

計(jì)算出向量的坐標(biāo)，再利用向量的求模公式計(jì)算出的值.【詳解】由題意可得，因此，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是求出向量的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)求出向量的模，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，α與β相交或平行；在C中，m⊥β或m∥β或m與β相交；在D中，由直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)與判定定理可得m∥α．【詳解】由直線(xiàn)m、n，和平面α、β，知：對(duì)于A，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于中，若α⊥β，α⊥β，m?α，則m⊥β或m∥β或m與β相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)與判定定理得m∥α，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷問(wèn)題，考查了空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系的判定定理及推論的應(yīng)用，體現(xiàn)符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，是中檔題．4、D【解析】

首先求出兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求出斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)方程即可.【詳解】有題知：，解得：，交點(diǎn).直線(xiàn)的斜率為，所求直線(xiàn)斜率為.所求直線(xiàn)為：，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查如何求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)考查了兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.5、C【解析】

利用向量平行的坐標(biāo)表示，即可求出．【詳解】向量，，，即解得．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示．6、D【解析】

平移兩條異面直線(xiàn)到相交，根據(jù)余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，則是所成的角或其補(bǔ)角，又根據(jù)余弦定理得：，所以，異面直線(xiàn)與所成角的為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角和余弦定理.注意異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是.7、C【解析】

利用橢圓和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，用橢圓雙曲線(xiàn)的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示，再利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，雙曲線(xiàn)實(shí)軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等立，的最小值為6，故選:C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，用橢圓雙曲線(xiàn)的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、A【解析】

先由題意確定抽樣比，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，抽樣比為，所以應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，會(huì)由題意求抽樣比即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】

首先根據(jù)得到異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成角，再根據(jù)即可求出答案.【詳解】由圖知：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成角.因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以?所以異面直線(xiàn)與所成的角為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線(xiàn)所成角，平移找角為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.10、C【解析】

利用象限角的表示即可求解.【詳解】由是第四象限角，則，所以，所以是第三象限角.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了象限角的表示，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】若直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)位于第一象限，如圖所示：則兩直線(xiàn)的交點(diǎn)應(yīng)在線(xiàn)段上（不包含點(diǎn)）,當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為，當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，斜率，直線(xiàn)的傾斜角為∴直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是．故答案為12、【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)之和與中間項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，故．【點(diǎn)睛】（1）在等差數(shù)列中，若，則有；（2）在等差數(shù)列.13、【解析】

用表示出,由對(duì)應(yīng)相等即可得出．【詳解】因?yàn)椋越獾玫茫军c(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法則，平面上任意不共線(xiàn)的一組向量可以作為一組基底．14、【解析】

令代入可求得；方程兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造出等差數(shù)列，即可得答案.【詳解】令，則；∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造新等差數(shù)列的方法.15、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點(diǎn)：1.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.16、④【解析】

由題意結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和所給函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果．【詳解】奇函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則若奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為1，那么f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上是增函數(shù)且最大值為﹣1．故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及其應(yīng)用等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、；115.25噸【解析】

由表格中的數(shù)據(jù)先求出,再根據(jù)公式求得與的值,得到線(xiàn)性回歸方程,取即可求得2019年該農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)值.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得:,,∴,,∴所求回歸直線(xiàn)方程為:,由此可以預(yù)測(cè)2019年該農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為:噸.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性回歸方程的求法,考查計(jì)算能力,難度不大.18、(1)；（2）．【解析】試題分析：（1）利用等差等比基本公式，計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.試題解析：(1)設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等?shù)列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.19、(1)見(jiàn)證明；(2)見(jiàn)證明；(3)【解析】

（1）連接，交于，則為中點(diǎn)，連接OP，可證明，從而可證明直線(xiàn)平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結(jié)合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點(diǎn)，連接OP，∵P為的中點(diǎn)，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長(zhǎng)方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長(zhǎng)方體中，∵，∴．在中，．∴直線(xiàn)與平面的夾角為．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行、面面垂直的證明，考查了線(xiàn)面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【點(diǎn)睛】這道題考查了三角