河北省張家口市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

張家口市2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)期末試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】因為，所以，故選：C.2.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由可得，利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為，，由，可得，所以，“”“”；但“”“”.所以，已知，，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.已知是自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的圖象在原點處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)得，計算，，則得到切線方程.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)的圖象在原點處的切線方程為，故選：B.4.設(shè)隨機變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當(dāng)從0增大到1時（）012A.增大 B.減小C.先減后增 D.先增后減【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)期望公式得，再根據(jù)方差計算公式得的表達式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由分布列可得,則，因為，所以先增后減，故選：D.5.回文是一種修辭手法，數(shù)學(xué)中的“回文數(shù)”是指從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，例如，則從五位數(shù)字的回文數(shù)中任取一個恰好取到奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出五位數(shù)字的回文數(shù)的個數(shù)和五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)的個數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】根據(jù)題意可知，五位數(shù)字的回文數(shù)中，首位有種選擇，千位和百位都有種選擇，所以，五位數(shù)字的回文數(shù)的個數(shù)為個，其中，五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)，首位有種選擇，千位和百位都有種選擇，所以，五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)的個數(shù)為個，因此，從五位數(shù)字的回文數(shù)中任取一個恰好取到奇數(shù)的概率為.故選：A.6.某校團委對“學(xué)生喜歡體育和性別是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生喜歡體育的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡體育的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%以上的把握認為是否喜歡體育和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)可能是（）0.0500.0103.8416.635【附：，其中】A.35 B.39 C.40 D.50【答案】D【解析】【分析】設(shè)男生女生人數(shù)均為，根據(jù)卡方公式得，根據(jù)表格得到不等式，解出即可.【詳解】設(shè)男生女生人數(shù)均為，則在列聯(lián)表中，，若有以上的把握認為學(xué)生是否喜歡體育和性別有關(guān)，可知，解得，又是5的整數(shù)倍，可得男生人數(shù)可取50，故選：D.7.現(xiàn)有5名大學(xué)生準(zhǔn)備到甲、乙、丙3所學(xué)校實習(xí)，每所學(xué)校至少有1名，每名大學(xué)生只能去一所學(xué)校，若到甲、乙兩所學(xué)校實習(xí)人數(shù)不相同，則不同的實習(xí)方案種數(shù)為（）A.243 B.200 C.100 D.50【答案】C【解析】【分析】依題意實習(xí)方案有兩大類：①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2人、乙1人，丙2人），分別求出各類的方案數(shù)，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理計算可得.【詳解】依題意實習(xí)方案有兩大類：①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2人、乙1人，丙2人），若①甲3人、乙1人、丙1人或甲1人、乙3人、丙1人，則有種；若為②甲1人、乙2人，丙2人或甲2人、乙1人，丙2人，則有種；綜上可得一共有種.故選：C8.若對于任意的恒成立，則正數(shù)的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分離參數(shù)法得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，則得到不等式解出即可.【詳解】恒成立，即.設(shè)，，令，解得，令，解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上的最大值是，故只需，解得，即的最小值為，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若一組樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)，則用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸直線必經(jīng)過樣本中心點B.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，則推斷與無關(guān)不成立，即認為與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05C.若隨機變量和滿足，則，D.若隨機變量，且，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)判斷A，根據(jù)獨立性檢驗的思想判斷B，根據(jù)期望與方差的性質(zhì)判斷C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：若一組樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)，則用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸直線必經(jīng)過樣本中心點，故A正確；對于B：因為，所以有的把握可判斷分類變量與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于，故B正確；對于C：若隨機變量和滿足，則，，故C錯誤；對于D：若隨機變量，且，則，故D正確；故選：ABD10.已知，且，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用乘“1”法即可求出的最小值，利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式不等式即可求出最小值.【詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確，A錯誤；，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C錯誤，D正確；故選：BD.11.已知，，（是自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.， B.，C. D.【答案】BD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性和最值一一判斷即可.【詳解】首先證明切線不等式，設(shè)，則，令，解得，又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以有唯一零點，且當(dāng)，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時單調(diào)遞增，故，則，即，則，，而，所以B正確，A錯誤；又因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，，則，因此，故D正確，C錯誤.故選：BD.12.如圖，某高速服務(wù)區(qū)停車場中有A至H共8個停車位（每個車位只能停一輛車），現(xiàn)有2輛黑色車和2輛白色車要在該停車場停車，則（）ABCDEFGHA.4輛車的停車方法共有1680種B.4輛車恰好停在同一行的概率是C.2輛黑色車恰好相鄰（停在同一行或同一列）的停車方法共有300種D.相同顏色的車不停在同一行，也不停在同一列的概率是【答案】ABD【解析】【分析】利用排列公式結(jié)合古典概型公式逐項分析即可.【詳解】對A，4輛車的停車方法共有(種)，A正確；對B，4輛車恰好停在同一行的概率是，B正確；對C，2輛黑色車相鄰且停在同一行有6種，停在同一列有4種，黑色車的停車方法共有(6+4)種，白色車的停車方法共有種，故共有(6+4)(種)方法，故C錯誤；對D，相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，第一輛黑色車8個車位都可停車，第二輛黑色車只能有3個車位可停車，黑色車共有種方法，不妨設(shè)黑色車停在,兩個車位，則兩白色車只能停共7種選擇，白色車的停車方法共有種方法，故共有種方法，其概率是，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題D選項首先分析出黑色車有24種方法，然后通過假設(shè)黑色車停在,兩個車位，則兩白色車有車中選擇，則白色停車方法有14種，最后利用分步乘法和古典概型公式即可得到答案.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，系數(shù)最大的項的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】20【解析】【分析】設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即可求出展開式中系數(shù)最大的項．【詳解】∵的展開式的通項為，設(shè)第項的系數(shù)最大，則，根據(jù)公式，解得，又，∴，∴展開式中系數(shù)最大的項為，即展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為20，方法二：比較的大小，選擇最大值即可；故答案為：20；14.已知隨機變量服從二項分布，且的期望，方差，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項分布的期望、方差公式得到方程組，解得即可.【詳解】依題意，所以，，解得，.故答案為：15.已知離散型隨機事件A，B發(fā)生的概率，，若，事件，，分別表示A，B不發(fā)生和至少有一個發(fā)生，則__________，__________.【答案】①.0.8##②.0.6##【解析】【分析】空1，空2：利用條件概率公式結(jié)合韋恩圖計算即可.【詳解】由題意得，，，，故答案為：0.8；0.6.16.已知函數(shù)有唯一的零點，則實數(shù)的值可以是__________.【寫出一個符合要求的值即可】【答案】（答案不唯一，只需滿足即可）【解析】【分析】由可得，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析可知，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】由可得，其中且，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，如下圖所示：所以，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：（答案不唯一，只需滿足即可）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，其中.（1）求展開式中和的值（用數(shù)字表示）；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出的二項展開式，即可求得、的值；（2）令，利用賦值法可得出，即可得解.【小問1詳解】解：的展開式通項為，所以，，.【小問2詳解】解：令，則，因此，.18.某健身俱樂部舉辦“燃脂運動，健康體魄”活動，參訓(xùn)的學(xué)員700人中超過90%屬于超重人員，經(jīng)過艱苦的訓(xùn)練，近五個月學(xué)員體重指標(biāo)變化如下表：月份12345超重人數(shù)600500420340240（1）已知變量與變量具有線性相關(guān)關(guān)系，建立以為解釋變量，為響應(yīng)變量的一元經(jīng)驗回歸方程；（2）俱樂部王教練每天從騎車和游泳中隨機選擇一種對學(xué)員進行減脂訓(xùn)練.選擇方法如下：第一天選擇騎車，隨后每天用“一次性拋擲4枚質(zhì)地均勻的硬幣”來確定訓(xùn)練方式，若正面朝上的枚數(shù)小于3，則該天訓(xùn)練方式與前一天相同，否則選擇另一種方式.求前三天騎車訓(xùn)練的天數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）利用線性回歸方程公式計算即可；（2）首先利用二項分布公式得，，再得出的所有可能取值為1,2,3，計算對應(yīng)概率得到分布列，再利用期望公式即可.【小問1詳解】由圖表可知，，由，則，所以經(jīng)驗回歸方程為.【小問2詳解】一次性拋鄭4枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的枚數(shù)記為,則，，，的所有可能取值為1,2,3，，，，所求分布列為123.19.如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.（1）求三棱錐的側(cè)面積的最大值；（2）若在底面上，有一個小球由頂點處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當(dāng)球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當(dāng)球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為.若小球滾動3次，記球滾到頂點處的次數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解；（2）依題意的可能取值為、、，求出所對應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】因為三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，且三棱錐的外接球半徑，則以、、為長、寬、高的長方體的體對角線為外接球的直徑，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以三棱錐的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即三棱錐的側(cè)面積的最大值為.【小問2詳解】依題意的可能取值為、、，則，，，所以.20.某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級1000名學(xué)生中隨機選出40名學(xué)生統(tǒng)計成績，其中24名女生平均成績?yōu)?0個，標(biāo)準(zhǔn)差為4；16名男生平均成績?yōu)?0個，標(biāo)準(zhǔn)差為6.（1）高一年級全員參加顛球比賽的成績近似服從正態(tài)分布，若用這40名參賽的同學(xué)的樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（四舍五入取整數(shù)）分別作為，，估計高一年級顛球成績不超過60個的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（2）顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲勝的概率為，在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率.附：若，則，，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、方差公式求出、，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可估計人數(shù)；（2）設(shè)事件表示“甲獲勝”，事件表示“甲前局獲勝”，求出、，再利用條件概率的概率公式計算可得.【小問1詳解】依題意，即，，所以，同理，所以，所以，所以，即，因為，且，所以，所以，即估計顛球成績不超過個的人數(shù)為.【小問2詳解】設(shè)事件表示“甲獲勝”，事件表示“甲前局獲勝”，甲獲勝有，，三類，對應(yīng)的概率分別為，，，所以，，所以，所以在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率為.21.定義表示，中的較小者，已知函數(shù)，的圖象與軸圍成的圖形的內(nèi)接矩形中（如圖所示），頂點（點位于點左側(cè)）的橫坐標(biāo)為，記為矩形的面積，（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并寫出的解析式；（2）（i）證明：不等式；（ii）證明：存在極大值點，且.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正、余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得到的解析式，從而求出的單調(diào)區(qū)間，設(shè)，則，即可表示出的解析式；（2）（i）令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；（ii）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點，則，在結(jié)合（i）的結(jié)論，即可得證.【小問1詳解】由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知當(dāng)時，當(dāng)時，所以，顯然的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，點、關(guān)于對稱，設(shè)，，則矩形的面積，.【小問2詳解】（i）令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，，即當(dāng)時.（ii）因為，，則，令，，則，即在上單調(diào)遞減，又，，所以在上存在唯一零點，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以存在極大值點，則，即，由（i）的結(jié)論，則，解得.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若方程兩個解為、，求證：.【答案】（1）