湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月第一次月考試題含解析

Page222023年下學(xué)期高二10月檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合，再依據(jù)并集的運(yùn)算求解．【詳解】∵集合，

，

∴．

故選:B．2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，依據(jù)虛部定義求得結(jié)果.【詳解】，∴z的虛部為：2故選：A3.已知向量，，則“，的夾角為銳角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義推斷.【詳解】若，的夾角為銳角，則且，不同向，可得且，故“，的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．故選：A4.已知a，b為兩條不同的直線，α為平面，則下列命題正確的是（）A.若a⊥α，a⊥b，則b//α B.若a//α，a⊥b，則b⊥αC.若a//α，b//α，則a//b D.若a⊥α，a//b，則b⊥α【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線線，線面的位置關(guān)系，定義以及推斷定理，性質(zhì)定理，即可求解.【詳解】對(duì)于A，若a⊥α，a⊥b，則b//α或b?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a//α，a⊥b，則b//α或b?α，或b與α相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a//α，b//α，則a與b相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若a⊥α，a//b，則由直線與平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正確．故選：D．5.在中，，M是邊的中點(diǎn)，O為的外心，則（）A.8 B. C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化到向量上去，再代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算得出結(jié)論.【詳解】由題意，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：易知，；可得，又，同理；所以故選：B6.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，則化簡(jiǎn)，由余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】設(shè)，則，從而.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)中知值求值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，然后可得，屬于中檔題.7.在平面中，過(guò)定點(diǎn)作始終線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的截距式，再依據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式求解最小值即可【詳解】易得直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，故，所以，故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故故選：C8.已知函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，函數(shù)滿意，對(duì)于，均有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)可知是以6為周期的函數(shù)，則，依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得.由可得.結(jié)合、計(jì)算求出和即可.【詳解】，兩式相減，得，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期，有.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，將的圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，縱坐標(biāo)不變，得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得，圖象關(guān)于對(duì)稱，有.又，令，則，即.當(dāng)時(shí)，，則①，，所以，即②，由①②，得，解得，所以，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中依據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有錯(cuò)選的得0分.9.一個(gè)質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事務(wù)B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事務(wù)A與事務(wù)B互斥C.事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 D.【答案】CD【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解推斷；B.利用互斥事務(wù)的定義推斷；C.利用獨(dú)立事務(wù)的概率求解推斷；D.利用并事務(wù)的概率求解推斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本領(lǐng)件，則，A不正確：事務(wù)B含有的基本領(lǐng)件有8個(gè)：，，，，，，，，其中事務(wù)，，，發(fā)生時(shí)，事務(wù)A也發(fā)生，即事務(wù)A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的全部基本領(lǐng)件有16個(gè)，，，即事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，C正確；，D正確.故選：CD.10.如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計(jì)安裝的過(guò)山車(chē)軌道.建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），（單位：m）表示在時(shí)間（單位：s）時(shí).過(guò)山車(chē)（看作質(zhì)點(diǎn)）離地平面的高度.軌道最高點(diǎn)距離地平面50m.最低點(diǎn)距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當(dāng)時(shí)，過(guò)山車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)，時(shí)，過(guò)山車(chē)到達(dá)最低點(diǎn).設(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)最小正周期為12B.C.時(shí)，過(guò)山車(chē)距離地平面40mD.一個(gè)周期內(nèi)過(guò)山車(chē)距離地平面低于20m的時(shí)間是4s【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)題意抽象出函數(shù)的最值，列式求，依據(jù)周期求，最終依據(jù)求，再依據(jù)函數(shù)的解析式推斷CD.【詳解】由題意可知，周期滿意，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因?yàn)?，所以，所?對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由，得，即，，，解得，，所以一個(gè)周期內(nèi)過(guò)山車(chē)距離底面低于20m的時(shí)間是，D正確.故選：ACD.11.已知圓和圓相交于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的為（）A.兩圓有兩條公切線 B.直線的方程為C.線段長(zhǎng)為 D.圓上點(diǎn)，圓上點(diǎn)，的最大值為【答案】AD【解析】【分析】由圓與圓相交可推斷A；兩圓方程作差可推斷B；利用垂徑定理可推斷C；轉(zhuǎn)化為圓心間的距離可推斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓有兩條公切線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳A，圓，兩圓作差得即，所以直線的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心，半徑為1，所以，故D正確.故選：AD.12.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B.過(guò)三點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為C.三棱錐的體積最大值為D.若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】作出正方體相鄰兩個(gè)側(cè)面的綻開(kāi)圖，對(duì)比線段的長(zhǎng)度即可得到最短路程，知A正確；作出截面，由矩形面積公式可求得B錯(cuò)誤；利用體積橋可知當(dāng)與重合時(shí)，體積最大，利用割補(bǔ)法可求得C正確；分析可知點(diǎn)軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，將側(cè)面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，此時(shí)；將底面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，此時(shí)；，沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為，A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，四點(diǎn)共面，則過(guò)三點(diǎn)作正方體的截面，截面即為四邊形，如下圖陰影部分所示，平面，平面，，，，四邊形為矩形，又，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為定值，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，取得最大值，又點(diǎn)為側(cè)面（含邊界）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面距離最大，，C正確；對(duì)于D，若，則點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，取中點(diǎn)，則，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，即劣弧，如下圖所示，，，劣弧的長(zhǎng)度為：，即點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知直線：與：平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)直線平行的充要條件計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，且，解之得.故答案為：-114.已知點(diǎn)，，若直線與線段相交，則的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，利用斜率計(jì)算公式求出，，再數(shù)形結(jié)合即可得解．【詳解】解：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，，，又直線與線段相交，由圖可知，即；故答案為：．15.已知函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】明確分段函數(shù)兩段的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖像，將方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象確定，，，的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，令，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，令，則或4；令，則或2；由此可作出函數(shù)的圖象如圖：由于方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，故的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，不妨設(shè)，則，且關(guān)于對(duì)稱，所以，又即，則，故，由于在上單調(diào)遞增，故，所以，故的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)與方程的應(yīng)用學(xué)問(wèn)，涉及到學(xué)問(wèn)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，解答的關(guān)鍵時(shí)要明確分段函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.16.若圓與圓外切，則的最大值為_(kāi)_______________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)兩圓外切可得，再依據(jù)可知，點(diǎn)的軌跡為圓弧，圓的四分之一，而表示定點(diǎn)與圓弧上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，然后數(shù)形結(jié)合即可求出．【詳解】由題可得圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因?yàn)閮蓤A外切，可得，，可看作平面直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)與圓弧上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，最大，此時(shí)其最大值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及利用幾何意義求最值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)換實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)求出，依據(jù)求出，依據(jù)正弦定理求出；（2）先求出，再利用面積公式即可求出.【詳解】（1）在中，由題意知，又因，全部，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18.《中華人民共和國(guó)民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對(duì)民法典的相識(shí)程度，隨機(jī)抽取了肯定數(shù)量的居民進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試（滿分：100分），并依據(jù)測(cè)試成果繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)該組測(cè)試成果的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（2）該社區(qū)在參與問(wèn)卷且測(cè)試成果位于區(qū)間和的居民中，采納分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事務(wù)“兩人的測(cè)試成果分別位于和”，求.【答案】（1）平均數(shù)76.2；第57百分位數(shù)79；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)及百分位數(shù)；（2）依據(jù)分層抽樣確定測(cè)試成果分別位于和的人數(shù)，依據(jù)古典概型計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知測(cè)試成果的平均數(shù).測(cè)試成果落在區(qū)間的頻率為，落在區(qū)間的頻率為，所以設(shè)第57百分位數(shù)為a，有，解得；【小問(wèn)2詳解】由題知，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間、的人數(shù)之比為，所以采納分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示，從這5人中抽取2人的全部可能狀況有：，，，，，，，，，，共10種，其中“分別落在區(qū)間和”有6種，所以.19.已知圓：.（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）已知點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心與半徑，探討直線的斜率存在或不存在，當(dāng)不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)斜式，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，滿意題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，圓：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，∴所以直線方程為：.（2）∵，，∴，直線的方程為：，圓心到直線AB的距離為：，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，所以.20.如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，P是線段DO上一點(diǎn).（1）若，求三棱錐P-ABC的體積.（2）當(dāng)PO為何值時(shí)，直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用棱錐的體積公式即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【小問(wèn)1詳解】在，，，因?yàn)?，，【小?wèn)2詳解】如圖所示，建立以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系..設(shè)，，所以，，，，所以，，，設(shè)平面PBC的法向量為，所以，所以.設(shè)直線EP與平面PBC所成角為，由題意得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.21.已知函數(shù)已知函數(shù)，（1）若的解集，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）探討集合是否是空集，從而求解，（2），首先探討是否是0，在時(shí)，探討函數(shù)的零點(diǎn)的位置，從而確定實(shí)數(shù)所滿意的條件，從而求其范圍．【小問(wèn)1詳解】若，則，若，則．綜上可得：．【小問(wèn)2詳解】．若，則，無(wú)零點(diǎn)；若，則在單調(diào)，∴其在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)．①若，則，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)不成立，②若，由，解得，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓M（圓心M