初中奧數(shù) 圖形

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：初三課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：唐開元輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：王興帥

授課類型c三角形c平行四邊形c梯形

授課日期及時(shí)段2014年5月2日

教學(xué)內(nèi)容

三角形的全等及其應(yīng)用

例1.如圖2-2所示.AABC是等腰三角形，D,E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE,連接DE交底

BC于G.求證：GD=GE.

A

國2-21

例3如圖2-5所示.在等邊三角形ABC中，AE=CD,AD,BE交于P點(diǎn)，BQLAD于Q.求證：BP=2PQ.

A

B圖2-5°C

例4如圖2-6所示.ZA=90°,AB=AC,M是AC邊的中點(diǎn)，AD_LBM交BC于D,交BM于E.求證：

A

圖2—6

ZAMB=ZDMC.

例5如圖2-8所示.正方形ABCD中，在邊CD上任取一點(diǎn)Q,連AQ,過D作DPLAQ,交AQ于R,交BC于P,

正方形對角線交點(diǎn)為0,連OP,0Q.求證：0P±0Q.

例6如圖2-9所示.已知正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且NBAE=2/DAM.求證：AE=BC+CE.

勾股定理與應(yīng)用

定理在三角形中，銳角（或鈍角）所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去（或加上）這兩邊中的一邊與

另一邊在這邊（或其延長線）上的射影的乘積的2倍.

例1如圖2-21所示.已知：在正方形ABCD中，ZBAC的平分線交BC于E,作EFXAC于F,作FGXAB于G.求

證：AB2=2FG2.

例2如圖2-22所示.AM是4ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC=2(AM2+BM2).

推論4ABC的中線長公式:

=g42?+2c2-a?;①'

/=_J2a*+2c2-g。;②1

222

mc=172a+26-c.③'

例3如圖2-23所示.求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點(diǎn)連線平方的4

倍.

例4如圖2-24所示.已知△ABC中,ZC=90°,D,E分別是BC,AC上的任意一點(diǎn).求證：AD2+BE2=AB2+DE2.

例5求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍.

如圖2-25所示.設(shè)直角三角形ABC中，ZC=90°,AM,BN分別是BC,AC邊上的中線.求證:

4(AM2+BN2)=5AB2.

平行四邊形

例1如圖2-32所示.在￡7ABCD中，AE±BC,CF±AD,DN=BM.求證：EF與MN互相平分.

圖2—32

例2如圖2-33所示.RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,BG平分/ABC,EF〃BC且交AC于F.求證:

AE=CF.

例3如圖2-34所示.《7ABCD中，DE_LAB于E,BM=MC=DC.求證：ZEMC=3ZBEM.

圖2—34

例4如圖2-35所示.矩形ABCD中，CE_LBD于E,AF平分NBAD交EC延長線于F.求證：CA=CF.

例5設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E,F是CE的中點(diǎn)（圖2-36）.求證:

ZDAE=^ZBAF.

2

例6如圖2-37所示.正方形ABCD中，在AD的延長線上取點(diǎn)E,F,使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,

CE于H,G.求證：是等腰三角形.

梯形

例1如圖2-43所示.在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，DF〃EC交BC延長線

于F.求證：四邊形EBFD是等腰梯形.

⑴求證：ADCF是等腰梯形;

(2)若AADC的周長為16厘米(cm),AF=3厘米，AC-FC=1厘米，求四邊形ADCF的周長.

中位線及其應(yīng)用

3

例1如圖2-53所示.4BC中，A"C于D,E,F,G分別是?BD,AC的中點(diǎn).若EG^EF,WEFM厘米，屋

ABC的面積.

例2如圖2-54所示.ZkABC中，ZB,/C的平分線BE,CF相交于0,AG_LBE于G,AH_LCF于H.

(1)求證：GH/7BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.

例3如圖2-57所示.P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形BCPQ是平行四邊形，A',B',C',D'分別是AP,PB,

BQ,QA的中點(diǎn).求證：A'C=B'D'.

CB

圖2—57

例4如圖2-58所示.在四邊形ABCD中，CD>AB,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn).求證:

EF〉g（CD-AB）.

例5如圖2-59所示.梯形ABCD中，AB〃CD,E為BC的中點(diǎn)，AD=DC+AB.求證：DEXAE.

例6如圖2-60所示.AABC外一條直線1,D,E,F分別是三邊的中點(diǎn)，AAi,FFi,DDi,EEi都垂直1于Ai,E,

Di,Ei.求證：

AAi+EEi=FFi+DDi.

AiF[0[DjEj

圖2—6。

相似三角形（一）

例2如圖2-65所示.OABCD的對角線交于0,0E交BC于E,交AB的延長線于F.若AB=a,BC=b,BF=c,

求BE.

GB

圖2—65

例4如圖2-67所示.U7ABCD中，AC與BD交于0點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，0E交CD于F,E0延長線交

AB于G.求證：

ABAD

DF-DE

例6如圖2-69所示.P為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)作線段DE,FG,HI分別平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,

AB=510,BC=450,CA=425.求d.

第十六講相似三角形（二）

例2如圖2-77所示.在AABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分NBAC,BD_LAE的延長線于D,且交AM延長

線于F.求證：EF〃AB.

圖2-27

例4如圖2-79所示.P,Q分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點(diǎn)，且BP=BQ,BHLPC于H.求證：QH±DH.

圖2-79

例5如圖2-80所示.P,Q分別是Rt/XABC兩直角邊AB,