人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)(必修1)：§ 5 7 三角函數(shù)的應(yīng)用

§5.7三角函數(shù)的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題2體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化

現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的應(yīng)用

1.三角函數(shù)模型的作用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫囿

期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮重要作用.

2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

收集數(shù)據(jù)一畫散點(diǎn)圖一選擇函數(shù)模型一求解函數(shù)模型一檢驗(yàn).

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y=Asin（cox+0），A>0,。>0中參數(shù)的物理意義

預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)

1.函數(shù)y=3sin&—§的初相為.

『答案』~1

2.某人的血壓滿足函數(shù)式式f）=24sinl60而+110,其中共。為血壓（單位：mmHg）,/為時(shí)間（單

位：min）,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為.

『答案』80

『解析』V/（r）=24sin160^+110,

?7=區(qū)=上，『380

??/co160兀80,/T3U，

,此人每分鐘心跳的次數(shù)為80.

3.初速度為v0,發(fā)射角為0,則炮彈上升的高度y與6之間的關(guān)系式《是飛行的時(shí)間）為（）

A.y=votB.y=0o/sin。

C.y=Votsm0-^gf-D.y=Votcos0

『答案』C

『解析』由速度的分解可知炮彈上升的初速度為oosinO,故炮彈上升的高度y=oofsind—3

gt2,故選C.

題型探究探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)

--------------------------------、------

一、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

例1已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)間心)的變

化規(guī)律為s=4sin(2f+^|,re『0,+8).用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并回答下列

問(wèn)題：

(1)小球在開始振動(dòng)。=0)時(shí)的位移是多少？

(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？

(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？

解列表如下：

支3兀

0712兀

2~2

兀717兀5兀

t

~612312~6

s040-40

描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示.

⑴將r=0代入s=4sin(2t+。得s=4sin,=2小，所以小球開始振動(dòng)時(shí)的位移是入巧cm.

(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和一4cm.

⑶因?yàn)檎駝?dòng)的周期是兀，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是兀s.

反思感悟處理物理學(xué)問(wèn)題的策略

(1)常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性.

(2)明確物理概念的意義，此類問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與

對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題.

跟蹤訓(xùn)練1已知電流/與時(shí)間/的關(guān)系為/=Asin(&+9).

⑴如圖所示的是/=Asin(M+9)]o>0,|夕尚在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求/=

Asin(①什夕)的『解析』式；

(2)如果/在任意一段吉的時(shí)間內(nèi)，電流/=Asin(o什°)都能取得最大值和最小值，那么。的

最小正整數(shù)值是多少？

解(1)由題圖可知A=300,設(shè)—go。,欠=]80,

則周期T=2?2—2=2(J^+焉■)=*.

2兀

.??口=片=150兀.

又當(dāng)時(shí)，，=0，即sin(150兀?焉j+，=0,

而陽(yáng)￥，；呷弋

故所求的『解析』式為/=300sin(150兀

(2)依題意知，周期TW擊，即引W擊(o>0),

...。2300兀>942,又。GN*,

故所求最小正整數(shù)。=943.

二、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用

例2通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時(shí)間變化的曲線接近函數(shù)y=Asin(ox+0)+6的圖

象.某年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時(shí)，最高溫度為14℃；最低溫度出

現(xiàn)在凌晨2時(shí)，最低溫度為零下2℃.

(1)求出該地區(qū)該時(shí)段的溫度函數(shù)y=Asin(0x+e)+6(A>O,。>0,|夕卜無(wú)，龍e『0,24))的表達(dá)式;

(2)29日上午9時(shí)某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10℃,教室就要開空調(diào)，請(qǐng)問(wèn)屆時(shí)

學(xué)校后勤應(yīng)該開空調(diào)嗎？

[A+b=14,A=8,

解⑴由題意知2,解得

b=6,

T兀

易知2=14—2,所以T=24,所以①=后,

易知8sin[*><2+，+6=—2,

即—1,

兀71

故五義2+夕=—]+2%兀，

又191V兀，得9=一弓"，

所以丁=85詁佶元一為+6(%￡If0,24)).

(JI2兀、

(2)當(dāng)x=9時(shí)，y=8sin厄X9一司+6

7171

=8sinT^+6<8sin之+6=10.

12o

所以屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開空調(diào).

(學(xué)生留)

反思感悟解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟

跟蹤訓(xùn)練2健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120?140mmHg和60?90mmHg.心臟跳動(dòng)

時(shí)，血壓在增加或減小.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)

就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.記某人的血壓滿足函數(shù)式p⑺=115+

25sin(160兀其中p⑺為血壓(mmHg),f為時(shí)間(min),試回答下列問(wèn)題：

(1)求函數(shù)p⑺的周期；

(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，并與正常值比較.

解(DT若=品/(而n).

(2?=4=80.

(3)p(0max=115+25=140(mmHg),

p(r)min=H5-25=90(mmHg),

即收縮壓為140mmHg,舒張壓為90mmHg.此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)為140/90mmHg,

在正常值范圍內(nèi).

三、數(shù)據(jù)擬合模型的應(yīng)用

例3下表所示的是某地2000~2019年的月平均氣溫(華氏度).

月份123456

平均氣溫21.426.036.048.859.168.6

月份789101112

平均氣溫73.071.964.753.539.827.7

以月份為X軸，x=月份一1,平均氣溫為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)描出散點(diǎn)圖，并用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；

(2)這個(gè)函數(shù)的周期是多少？

⑶估計(jì)這個(gè)正弦曲線的振幅A;

(4)下面四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)？

=cos;y~46TlXy~4671X

?Af②=COS不;③=COS不;

A-A

公廠26.we

所7一二sin不

解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，如圖所示.

(2)1月份的平均氣溫最低，為21.4華氏度，7月份的平均氣溫最高，為73.0華氏度，根據(jù)散

點(diǎn)圖知科=7—1=6,7=12.

⑶24=最高氣溫一最低氣溫=73.0-21.4=51.6,

???A=25.8.

(4)，?"=月份—1,?'?不妨取x=2—1=1,y=26.0,

代入①，得去=|11>1女05/，???①不適合.

AZD.OO

小、c,口)—4626.0—4671

代入②，付.&=~-<0^cos6)

，②不適合，同理，④不適合，③最適合.

反思感悟處理曲線擬合與預(yù)測(cè)問(wèn)題時(shí)，通常需要以下幾個(gè)步驟

(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點(diǎn)圖.

(2)通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.

(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)『解析』式.

(4)利用函數(shù)『解析』式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，以便為決策和管理提供依

據(jù).

跟蹤訓(xùn)練3下表中給出了在24小時(shí)期間人的體溫的變化（從夜間零點(diǎn)開始計(jì)時(shí)）:

時(shí)間

024681012141618202224

（時(shí)）

溫度

36.836.736.636.736.83737.237.337.437.337.23736.8

（℃）

⑴作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

⑵選有用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這些數(shù)據(jù).

解（1）散點(diǎn)圖如圖所示，

37.6

37.4

37.2

37

36.8-..?

36.6?

36.4

024681012141618202224t/h

(2)設(shè)t時(shí)的體溫y=Asin((y/+(p)+c,

37.4+36.6-I,37.4—36.62兀2兀兀

由表知ymax=37.4,ymin=36.6,則c=2=37,A.-2=0.4,7=24=]2,

由0.4sin(*X16+，+37=37.4,得sin借+，=1,

?25兀,?e571

??9=2攵兀一不，kGZ,取9=一不,

故可用函數(shù)y=0.4sin（，1一引+37來(lái)近似描述這些數(shù)據(jù).

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

---------\---------

)

71D.4,全

C.-3

『答案』C

『解析』相位是5x—?當(dāng)x=0時(shí)的相位為初相即一會(huì)

2.電流強(qiáng)度/(A)隨時(shí)間f(s)變化的關(guān)系式是/=5si1100就+2，則當(dāng)f=4s時(shí)，電流強(qiáng)度/

為()

A.5AB.2.5AC.2AD.-5A

『答案』B

『解析』將代入/=5sin(100?u+1),得/=2.5A.

3.如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置0A為始邊、0B為終邊的角6*(一兀＜