宜昌市重點中學2025屆高一下數(shù)學期末檢測試題含解析

宜昌市重點中學2025屆高一下數(shù)學期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，若，則()A． B． C． D．3．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．設a，b，c為的內角所對的邊，若，且，那么外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．45．已知函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，且，若，，，則、、的大小關系為（）A． B． C． D．6．兩條直線和，，在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．7．某市舉行“中學生詩詞大賽”，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校有800名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間（30，150]內，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復賽資格的人數(shù)為（）A．640 B．520 C．280 D．2408．用數(shù)學歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．9．已知向量，若，則的最小值為（）.A．12 B． C．16 D．10．若直線與函數(shù)的圖象相鄰的兩個交點之間的距離為1,則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期為.12．若首項為，公比為（）的等比數(shù)列滿足，則的取值范圍是________.13．函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．14．兩圓交于點和，兩圓的圓心都在直線上，則____________；15．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場部在對4家商場進行調研時，獲得該產(chǎn)品售價（單位：元）和銷售量（單位：件）之間的四組數(shù)據(jù)如下表，為決策產(chǎn)品的市場指導價，用最小二乘法求得銷售量與售價之間的線性回歸方程，那么方程中的值為___________.售價44.55.56銷售量121110916．已知數(shù)列滿足，，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無窮多個互不相同的整數(shù)，使得.19．已知向量，．（I）若，共線，求的值．（II）若，求的值；（III）當時，求與夾角的余弦值．20．已知等比數(shù)列的前項和為，公比，，．（1）求等比數(shù)列的通項公式；（2）設，求的前項和．21．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，并分別寫出相應的的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴充為長方體，其體對角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進行割補成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.2、B【解析】∵∴又，∴故選B.3、D【解析】

利用夾角公式計算出兩個向量夾角的余弦值，進而求得兩個向量的夾角.【詳解】設兩個向量的夾角為，則，故.故選：D.【點睛】本小題主要考查兩個向量夾角的計算，考查向量數(shù)量積和模的坐標表示，屬于基礎題.4、A【解析】

由得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A=．再利用正弦定理可得2R=，可得R.【詳解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc，根據(jù)余弦定理cosA=，可得cosA=∵A∈（0，π），∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1，故選A【點睛】已知三邊關系，可轉化為接近余弦定理的形式，直接運用余弦定理理解三角形，注意整體代入思想.5、B【解析】

由偶函數(shù)的性質可得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由對數(shù)的性質可得出，由偶函數(shù)的性質得出，比較出、、的大小關系，再利用函數(shù)在區(qū)間上的單調性可得出、、的大小關系.【詳解】，則函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，在該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，，由換底公式得，由函數(shù)的性質可得，對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，，因此，.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調性比較函數(shù)值的大小關系，同時也考查了利用中間值法比較指數(shù)式和代數(shù)式的大小關系，涉及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、A【解析】

由方程得出直線的截距，逐個選項驗證即可.【詳解】由截距式方程可得直線的橫、縱截距分別為，直線的橫、縱截距分別為選項A，由的圖象可得，可得直線的截距均為正數(shù)，故A正確；選項B，只有當時，才有直線平行，故B錯誤；選項C，只有當時，才有直線的縱截距相等，故C錯誤；選項D，由的圖象可得，可得直線的橫截距為正數(shù)，縱截距為負數(shù)，由圖像不對應，故D錯誤；故選：A【點睛】本題考查了直線的截距式方程，需理解截距的定義，屬于基礎題.7、B【解析】

由頻率分布直方圖得到初賽成績大于90分的頻率，由此能求出獲得復賽資格的人數(shù)．【詳解】初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校有800名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間（30，150]內，由頻率分布直方圖得到初賽成績大于90分的頻率為：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴獲得復賽資格的人數(shù)為：0.1×800＝2．故選：B．【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，是基礎題．8、B【解析】

分別求出時左端的表達式，和時左端的表達式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【詳解】由題意知，當時，有，當時，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【點睛】本題主要考查的是歸納推理，需要結合數(shù)學歸納法進行求解，熟知數(shù)學歸納法的步驟，最關鍵的是從到，考查學生仔細觀察的能力，是中檔題.9、B【解析】

根據(jù)向量的平行關系，得到間的等量關系，再根據(jù)“”的妙用結合基本不等式即可求解出的最小值.【詳解】因為，所以，所以，又因為，取等號時即，所以.故選：B.【點睛】本題考查利用基本不等式求解最小值，難度一般.本題是基本不等式中的常見類型問題：已知，則，取等號時.10、A【解析】

先計算周期得到，得到函數(shù)表達式，再根據(jù)中心對稱公式得到答案.【詳解】直線與函數(shù)的圖象相鄰的兩個交點之間的距離為1則的對稱中心橫坐標為：對稱中心為故答案選A【點睛】本題考查了函數(shù)的周期，對稱中心，意在考查學生綜合應用能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：，所以函數(shù)的周期等于考點：1.二倍角降冪公式；2.三角函數(shù)的周期.12、【解析】

由題意可得且，即且，，化簡可得由不等式的性質可得的取值范圍.【詳解】解：，故有且，化簡可得且即故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列極限以及不等式的性質，屬于中檔題.13、.【解析】

將所給的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎題.14、【解析】

由圓的性質可知，直線與直線垂直，，直線的斜率，，解得.故填：3.【點睛】本題考查了相交圓的幾何性質，和直線垂直的關系，考查數(shù)形結合的思想與計算能力，屬于基礎題.15、17.5【解析】

計算，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點即可求得.【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)：；，根據(jù)回歸直線過點，則可得.故答案為：.【點睛】本題考查線性回歸直線方程的性質：即回歸直線經(jīng)過樣本中心點.16、1023【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義以及前項和公式即可．【詳解】因為所以，所以為首先為1公比為2的等比數(shù)列，所以【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項和：屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）見證明【解析】

（1）由，得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得，得到，利用裂項法求得數(shù)列的和，即可作出證明.【詳解】（1）證明：由，得，兩式作差可得：，即，即，又，得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，數(shù)列的通項公式為，又由，所以.所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列“裂項法”求和的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和通項，以及合理利用數(shù)列的“裂項法”求得數(shù)列的前n項和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18、（1）單調遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡為，然后求出函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間，與定義域取交集可得出答案；（2）利用三角函數(shù)圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對中的任意一個，每個區(qū)間內至少有一個整數(shù)使得，從而得出結論.【詳解】（1）.令，解得，所以，函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間為，，因此，函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，由，對于中的任意一個，區(qū)間長度始終為，大于，每個區(qū)間至少含有一個整數(shù)，因此，存在無窮多個互不相同的整數(shù)，使得.【點睛】本題考查正弦型三角函數(shù)單調區(qū)間的求解，同時也考查了利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式，以及三角不等式整數(shù)解的個數(shù)問題，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（I）;（II）;（III）【解析】

（1）根據(jù)題意，由向量平行的坐標公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，則有，結合向量數(shù)量積的坐標可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根據(jù)題意，由x的值可得的坐標，由向量的坐標計算公式可得、和的值，結合，計算可得答案．解：（I）∵與共線，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．20、（1）（2）【解析】

（1）將已知兩式作差，利用等比數(shù)列的通項公式，可得公比，由等比數(shù)列的求和可得首項，進而得到所求通項公式；（2）求得bn＝n，，由裂項相消求和可得答案．【詳解】（1）等比數(shù)列的前項和為，公比，①，②．②﹣①，得，則，又，所以，因為，所以，所以，所以；（2），所以前項和．【點睛】裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和，還有一類隔一項的裂項求和，如或.21、（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）利用和角