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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形2.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.43.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.4.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.6.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.7.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.9.已知,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)11.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.12.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的范圍為___________.14.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為____尺,設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.15.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.16.已知公差大于零的等差數(shù)列中,、、依次成等比數(shù)列,則的值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)已知是的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線在處的切線方程(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).18.(12分)如圖,在三棱錐中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點(diǎn);(2)平面平面.19.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個(gè)開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.20.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E.(1)求證:四邊形ACC1A1為矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.21.(12分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為;(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和,求證:.22.(10分)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點(diǎn).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
對函數(shù)化簡可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性及平移變換,對四個(gè)命題逐個(gè)分析,可選出答案.【詳解】因?yàn)?,所以周?對于①,因?yàn)?,所以,即,故①錯(cuò)誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯(cuò)誤;對于③,令,可得,則,因?yàn)?,所以在上?個(gè)零點(diǎn),且,所以第7個(gè)零點(diǎn),若存在第8個(gè)零點(diǎn),則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因?yàn)?,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于中檔題.3、C【解析】
化簡得到,,再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】,故,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.5、C【解析】
由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,如圖:由底面邊長可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因?yàn)榈街本€的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.7、A【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】
討論的取值范圍,然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.9、D【解析】
由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小,利用作差法,結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以最?。欢蓪?shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形,對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用,作差法比較大小,屬于中檔題.10、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.11、C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,
將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,
再向右平移個(gè)單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為,故選D.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一,經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí).三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知,在上有3個(gè)根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個(gè)根,而含505個(gè)周期,所以在上有3個(gè)根,設(shè),,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時(shí),在上無根,在必有3個(gè)根,則,即,此時(shí);若時(shí),在上有1個(gè)根,注意到,此時(shí)在不可能有2個(gè)根,故不滿足;若時(shí),要使在有2個(gè)根,只需,解得;若時(shí),在上單調(diào)遞增,最多只有1個(gè)零點(diǎn),不滿足題意;綜上,實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點(diǎn),是一道中檔題.14、52【解析】
設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,
則,
解得,即每天增加的數(shù)量為,
,故答案為,52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力,屬于中檔題.15、【解析】
觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個(gè),還有6個(gè)是1陰2陽和1陽2陰各3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?!驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個(gè),全為陰線的一個(gè),1陰2陽的3個(gè),1陽2陰的3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?!鄰?個(gè)卦中任取2卦,共有種可能,兩卦中共2陽4陰的情況有,所求概率為。故答案為:?!军c(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是確定基本事件的個(gè)數(shù)。本題不能受八卦影響,我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù),這樣才能正確地確定基本事件的個(gè)數(shù)。16、【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì),化簡求出公差與的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由于、、依次成等比數(shù)列,則,即,,解得,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),得f'(2)=0建立方程求出a的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(Ⅱ)利用參數(shù)法分離法得到,構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,則,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn),所以,即,所以,因?yàn)椋?,則直線方程為,即;(Ⅱ)因?yàn)?,所以,所以,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,所以,所以,設(shè),則,所以在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是減函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是增函數(shù),因?yàn)闀r(shí),,,,所以當(dāng)時(shí),方程無實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,當(dāng)或時(shí),方程有1個(gè)實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)問題,屬于難題.18、(1)證明見解析;(2)證明見解析;【解析】
(1)推導(dǎo)出,由是的中點(diǎn),能證明是有中點(diǎn).(2)作于點(diǎn),推導(dǎo)出平面,從而,由,能證明平面,由此能證明平面平面.【詳解】證明:(1)在三棱錐中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中點(diǎn),是有中點(diǎn).(2)在三棱錐中,是銳角三角形,在中,可作于點(diǎn),平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的證明,考查面面垂直的證明,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.19、(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計(jì)需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計(jì)需求量的平均數(shù)為:(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴(3)由(2)知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的求法,考查概率的估計(jì),是中檔題,解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用.20、(1)見解析(2)【解析】
(1)通過勾股定理得出
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