我國高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模的處理

我國高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模的處理

---------以人教版、湘教版、蘇教版和北師大版教材為例

作者：

董玉成/徐斌艷

作者簡介：

董玉成，華東師范大學(xué)博士生（上海200062）,新疆師范

大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院及新疆教師教育研究中心講師（新疆烏魯木

齊830054）,主要研究方向為數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)思想、

教師知識；徐斌艷，華東師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主

要研究方向為學(xué)習(xí)理論、數(shù)學(xué)教育及國際比較.

原發(fā)信息：

《課程?教材?教法》（京）2014年第201412期第51-56

頁

期刊名稱：《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》

復(fù)印期號：2015年04期

回顧20世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)教育理念，我們會發(fā)現(xiàn)，自F.克萊因?qū)χ匾?/p>

數(shù)學(xué)應(yīng)用的呼吁，到弗賴登塔爾推動的現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育（realistic

mathematicseducation）,到我國倡導(dǎo)的培養(yǎng)"運用數(shù)學(xué)解決簡單實際

問題的能力"，再到21世紀(jì)各國課程文件紛紛對數(shù)學(xué)建模提出要求，數(shù)

學(xué)的應(yīng)用和建模一直受到關(guān)注和重視.

應(yīng)用和建模在數(shù)學(xué)教育中的價值也同樣得到廣泛、深入的研究.在模型

和建模視角下，教育中的“問題解決"得到超越.有可靠的證據(jù)表明，建模

能在各種層次水平有效施教口］

我國從90年代（如不特別指出，本文均指20世紀(jì)）開始，國外中學(xué)

建模教學(xué)的情況開始得到介紹.隨后，對數(shù)學(xué)建模的教育意義的探討、教學(xué)

實驗以及建?；顒又袑W(xué)生的心理研究等不斷開展起來.

不過，雖然數(shù)學(xué)的應(yīng)用和建模的價值得到了廣泛認(rèn)同，但在學(xué)?；蚪?/p>

室層面的開展遠(yuǎn)沒有達到人們所寄予的厚望.比如，文字題曾經(jīng)作為數(shù)學(xué)應(yīng)

用的標(biāo)志題型被廣泛使用，但往往過分地人工化，求解缺少高水平的認(rèn)知

和元認(rèn)知過程，難以反映對現(xiàn)實的數(shù)學(xué)化.更為嚴(yán)重的是，數(shù)學(xué)文字題的求

解教學(xué)有時被教師分門別類，以致變成了找關(guān)鍵詞的機械性學(xué)習(xí).

一個中德學(xué)生建模能力的比較研究表明，在把建模能力劃分為6個等

級的度量尺度下，中國上海和德國巴登一符騰堡州9、10、11年級一千

余名學(xué)生的平均能力水平分別為1.75和1.81.0由于第一水平為"學(xué)生無

法理解具體的情景，不能識別出任何問題"，所以可以想象，其中相當(dāng)一

部分學(xué)生對于建模是束手無策的.

課程得以實施需要具備兩個基本條件，即合適的師資和充足的課程資

源.在已有師資條件下，教學(xué)資源便成為數(shù)學(xué)建模活動中的最大變量.而在

所有資源中，教科書無疑是最重要的資源.

以下，我們基于國際建模教育研究及我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實驗）》（簡稱為課程標(biāo)準(zhǔn)），以人民教育出版社（A版）、北京師范

大學(xué)出版社、湖南教育出版社以及江蘇教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)教材

（以下簡稱人教版、北師大版、湘教版和蘇教版）為例，對我國教材中的

建模資源進行考察.

一、研究教育中的建模活動的視角和對建模過程的認(rèn)知

人們雖然對數(shù)學(xué)應(yīng)用、建模在數(shù)學(xué)教育中的重要性達成了共識，但對

數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模在數(shù)學(xué)教育中的目的和地位有著不同看法.

在Niss看來，自20世紀(jì)60年代以來，對數(shù)學(xué)建模的角色定位有兩

種不同的基本看法.其一認(rèn)為，在數(shù)學(xué)以外的情境為著數(shù)學(xué)以外的目的使用

數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)本身重要的組成部分，所以數(shù)學(xué)教育的一個基本目的和任務(wù)就

在于使學(xué)生能夠參與到各種水平的建模活動中.其二認(rèn)為，把數(shù)學(xué)應(yīng)用于數(shù)

學(xué)以外的情境可以促進學(xué)生的數(shù)學(xué)積極性，所以數(shù)學(xué)的應(yīng)用和建模的目的

是為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力口］

Kaiser則區(qū)分了從19世紀(jì)末至今6種對數(shù)學(xué)建模的不同看法.（1）

現(xiàn)實主義或?qū)嵱弥髁x建模觀.這種觀點重視建模的功利的或?qū)嶋H的目的，比

如我國所謂培養(yǎng)學(xué)習(xí)者應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力.（2）方法論或理論

化的建模觀.這種觀點注重建模在數(shù)學(xué)和自然界之間建立聯(lián)系的重要功能，

認(rèn)為通過數(shù)學(xué)模型以及對模型的修訂可以達到認(rèn)識自然的目的，像弗賴登

塔爾的數(shù)學(xué)化思想.（3）教育建模觀.強調(diào)建模的教育價值，比如建模能使

學(xué)習(xí)者更好理解世界的本質(zhì)意義以及通過建模能導(dǎo)入新的數(shù)學(xué)概念和方法

的學(xué)習(xí)，并使新概念和方法的意義易于理解.（4）模型誘導(dǎo)和境脈取向.強

調(diào)問題解決和心理目標(biāo)，比如，認(rèn)為建模能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提供情境

化的學(xué)習(xí)環(huán)境，有利于多重的高水平的認(rèn)知或元認(rèn)知參與.（5）社會批判

和社會文化建模觀.強調(diào)對建?；顒拥纳鐣幕瘜傩院蛯δＰ偷呐行岳?/p>

解.（6）建模的認(rèn)知分析.主要關(guān)注對學(xué)生建模過程和數(shù)學(xué)思維的促進分

析

觀點和看法的差異自然導(dǎo)致對如何把數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有

著不同的路徑.

從課程標(biāo)準(zhǔn)對建模的定位來看，包括了實用主義、建模的教育性、模

型誘導(dǎo)等思想.比如，課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方

式，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，提高其實踐

能力；通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生將了解和經(jīng)歷解決實際問題的全過程.

除了數(shù)學(xué)建模的目的、價值、地位，研究者還對它的定義，特別是應(yīng)

包括的步驟進行了不同思考.這些不同思考不僅表現(xiàn)在不同的理論觀點之

中，也表現(xiàn)在理論和實踐之中.

比如，課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)建模是這樣敘述的："數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)思

想、方法和知識解決實際問題的過程"，而實際問題應(yīng)來自“學(xué)生的日常

生活、現(xiàn)實世界、其他學(xué)科等多方面”[4]101-102.而Niss認(rèn)為，數(shù)學(xué)建

模就是用數(shù)學(xué)模型處理數(shù)學(xué)以外某情境的現(xiàn)象（性質(zhì)、特征、關(guān)系、原

理、問題、疑難、議題等）的過程，其中，數(shù)學(xué)模型指建立在數(shù)學(xué)外領(lǐng)域

到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的映射.

也有研究者認(rèn)為："數(shù)學(xué)建模就是在數(shù)學(xué)的幫助下解決復(fù)雜而現(xiàn)實的

問題”.⑸

易見，這三個定義中數(shù)學(xué)所作用的對象是很不一致的，而以課程標(biāo)準(zhǔn)

最為寬泛.

對于建模過程，有論者把它歸為四類.這種分類略去了對模型驗證和解

釋階段差異的考察，僅考察真實情境（RS）、情境模型或情境的心理表征

（SM/MRS）、真實模型（RM）和數(shù)學(xué)模型（MM）在不同類型建模周

期里的關(guān)系.

這四類分別是：（1）RS—SM/MRS—RM—MM;（2）

SM/MRS+RM—MM,在該類型中，SM/MRS與RM混合在一起；

（3）RS—RM—MM,SM/MRS沒有從RM中分離;（4）RS—MM.

類型（1）中的RS—SM意味著研究者對建模過程中個體的認(rèn)知過程

的重視.研究者認(rèn)為，這是建模周期中最重要的過程，意味著對任務(wù)的理解

過程.也有研究者用MRS取代SM,認(rèn)為該術(shù)語能更好描述個體在閱讀給

定建模任務(wù)過程中或閱讀給定建模任務(wù)后所建立的內(nèi)在記憶圖像.

第（2）種類型一般來說指的是解決文字題的過程.文字題本身意味著

對真實情境的簡化，對文字題的分析和解決即可看作一個建模周期.其中，

情境模型和真實模型是融合的.

第（3）種類型是介于第（1）和第（4）之間的一種類型，使用這種

模型周期的研究者更關(guān)注真實的復(fù)雜問題本身及其求解，而較少從心理視

角來考慮.這種模型周期通常用在高中階段.

使用第（4）種建模周期的涉及兩類研究者：一類是那些處理"現(xiàn)實

而復(fù)雜”問題的研究者，在他們看來，建模就是把真實的生活情境轉(zhuǎn)換為

數(shù)學(xué)模型，而無需思考其他；另一類是那些在初中進行建模教學(xué)的研究

者，他們認(rèn)為，對初中生來說，理解真實模型是非常困難的，所以不宜于

區(qū)分更多的建模階段46]

從課程標(biāo)準(zhǔn)中給出的建模過程框圖來看，我國對建模周期的劃分大體

屬于第（4）種類型.不同的是，增加了從實際情境中提出問題的過程.這總

體來看是一個更高的要求，但它是否作為建模過程的出發(fā)點也許可以討論.

對于（1）（3）兩種建模過程，其代表性建模流程圖分別如圖L下

頁圖2.

圖1、圖2直觀地強調(diào)了在建模過程中現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)之間的交互循

環(huán)過程.這種圓環(huán)形式是對最初討論建模時所認(rèn)為的那種靜態(tài)的直線型建模

過程的突破，所以建模過程現(xiàn)在往往稱之為"建模周期"，意味著建模過

程是一個需要不斷檢測和修正的過程.在此過程中，那些更有競爭力的模型

不斷產(chǎn)生出來.這兩種建模流程揭示了真實情境中的問題在轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

之前所要經(jīng)歷的重要過程.這往往為我們所輕視.

回到課程標(biāo)準(zhǔn)，除了前面已介紹的有關(guān)建模的定位、定義和流程，我

們還特別注意到課程標(biāo)準(zhǔn)在對數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的設(shè)置說明中談到：高中數(shù)學(xué)

課程要求把教學(xué)建模思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內(nèi)容之中，并

在高中階段至少安邦取為完整的一次數(shù)學(xué)建?；顒?4]98這意味著課程標(biāo)

準(zhǔn)對建模流程的要求是靈活的.另外，它在對“數(shù)學(xué)建模"專題的"要求”

中提出，學(xué)生"對同樣的問題，可以發(fā)揮自己的特長和個性，從不同的角

度、層次探索解決的方法”[4]102.這意味著問題是開放的.

基于以上分析，我們下面進入對我國教科書中建模部分內(nèi)容的考察.

二、教材中建模內(nèi)容的分析

為簡便起見，這里對建模內(nèi)容的分析僅限于表1中出現(xiàn)的四套教材的

第一冊，不對其他各冊相關(guān)內(nèi)容進行討論.

從這四冊教材的目錄來看，建模專題安排所處位置從教材內(nèi)容上來看

大致相同，都是放在全書的最后，即基本初等函數(shù)I之后（表1）.

因為課程標(biāo)準(zhǔn)要求把建模思想貫穿在各部分教學(xué)內(nèi)容中，所以在分析

建模專題前，我們先對專題前的教材內(nèi)容進行全文本分析，了解四套教材

中提及數(shù)學(xué)模型的次數(shù)和語境情況.

可以發(fā)現(xiàn)，四套教材在不同程度上都提及了"模型""數(shù)學(xué)模型"

"函數(shù)模型”.

人教版教材不僅在章節(jié)的引言部分論及模型，還在介紹具體函數(shù)時聯(lián)

系到模型：不僅討論了特定函數(shù)作為模型在解決實際問題中的應(yīng)用，還把

模型作為引入新概念的工具，如函數(shù)概念的引出.

湘教版的亮點在于涉及應(yīng)用的案例整體更具情境性.在指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)入

中，教材使用了一個“射線在介質(zhì)中的衰減"的"探索問題”.這一探索問

題大體上反映了真實建模的過程.教材還就此介紹了什么是"數(shù)學(xué)模型"，

什么是數(shù)學(xué)建模，并提及數(shù)學(xué)建模就是"把實際問題理想化、簡單化”.這

一安排使不斷提及的數(shù)學(xué)模型的相關(guān)概念落到了實處.

相對于課程標(biāo)準(zhǔn)，四套教材對“數(shù)學(xué)模型”的闡釋更明確和具體.

下面我們具體討論教材中的建模專題.

人教版教材的建模專題由兩部分組成.第一部分是用投資和銷售激勵兩

個案例說明幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度存在重大差異；第二

部分是"函數(shù)模型的應(yīng)用實例"，含汽車行駛、人口增長、桶裝水銷售四

個案例.第四個案例如下：

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表所示(略)：

(1)根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能上匕較近

似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出

這個函數(shù)模型的解析式.

(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，那么這

個地區(qū)一名身高175cm,體重78kg的在校男生的體重是否正常？

解決該問題后，教材寫道："解題過程，體現(xiàn)了根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的

特點，通過建立函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程□教材接著給出

了異于課程標(biāo)準(zhǔn)的建立函數(shù)模型過程的框圖，但沒有給出框圖的文字說

明，也沒有給出數(shù)學(xué)建模的定義和建模過程的一般性說明.人教版教材的案

例多且難度適中，給一線教師提供了豐富且有操作性的資源.

而蘇教版教材使用了三個例題來說明"函數(shù)模型及其應(yīng)用".比如，例

3是這樣的：

在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(X)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f

(x+l)-f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(x

)的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位：元)，其成本函數(shù)

為C(x)=500x+4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.

(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);

(2)利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)是否具有相同的最大值？

教材最后總結(jié)道：通過上述三個例子，我們可以看出，解決實際問題

通常按"實際問題立數(shù)學(xué)模型T導(dǎo)到數(shù)學(xué)結(jié)果一解決實際問題”的程

序進行，其中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵」8］教材同樣沒有給出數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)

建模的定義或說明，也沒有對建模過程進行詳細(xì)解釋.

北師大版教材在"實際問題的函數(shù)建模"一節(jié)以遞進關(guān)系介紹了"實

際問題的函數(shù)刻畫""用函數(shù)模型解決實際問題""函數(shù)建模案例"三部

分內(nèi)容.這三部分內(nèi)容分別包含的例題數(shù)是3、2、1,其中"實際問題的函

數(shù)刻畫”并不是急于直接套用某個具體函數(shù)，而是注重函數(shù)關(guān)系的揭示和

函數(shù)的實際意義為何.其中的兩個案例如下：

問題1當(dāng)人的生活環(huán)境溫度改變時，人體代謝率也有相應(yīng)的變化，表

4-2(略)給出了實驗的一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)能說明什么？

問題3如同4-7(略)，在一條彎曲的河道上，設(shè)置了6個水文監(jiān)測

站，現(xiàn)在需要在河邊建一個情報中心，從各監(jiān)測站沿河邊分別向情報中心

鋪設(shè)專用通信電纜.怎樣刻畫專用電纜的長度？

"函數(shù)建模案例”則提供了一個真實情境的問題，亦即在燒開水時如

何才能做到煤氣最省，并就該問題比較詳細(xì)地展示了"真實情境一真實模

型（煤氣灶旋轉(zhuǎn)鈕的位置影響煤氣流量）一建立數(shù)學(xué)模型（搜集數(shù)據(jù)、擬

合函數(shù)）一求解函數(shù)最值一檢驗（燒水驗證）一反思"的建模全過程.最

后，作者概括了什么是“數(shù)學(xué)建模"以及"建模過程圖"，與課程標(biāo)準(zhǔn)一

致.

總的來看，北師大版教材中選取的案例有開放性，對建模教學(xué)來說有

挑戰(zhàn)性，需要深層次認(rèn)知水平和多策略參與.

湘教版教材的"函數(shù)模型及其應(yīng)用"包括"幾種函數(shù)增長快慢的比

較"和"形形色色的函數(shù)模型"兩部分內(nèi)容.

"幾種函數(shù)增長快慢的比較"通過圖象詳細(xì)比較了指數(shù)函數(shù)、一次函

數(shù)、幕函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長快慢，并以四個有趣且契合學(xué)生關(guān)切的例子

簡單說明了不同函數(shù)增長速度的差異是如何被利用的.

"形形色色的函數(shù)模型"則討論了"數(shù)據(jù)的函數(shù)模擬"和"什么叫做

函數(shù)建模"."數(shù)據(jù)的函數(shù)模擬"主要比較了在數(shù)據(jù)給定的情況下用不同函

數(shù)進行模擬時如何評價何種函數(shù)模型最優(yōu)；"什么叫做函數(shù)建模"用語言

闡釋了什么叫"數(shù)學(xué)建模"，以及數(shù)學(xué)建模過程的四個步驟.

根據(jù)上面對課程標(biāo)準(zhǔn)及國際數(shù)學(xué)建模教育研究情況的介紹，我們對以

上數(shù)據(jù)作進一步討論.

雖然課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為“數(shù)學(xué)建模"是"貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要

內(nèi)容"，”不單獨開設(shè)，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中"，但四套教材還是都

選擇了在第一冊單獨設(shè)立"函數(shù)模型及其應(yīng)用"或"實際問題的函數(shù)建

?！?這可能有利于凸顯數(shù)學(xué)建模這一新內(nèi)容，也便于介紹相關(guān)知識點.

可能是為了體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的"貫穿""滲透"思想，人教版教材在全

冊教材的不同地方提及了"函數(shù)模型"這一語詞.不過這一概念以及"數(shù)學(xué)

模型”都沒有進行定義或解釋，且"建模過程"及框圖沒有放入教材中.

湘教版教材顯然也貫穿了建模理念，同時對"數(shù)學(xué)建模""數(shù)學(xué)模

型"以及"建模過程”進行了定義與解釋，但建模過程的框圖表征也沒有

納入教材.

北師大版教材和蘇教版教材主要采取了集中處理方式.其中，北師大版

教材按課程標(biāo)準(zhǔn)形式解釋了“數(shù)學(xué)建模"和展示了"建模過程”的直觀圖.

不過其建模案例充分闡釋了數(shù)學(xué)建模的過程，超越了所給出的直觀表征圖

的步驟.蘇教版沒有給出相應(yīng)概念的定義與解釋，但提供了建模過程的線性

框圖.

雖然湘教版教材提供了建模過程的詳細(xì)的文字說明，北師大版教材在

案例中體現(xiàn)了完整的建模周期，但總的來看，四套教材都沒有把建模過程

置于重要位置.

正如課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的，實際問題應(yīng)來自“學(xué)生的日常生活、現(xiàn)實世

界、其他學(xué)科等多方面"，所以，四套教材在"函數(shù)模型及其應(yīng)用"中使

用了3~6個不等的實際問題案例，體現(xiàn)了問題來源的多樣性.

從教材中數(shù)學(xué)建模的角色定位來看，數(shù)學(xué)建模在教材中有兩個基本功

能.一是反映函數(shù)模型在解決實際問題中的作用.這是四套教材所著力的，

這從建模專題所處的位置可得到說明.有人把這種建模組織方式稱為"說明

性應(yīng)用"(illustrativeapplications).另一是通過建模引入新的數(shù)學(xué)內(nèi)

容.比如，湘教版通過“射線在介質(zhì)中的衰減”的探索性問題推動指數(shù)函數(shù)

的學(xué)習(xí)具有模型