第2章橢圓的幾何性質

2.5.2橢圓的幾何性質

學習目標核心素養(yǎng)

1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性

質，并正確地畫出它的圖形.

通過橢圓幾何性質的學習，培養(yǎng)直觀

2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利

想象，數(shù)學運算素養(yǎng).

用曲線的方程研究它的性質、圖形.（重

點、難點）

情境趣味導學情境導學。探新知逸?*養(yǎng)辱和.

畬情境引入?助學助教

奧地利維也納金色大廳的頂棚設計為橢圓面，舞臺在這個橢圓面的一個焦點

處.當樂隊在舞臺上演奏時，橢圓面頂棚會把聲音反射到橢圓面的另一個焦點處

匯聚，因此在這個焦點處的聽眾就感到還有另外一個樂隊存在（其實什么都沒

有）.所以能產生很好的聽覺效果.其實這就是利用了本節(jié)課要學習的橢圓的幾

何性質，那么橢圓還有什么其他的幾何性質呢？

匚感知初股口

橢圓的簡單幾何性質

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

\+/=1(46>0)%+'=l(a>b>0)

標準方程

BL楙,

圖形尸

對稱性對稱軸X軸和y軸,對稱中心（0,0）

范圍x^\-b,b\,

yEi\—b,b]y￡[—a,

4（一。,0）,A2（a,0）,31（0,一〃），4（0,—a）,A2（0,a）,

頂點

歷（0,b）8（一40）,B2（b,0）

軸長短軸|8歷尸為，長軸I4A2尸四

隹八、、占八、、Fl（—C,0）,-2（C,0）Fi（0,-c）,BOc）

焦距

\FIF2\=2C

離心率e==（0<e<l）

思考1:橢圓上的點到焦點的最大距離與最小距離分別是什么？

［提示］最大距離：a+c;最小距離：a-c.

思考2：橢圓方程$+冬=1(">8>0)中a,b,c的幾何意義是什么？

［提示］在方程，+*=l(a>/?>0)中，a,b,c的幾何意義如圖所示.即a,

h,c正好構成了一個以對稱中心，一個焦點、一個短軸頂點構成的直角三角形.

m試身羨g

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

?2

⑴橢圓$+*=l(a>b>0)的長軸長等于a.()

(2)橢圓上的點到焦點的距離的最小值a—c.()

⑶橢圓上的離心率e越小，橢圓越圓.()

［答案］(1)X(2)V(3)V

9,2

［提示］(1)X橢圓”+*=的長軸長等于2a.

⑵J橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c,最小值為a—c.

⑶J離心率e=\越小，c就越小，這時。就越接近于a,橢圓就越圓.

2.橢圓6/+y2=6的長軸端點坐標為()

A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)

C.(一#,0),(加，0)D.(0,_?(0,#)

D|>2+卞=1焦點在y軸上，長軸端點坐標為(0,—■\/6),(0,&).］

3.橢圓/+4y2=4的離心率為()

A亞「應n2

/A.?20R.4?2?3

A［化橢圓方程為標準形式得亍+V=1,

所以。2=4,z?2=l,所以c2=/—》2=3.

所以6=(=坐.］

4.橢圓看+得=1的焦點坐標是,頂點坐標是.

22

(0,±\斤)(±3,0),(0,±4)［由方程，+言=1知焦點在y軸上，所以屋=

16,〃=9,c2=a2—/?2=7.

因此焦點坐標為(0,+V7),頂點坐標為(±3,0),(0,±4).］

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學科素養(yǎng)形成

4g型J/橢圓的幾何性質

【例1］求橢圓16^+25/=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂

點的坐標.

［思路探究］化為標準方程，確定焦點位置及。，力，c的值，再研究相應的

幾何性質.

X2V2

［解］把已知方程化成標準方程尹+不=1,可知a=5,/?=4,所以c=3.因

,c3

此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a=10和26=8,離心率e=z=q,兩個焦點

分別是尸1(一3,0)和尸2(3,0),橢圓的四個頂點是Ai(-5,0),42(5,0),Bi(0,-4)

和&(0,4).

］........規(guī)法...........................

1.已知橢圓的方程討論性質時，若不是標準形式的先化成標準形式，再確

定焦點的位置，進而確定橢圓的類型.

2.焦點位置不確定的要分類討論，找準。與江正確利用/=/+c2求出

焦點坐標，再寫出頂點坐標.

提醒：長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應是a,b,c的兩倍.

［J

［跟進訓練］

1.求橢圓4f+9V=36的長軸長和焦距、焦點坐標、頂點坐標和離心率.

［解］將橢圓方程變形為5+^=1,

.,.a=3,b=2,c='\］a2—b2=yj9—4=y［5.

...橢圓的長軸長和焦距分別為2a=6,2c=2小，焦點坐標為后(一小，0),

產20收0),

頂點坐標為4(一3,0),A2(3,O),BI(0,-2),及(0,2),離心率e=；=坐.

A大型2利用幾何性質求橢圓的標準方程

【例2］求適合下列條件的橢圓的標準方程：

⑴與橢圓4?+第=36有相同的焦距，且離心率為手；

(2)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2,—4).

［解］⑴將方程4x2+9y2=36化為卷+：=1,

可得橢圓焦距為2c=2小.又因為離心率e=乎,

即當=乎，所以a=5,從而廬=/一02=25—5=20.

72

若橢圓焦點在X軸上，則其標準方程為羨+勃=1；

.22

+=L

若橢圓焦點在y軸上，則其標準方程為fe20

⑵依題意2a=2X2①即。=24

/y2

若橢圓焦點在x軸上，設其方程為”+方=1(。>〃>0),

ci=2b,

4=68,

則有4,16解得'

力2=17,

所以標準方程磕+右=1?

若橢圓焦點在y軸上，設其方程為，+胃=13>〃>0),

a=2b,

1=32,

則有16.4解得,

障+產1，序=8.

所以標準方程為d+女=1.

o3乙

規(guī)律C方法

利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的基本步驟及注意事項

(1)用幾何性質求橢圓的標準方程通常采用的方法是待定系數(shù)法.

(2)根據(jù)已知條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”，即先明

確焦點的位置或分類討論.一般步驟是：①求出次，序的值；②確定焦點所在的

坐標軸；③寫出標準方程.

(3)在求解層、〃時常用方程(組)思想，通常由已知條件與關系式次=/+,2,

e=：等構造方程(組)加以求解.

提醒：解答本例時容易忽視焦點的位置而漏解.

［跟進訓練］

2.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

⑴長軸長是10,離心率是親

(2)在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.

［解］(1)設橢圓的方程為

5+%=1(4匕>0)或5+*=

c4

由已知得2〃=10,a=5,￡=7=苧，c=4.

/./=/—，=25—16=9.

橢圓方程為點+方=1或5+根=1?

(2)依題意可設橢圓方程為

=l(a>/?>0).

如圖所示，△4以2為一等腰直角三角形，。尸為斜邊44的中線(高),

且|OF|=c,|4聞=242c=6,

；.c=b=3,.,.a2=b2+c2=18,

x2v2

故所求橢圓的方程為謳+g=1.

嶺型3求橢圓的離心率

"呆究問題］

1.求橢圓離心率的關鍵是什么？

［提示］根據(jù)e=5，a2—h2=c2,可知要求e,關鍵是找出a,6c的等量關

系.

2.a,b,c對橢圓形狀有何影響?

［提示］

【例3】已知B,B是橢圓的兩個焦點，過B且與橢圓長軸垂直的直線

交橢圓于A,B兩點，若是正三角形，求該橢圓的離心率.

［思路探究］由題設求得A、B點坐標，根據(jù)△ABB是正三角形得出a,b,

的關系，從而求出離心率.

X~V

［解］設橢圓的方程為u+R=l(a>b>。)，焦點坐標為Q(—c,O),F2(GO).

依題意設A點坐標為1—c,勺),

則3點坐標為(一c,

2b2

：.\AB\=~.

由△ABF'2是正三角形得2c=^義斗，

即小〃=2ag

又???〃=/一。2,.?.小。2-小。2_2。。=0,

兩邊同除以屋得小(；)+2。一小=0,

解得e=》=坐

［母題探究］

1.(變換條件)本例中將條件“過B且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A,B

兩點，若△ABB是正三角形”改為“A為y軸上一點，且AA的中點8恰好在

橢圓上，若△ABB為正三角形”.如何求橢圓的離心率？

fV2

［解］設橢圓的方程為］+R=l(a>b>0),焦點坐標為Q(—c,0),F2(G0),

設A點坐標為(0,yo)(yo>O),

則8點坐標為(一宗?，

VB點在橢圓上，

?￡+心=1

-4?十4/b

解得濟=4戶一年

由△AFF2為正三角形得4層一戎簧2=3/,

即c4—8?2<?+4?4=0,

兩邊同除以/得e4—8e2+4=0,

解得e=y[3—1.

2.(變換條件)“若△ABB是正三角形”換成“橢圓的焦點在x軸上，且A

2

點的縱坐標等于短半軸長的,求橢圓的離心率.

92

解設橢圓方程為了十方=1(4匕＞0),Fi(-c,O),F2(C,O),

由題意知c,在橢圓上，

/4\1~5

???茄玲=1，解得6=竽

「......規(guī)律(方法............................

求橢圓離心率的方法

(1)直接求出a和c,再求e=》也可利用求解.

(2)若。和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式關系，

然后整理成標的形式，并將其視為整體，就變成了關于離心率e的方程，進而求

解.

課堂知識夯實課堂小結。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

r~ih必備:素養(yǎng)二~1

1.已知橢圓的方程討論性質時，若不是標準形式要先化成標準形式，再確

定焦點的位置，找準a、h.

2.利用橢圓的幾何性質求標準方程通常采用待定系數(shù)法.

3.求離心率e時，注意方程思想的運用.

0以致用C

1.橢圓■+氣=1的離心率()

A亞B2

A-4U-16

A[?2=16,Z?2=9,(?=7,從而e="=*"?]

2.若中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的長軸長為18,且兩個焦點恰好將

長軸三等分，則此橢圓的方程是()

A.知+務=iB.薪+'=1

C.肝+得=1D.料導=1

A［由已知得a=9,2c=；X2a,.*.c=|a=3,b2=a2—c2=12.

?2

又焦點在X軸上，橢圓方程為言+3=1.］

o1/Z

3.橢圓^+加產=1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則機的值為

()

A.；B.2

C.1D.4

C［橢圓，+樞產