結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算課件

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算§13-1、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度

1、動(dòng)力荷載的特點(diǎn)。

靜力荷載:施力過程緩慢,不使結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生顯著的加速度,因而是可以略去慣性力影響的荷載。

靜力荷載對結(jié)構(gòu)的影響：靜力荷載作用下，結(jié)構(gòu)處于靜力平衡狀態(tài)，荷載的大小、方向、作用點(diǎn)以及由它引起的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等各種量值都不隨時(shí)間而變化。

動(dòng)力荷載：施力過程較迅速，在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生不容忽視的加速度，必須考慮慣性力的影響。

動(dòng)力荷載對結(jié)構(gòu)的影響：動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)。荷載的大小、方向、作用點(diǎn)以及由它引起的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等各種量值都是時(shí)間的函數(shù)。力系中包括慣性力，計(jì)算中考慮瞬間平衡。2、常見的動(dòng)力荷載及分類

1、周期荷載：荷載隨時(shí)間作周期性變化。（1）簡諧周期荷載：荷載FP(t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用正弦或余弦函數(shù)表示。是周期荷載中最簡單，也是最重要的一種。（2）一般周期荷載：簡諧荷載以外的其它形式的周期荷載。t簡諧荷載FP(t)t周期荷載FP(t)

2、沖擊荷載：在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載急劇增大或急劇減小。（1）作用在結(jié)構(gòu)物上的爆炸沖擊荷載。（2）突加荷載，突然施加于結(jié)構(gòu)并在一定時(shí)間內(nèi)荷載值維持不變。（3）撞擊荷載，物體之間相互撞擊作用，在極短時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)，又突然消失的荷載。

以上為數(shù)定荷載，確定性荷載。t非周期性的爆炸荷載FP(t)3、隨機(jī)荷載（非數(shù)定荷載）：在任一時(shí)刻的數(shù)值無法預(yù)測。（1）地震對建筑物的激振。（2）風(fēng)力的脈沖荷載。（3）波浪對壩體的拍擊。等

動(dòng)力荷載作用可以是分布的，也可以是集中的。其作用位置可以是固定的，也可以是隨時(shí)移動(dòng)的。

本課程在此只討論數(shù)定荷載作用。tüg3、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)根據(jù)達(dá)朗伯(J.leR.d’Alembert)

原理，動(dòng)力計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化為平衡問題來處理。但這是一種動(dòng)平衡，是在引進(jìn)慣性力條件下的平衡。注意兩個(gè)特點(diǎn)：1、在所考慮的力系中包括慣性力。2、這里考慮的平衡是瞬時(shí)平衡，荷載及其引起的內(nèi)力等量值均為時(shí)間的函數(shù)。4、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的：確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，位移等量值隨時(shí)間而變化的規(guī)律，從而找出最大值，作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和驗(yàn)算的依據(jù)。研究結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)是動(dòng)力計(jì)算的一項(xiàng)根本任務(wù)。而結(jié)構(gòu)在受迫振動(dòng)時(shí)各截面的最大內(nèi)力和位移均與結(jié)構(gòu)自身的動(dòng)力特性有關(guān)，即與結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)的頻率和振動(dòng)形式密切相關(guān)。因此，尋求結(jié)構(gòu)自身的自振頻率與振型就成為研究受迫振動(dòng)的前提。（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)（振動(dòng)過程中無外干擾力作用）結(jié)構(gòu)自身的自振頻率ω，

自振周期T，

振動(dòng)形式{Y}，

阻尼性質(zhì)。（2）結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)（振動(dòng)過程中受外干擾力作用）位移、內(nèi)力等：,y(t),y(t)y(t);

M(t),FN(t),FQ(t)5、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的計(jì)算簡圖及自由度。動(dòng)力計(jì)算中由于要考慮慣性力的作用，因此需要研究體系的質(zhì)量分布，即，質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過程中的自由度問題。

自由度：結(jié)構(gòu)（體系）在變形過程中，確定全部質(zhì)量位置所需要的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。

一個(gè)結(jié)構(gòu)（體系）的自由度是指，為了確定運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻，全部質(zhì)量位置所需確定的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目。一般體系都是連續(xù)分布的，屬于無限自由度問題。計(jì)算繁重，一般不必要。簡化通常有兩種方法。

①、集中質(zhì)量法：

集中質(zhì)量（質(zhì)點(diǎn)或剛體）

彈性無重桿

有限個(gè)自由度體系由于對問題的復(fù)雜性和計(jì)算精度的要求不同，同一結(jié)構(gòu)可取不同的計(jì)算簡圖。為了簡化計(jì)算，桿系(受彎)結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，通常假定：

a、略去質(zhì)量的角位移（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），把質(zhì)量視為質(zhì)點(diǎn)。

b、忽略質(zhì)量運(yùn)動(dòng)在結(jié)構(gòu)桿件中產(chǎn)生的軸向變形。y=y(x,t)xymEIln=∞xyy3(t)aaaammmm/2m/2mi=may1(t)y2(t)xymEIly=y(x,t)Wy=y(t)xym=W/g+mlm無限自由度有限自由度②

、廣義坐標(biāo)法把一個(gè)無限自由度體系簡化為有限自由度體系時(shí),可以通過近似地假設(shè)振動(dòng)曲線來實(shí)現(xiàn)。如：其中φ1(x)、φ2(x)、…

φn(x)為滿足位移邊界條件的已知函數(shù)（形狀函數(shù)）。

ak

—待定參數(shù)（廣義坐標(biāo)）。具有分布質(zhì)量的簡支梁是一個(gè)具有無限自由度的體系。簡支梁的撓度曲線可用三角函數(shù)表示：其中：sin(kπx/l)—形狀函數(shù)（滿足位移邊界條件）ak

—待定參數(shù)，廣義坐標(biāo)(坐標(biāo)選定后，由無限多個(gè)廣義坐標(biāo)ak確定y(t))。通常取前幾項(xiàng)。無限自由度簡化為n個(gè)自由度體系。(2)、確定質(zhì)點(diǎn)體系自由度數(shù)目的方法較簡單的可以直接判定。較復(fù)雜的可以采用鏈桿法，即：加入最少數(shù)量的鏈桿，限制體系上所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法來判定。體系的自由度數(shù)目=加入鏈桿數(shù)。m1m2m3例：m1m2m3y1(t)y2(t)y3(t)n=3n=1EI=常數(shù)n=2EI=常數(shù)n=3EI=常數(shù)n=4EIEIEI=∞n=2動(dòng)力自由度的特點(diǎn)：（1）、與質(zhì)量的分布，體系的支承和變形性質(zhì)有關(guān)。（2）、與體系是否有多余約束無確定關(guān)系。（3）、動(dòng)力自由度的數(shù)目不一定等于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目。（4）、動(dòng)力自由度與體系幾何構(gòu)造自由度的異同？共同處：體系運(yùn)動(dòng)形式的獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)。不同處：一為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自由度；一為剛體體系的運(yùn)動(dòng)自由度?！?3-2、單自由度體系的自由振動(dòng)

1、自由振動(dòng)微分方程的建立

（1）、建立動(dòng)平衡方程（剛度法）桿頭作用集中質(zhì)量為m；

梁的剛度系數(shù)為k。（使梁端產(chǎn)生單位位移時(shí)，在梁端所需施加的水平力）振動(dòng)某一時(shí)刻t

，質(zhì)量離開其平衡位置的位移為yd(t)。myd⊿stm靜平衡位置kkmWFe(t)FI(t)取質(zhì)量m為隔離體，在振動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)上所受的力有：（1）、重力W（2）、彈性力Fe(t)

。（3）、慣性力FI(t)mWFe(t)FI(t)彈性力Fe(t)

:

Fe(t)=-ky(t)=-

k

(⊿st+yd)

慣性力FI(t):FI(t)=-m?(t)=-m(⊿st+?

d)‥則動(dòng)力平衡方程：m?d+kyd=0m(⊿st+?d)+k

(⊿st+yd)=W‥

有：W=k

⊿st‥⊿st=0m?+ky=0(13-1)若以靜力平衡位置作為計(jì)算位移的起點(diǎn)，則所得的動(dòng)力位移的微分方程與重力無關(guān)。故：質(zhì)點(diǎn)在慣性力與彈性力的作用下維持動(dòng)力平衡（達(dá)朗伯原理）。故：m?+ky=0

或?qū)懗桑?/p>

?

+k/m·y=0?+ω2y=0(13-2)ω=√k/m即為單自由度體系無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，反映了振動(dòng)的一般規(guī)律。在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)t

，在質(zhì)量m上作用有慣性力FI(t)=-m?，則質(zhì)量在任一瞬時(shí)的位移為：(2)、建立動(dòng)位移方程（柔度法）y

(t)FI(t)靜平衡位置y(t)=FI·δ=-m·?·δ=(-m·?)·k1δ=1/k—彈簧的柔度系數(shù)，即：梁端作用單位力時(shí)，梁端產(chǎn)生的位移。其值與剛度系數(shù)k互為倒數(shù)。y

(t)FI(t)靜平衡位置質(zhì)量m在運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻的位移,等于在當(dāng)時(shí)的慣性力作用下的靜力位移。2、自由振動(dòng)微分方程的解由方程：?+ω2y=0

（13-2）通解：y(t)=Bcosωt

+

Csinωt

B，C由初始條件定。

t=0

y(0)=y0(初位移)

y(0)=y0=v0(初速度)代入通解,可得：

B

=y0,C=v0

/ω

稱為“諧振動(dòng)”。a表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移，稱為振幅；α為初相角。由于cosωt,sinωt都是周期函數(shù)，它們每經(jīng)歷一定時(shí)間，就會出現(xiàn)相同的數(shù)值。若給時(shí)間t一個(gè)增量T=2π/ω，則y,y的數(shù)值均不變。y(t)=y0cosωt+v0

/ωsinωt

（13-3）若令：y0=asinφ,v0/ω=acosφ

y(t)=asin(ωt+α)(13-4)a=y02+v02/ω2α=1tan-1(y0ω

/v0)(13-5)3、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率（1）、周期T—振動(dòng)一次的時(shí)間。對一定體系是常數(shù)。

T=2π/ω

（13-6）

單位“秒（s）”（2）、頻率f—單位時(shí)間的振動(dòng)次數(shù)（也稱為工程頻率）。

f=1/T=ω/2π

（13-7）

單位“1/秒”或稱為“赫茲”圓頻率ω（習(xí)慣上簡稱為頻率，自振頻率）—2π個(gè)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù)。

ω=2π/T=2πf

（13-8）

單位：rad/s

，弧度/秒。（3）、自振周期和頻率計(jì)算公式的幾種形式：

(13-10)kmω==1mδ=gWδ=g⊿stT=2πδm=2πmδ=2πWδg=2πg(shù)⊿st（4）、結(jié)構(gòu)自振周期（頻率）的

一些重要性質(zhì)①、自振周期T（自振頻率ω）只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度（柔度）有關(guān)，與外界干擾因素?zé)o關(guān)。（干擾力的大小只能影響振幅，是初始條件）。②、T與m的平方根成正比（m大，T大）；T與k的平方根成反比（k大，T小）。ω與m的平方根成反比（m大，ω慢）；ω與k的平方根成正比（k大，

ω快）。

改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度入手。③、T（或ω）是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。兩個(gè)外表相似的結(jié)構(gòu)，如T（或ω

）不同，則動(dòng)力性能相差很大。兩個(gè)外表相差很大的結(jié)構(gòu)，如T（或ω

）相同，則動(dòng)力性能基本一致。例:圖示各梁EI=常數(shù),跨中有集中質(zhì)量m,忽略梁本身的質(zhì)量,求各梁的自振周期T和自振頻率ω。解：本題用柔度法比較方便。先求出各梁的δ、T、ω，再進(jìn)行比較。(a)δ=2×(FP=1δFP=1l/4M12l4l223l348EI××)×(l4×)=ω=

ml348EI√T=ml348EIω2π=2π√(b)δ=[(1/2·3l/16·l/2)·(2/3·l/2)-(1/2·5l/32·l/2)·(1/3·l/2)]/EI=7l3/768EIω=768EI/7ml3√T=2π7ml3/768EI√FP=1δFP=13l/165l/32MFP=1l/2M(c)δ=2[(1/2·l/8·l/2)·(2/3·l/2)-(1/2·l/8·l/2)·(1/3·l/2)]/EI=l3/192EIω=192EI/ml3√T=2πml3/192EI√FP=1δFP=1l/8l/8l/8MFP=1l/2M比較:

ω1:ω2:ω3=1:1.512:

2

T1:T2:T3=1:0.66:0.52例:各柱EI=常數(shù),橫梁EI1=∞,各跨橫梁的質(zhì)量均為m,柱的質(zhì)量不計(jì),求體系的自振周期T和自振頻率ω

。解：本題為單自由度體系的自由振動(dòng)問題。當(dāng)柱頂發(fā)生單位水平位移時(shí)，各柱剪力為12EIi/H3。k12EIH324EIH324EIH312EIH3k=72EIH3

∑X=0k=2×12EI/H3+2×24EI/H3=72EI/H3

§13-3、單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)微分方程

1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上作用動(dòng)荷載FP(t)

列動(dòng)平衡方程：∑y=0FI(t)+Fe(t)+FP(t)=0m?+ky=FP(t)?+ω2y=FP(t)/m(13-11)mkEI,lFP(t)y(t)FP(t)FI(t)Fe(t)列動(dòng)位移方程：在運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻t,

y(t)=FI(t)·δ+FP(t)·δmkEI,lFP(t)y(t)FI(t)FP=1δ2、動(dòng)荷載作用在結(jié)構(gòu)的任意位置列動(dòng)位移方程：運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)上作用有假想的慣性力FI(t)。

y(t)=FI(t)·δ11+FP(t)·δ1P=-m?·δ11+FP(t)·δ1Pm?·δ11+y(t)=FP(t)·δ1Pm?+1/δ11

·y=δ1P/δ11·FP(t)令:

δ1P/δ11·FP(t)=FP(t)?+ω2y=FP(t)/mmkEI,lFP(t)y(t)FP=1δ11FP=1δ1PFI(t)3、基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)發(fā)生運(yùn)動(dòng)ug(t),列動(dòng)平衡方程：∑X=0FI(t)+Fe(t)=0m?+ky=-müg(t)令：FP(t)=-müg(t)m?+ky=FP(t)?+ω2y=FP(t)/müg

地面加速度Fe(t)=-ky

FI(t)=-m(?+üg)小結(jié)：1、單自由度體系（SDOF）強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，荷載是否作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上，在微分方程中影響非齊次項(xiàng)。動(dòng)荷載如果不作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上，應(yīng)用FP(t)代替FP(t)。2、注意各項(xiàng)系數(shù)的物理意義和計(jì)算方法。提問：1、第2種情況下，是否可用動(dòng)平衡法列出運(yùn)動(dòng)微分方程？如何列出？2、第3種情況下，是否可用動(dòng)位移法列出運(yùn)動(dòng)微分方程？如何列出？二、簡諧荷載FP(t)=Fsinθt

作用1、簡諧荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)。F—荷載最大值（干擾力幅值）

θ

—簡諧荷載圓頻率

?+ω2y=F/m·sinθt(a)

二階線性非齊次方程齊次解：

y(t)=Bcosωt+Csinωt特解：

y*=A·sinθt特解代入（a）式:(-θ2+ω2)Dsinθt=F

/m·sinθt得：

A=F

/[m(-θ2+ω2)]

y*=F/[m(-θ2+ω2)]·sinθt

=F/[mω2(1-θ2/ω2)]·sinθt通解：若設(shè)零初始條件：代入通解：第一部分稱為伴生自由振動(dòng),由于實(shí)際存在的阻尼，很快衰減。第二部分則按照干擾力的頻率θ振動(dòng)。很快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)階段，或稱為純受迫振動(dòng)階段。此時(shí)有：由于：有：最大動(dòng)位移（即振幅）為：其中：yst—將干擾力幅值視為靜力荷載作用于體系時(shí)引起的位移。令：（13-13）2、動(dòng)力系數(shù)的特性

(1)θ/ω→0，β→1。

y(t)與FP(t)同相,y(t)＞yst

。(2)θ/ω＞1,θ＞ω,β＜0。

y(t)與FP(t)反相。

θ＞＞ω,θ/ω→∞,β→0。(3)θ/ω→1,(θ=ω),β→∞,y(t)→∞。共振。

實(shí)際上由于有阻尼的影響，動(dòng)位移不會趨于無窮，但y(t)＞＞yst。

建筑上一般在0.75≤θ/ω≤1.25

區(qū)域內(nèi)稱為共振區(qū)，應(yīng)避免。11θ/ωβ0.751.253、動(dòng)力位移與動(dòng)力內(nèi)力的計(jì)算（動(dòng)靜法）簡諧荷載FP(t)

=Fsinθt作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上。求得最大動(dòng)力振幅yP=β

·yst

求最大動(dòng)力內(nèi)力時(shí)，將慣性力作用在質(zhì)點(diǎn)上：FI(t)=-m?=mβ

·yst·θ2·sinθt=FI0

·sinθt

無阻尼時(shí)，慣性力幅值FI0與動(dòng)力荷載幅值F同時(shí)達(dá)到最大值。

所以當(dāng)動(dòng)荷載幅值F與慣性力幅值FI0同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上，求出的相應(yīng)內(nèi)力，即為體系的最大動(dòng)內(nèi)力。值得注意的是：當(dāng)荷載作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上，則動(dòng)位移系數(shù)β

=動(dòng)內(nèi)力系數(shù)。此時(shí)：

F+FI0

=βF

故可用β

F

代替F+FI0的作用，將其作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上，所求得的即為結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力。FsinθtFFI0

βFβF=F+FI0

EIlmEIlmEIlm（2）、一般情況（荷載作用在任意位置）在質(zhì)點(diǎn)上加慣性力FI(t)，與原荷載一起，用（動(dòng)）靜力法求體系的位移和內(nèi)力。無阻尼時(shí)，用動(dòng)荷載和慣性力的幅值即可求出體系的最大動(dòng)力反應(yīng)。

注：此時(shí)，不能μFP代替FP和FI0，計(jì)算動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力。FPsinθt

FPFI0

為什么？三、一般動(dòng)荷載作用

FP(t)是一般動(dòng)力荷載，特解不易找出。微分方程為：?(t)+ω2y(t)=FP(t)/m

特解可利用瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)導(dǎo)出。1、瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)（1）、體系t=0時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，突然有瞬時(shí)沖量作用S=FP·Δt，求任意時(shí)刻的動(dòng)力反應(yīng)。

S作用后，體系產(chǎn)生自由振動(dòng)。由于沖量的作用，體系產(chǎn)生初速度。（初位移為零）

v0=S/m=FP·Δt/mFP(t)OtFPΔtS=FP·Δt利用自由振動(dòng)公式：y(t)=y0cosωt+v0

/ω·sinωt

∴y=S/mω·sinωt(13-14)(2)、如在t=τ時(shí)作用瞬時(shí)沖量S，則在以后任一時(shí)刻t（t＞τ）時(shí)的位移為：y(t)=S/mω·sinω(t-τ)FP(t)OtFPt-ττdτtS=FP·dt2、一般動(dòng)力荷載的動(dòng)力反應(yīng)

FP(t)的作用相當(dāng)于連續(xù)沖量的作用。在t=τ

時(shí)，作用荷載為FP(τ)

在微分時(shí)段dτ

內(nèi)產(chǎn)生的沖量為dS=FP(τ)dτ。

此微分沖量引起如下的動(dòng)力反應(yīng)，對于t＞τ:FP(t)Ott-ττdτtdI=FP·dtdy=·sinω(t-τ)mωFP(τ)dτ總反應(yīng)為所有沖量引起的微分反應(yīng)進(jìn)行疊加。（13-15）上式稱為杜哈梅（J.M.C.Duhamel）積分（零初始條件）。即：初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意動(dòng)荷載FP

(t)作用下的位移計(jì)算公式。如在初始條件中，初位移為y0，初速度為v0，則總位移：注：只要知道FP

(t)的表達(dá)式，便可使用上述公式求體系的動(dòng)力反應(yīng)。如荷載未作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上（或地面運(yùn)動(dòng)），可用FP

(t)代替FP

(t)。（13-16）3、討論幾種動(dòng)力荷載的動(dòng)力反應(yīng)（1）、突加荷載0FP(t)tFP0設(shè)：y0=v0=0(t=0時(shí))FP(t)=0t<0FP0

t>0將FP

(t)的表達(dá)式代入（13-15）中,當(dāng)t>0（13-17）

y(t)=yst(1-cosωt)FP0/mω2=

FPδ=yst

[y(t)]max=2yst=2FP/mω2

β=[y(t)]max/yst=2——?jiǎng)恿ο禂?shù)yst0π2π3π4π5π6π7πωt靜位移位置（2）、短期荷載

FP(t)=

0t<0

FP00<t<u0t>uFP(t)tFP0u解：階段Ⅰ：（0≤t≤u

）y(t)=yst(1-cosωt)或y(t)=yst(1-cos2πt/T)階段Ⅱ，有多種作法。①、直接利用杜哈梅積分②、利用自由振動(dòng)公式（用突加荷載公式算出

t

=u時(shí)的位移和速度，作為t≥

u

時(shí)的初始條件）體系最大反應(yīng)（分兩種情況）：①、u>T/2（加載時(shí)間大于半個(gè)自振周期）最大動(dòng)力反應(yīng)發(fā)生在階段Ⅰ，動(dòng)力系數(shù)

β=[y(t)]max/yst=2。

②、u<T/2（加載持續(xù)時(shí)間小于半個(gè)自振周期）

最大動(dòng)力反應(yīng)發(fā)生在階段Ⅱ，

[y(t)]max=yst?2?sin(ωu

/2)

動(dòng)力系數(shù)：β=[y(t)]max/yst=2?sin(ωu/2)=2?sin(πu/T)∴動(dòng)力系數(shù)β

=2sin(πu/T)u

/T<1/22u/T>1/2βu/T1/60.5112

β與

u

/T之間的關(guān)系曲線，稱為“動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜”?！?3-4、阻尼對振動(dòng)的影響

一、阻尼理論對振動(dòng)起阻礙作用的因素稱為阻尼。

阻尼可分為幾種，統(tǒng)稱為阻尼力。1、來自外部介質(zhì)，如空氣、液體的阻力，支承的摩擦等。2、來自物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦和粘著性等。

由于內(nèi)外部阻尼的規(guī)律不同，且與各種建筑材料的性質(zhì)有關(guān)，因而確切地估計(jì)阻尼的作用是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。為此，提出了許多不同的建議，為使計(jì)算較簡單，常用福格第（Voigt）假定：振動(dòng)中物體所受阻尼力與其振動(dòng)速度成正比，稱為粘滯阻尼力。

FC(t)=-cy(t)

c

—

阻尼系數(shù)，粘滯阻尼系數(shù)。（單位N·s/m）二、單自由度體系有阻尼振動(dòng)微分方程由動(dòng)平衡：FI(t)+FC(t)+Fe(t)+FP(t)=0

my(t)+cy(t)+ky(t)=FP(t)(13-22)my(t)+cy(t)+ky(t)=0y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=0ω=√k/mξ=c/2mω—阻尼比(13-24)mkcy(t)mFP(t)FI(t)Fe(t)FC(t)(一)、有阻尼的自由振動(dòng)（13-23）（1）、運(yùn)動(dòng)微分方程的解設(shè)微分方程(15-26)的齊次解為

y(t)=Cert

r由特征方程確定

r2+2ξωr+ω2=0r1，2=ω(-ξ±ξ2–1)√一般解：y(t)=C1er1t+C2er2t

ξ是一個(gè)重要參數(shù)，ξ的大小，使體系的運(yùn)動(dòng)呈不同情況。ξ＞1

ξ=1

ξ＜1

大阻尼

臨界阻尼

小（弱）阻尼①、小(低、弱）阻尼情況方程的一般解為：令：ωr=ω√1-ξ2ri=ωξ±iωr引入初始條件：（13-27）（13-28）②、阻尼對振動(dòng)的影響a、頻率：ωr≈ω,ωr≦ω(Tr=2π/ωr≈T)∵ωr=ω√1-ξ2如ξ很小，計(jì)算ω時(shí)可不考慮阻尼的影響。如ξ＜0.2，則0.96＜ωr/ω＜1,即：ω’

≈ω注:建筑結(jié)構(gòu)物ξ一般很小，約在0.01—0.1之間。

b、振幅：a·e-ξωt

阻尼使振幅不斷衰減，結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中為克服阻力而作功，當(dāng)初始時(shí)刻外界賦予結(jié)構(gòu)的能量全部消耗貽盡，結(jié)構(gòu)停止振動(dòng)。tyykyk+1a·e-ξωt

tkTrtk+1T’=2π/ωr因此：如果ξ＜0.2，則：≈1ωrω而：也可用yk

和yk+n表示兩個(gè)相隔n個(gè)周期的振幅，可得：(13-29)當(dāng)≈1ωrω（2）、臨界阻尼（ξ=1）時(shí)的情況

y(t)=[y0(1+ωt)+v0t]e-ωt（15-34）

體系受干擾后，偏離平衡位置所積蓄的初始能量，在恢復(fù)到平衡位置過程中，全部消耗于克服阻尼的影響，無多余能量引起振動(dòng)。這時(shí)的阻尼稱為“臨界阻尼”。這時(shí)的阻尼常數(shù)稱為臨界阻尼常數(shù)cr。由

c=2mωξ而ξ=1cr

=2mω=2√km(13-30)∴ξ=c/2mω=c/cr臨界阻尼（ξ=1）時(shí)的情況tyoyoθotanθo=vo例：圖示剛架，水平力FP=9.8kN，實(shí)測柱頂側(cè)移y0=0.5cm。突然卸載，使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平振動(dòng)（自由振動(dòng)）測得T=1.50s，y1=0.4cm，求體系阻尼比ξ和阻尼常數(shù)c。FP解：EIEI=∞EIy0=0.5cmω=2π/T=2π/1.5=4.189s-1

c=ξ?2mω=0.035×2×111695×4.189=33220N?s/mm=k/ω2=196×104/(4.189)2=111695kgk=mω2k=FP/y0=(9.8×103)/0.005=196×104N/m三、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程：my(t)+cy(t)+ky(t)=FP(t)y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=FP(t)/m1、簡諧荷載：

FP(t)=Fsinθty(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=F/msinθt討論平穩(wěn)振動(dòng):

y(t)=yPsin(θt-α)(13-35a)(13-36)動(dòng)力系數(shù)：(13-35b)y(t)=yPsin(θt-α)(13-35a)式中：振幅:相位差:與無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)相比,

有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有以下特點(diǎn)：（1）、θ＜＜ω，θ/ω→0，β→1。

由于振動(dòng)很慢,因而慣性力和阻尼力都很小,動(dòng)力荷載主要由結(jié)構(gòu)恢復(fù)力平衡.此時(shí)α→00,位移基本上與荷載同步。(y與FP同步)（2）、θ＞＞ω，θ/ω→∞，β很小。

體系振動(dòng)很快，質(zhì)點(diǎn)近似于作振幅很小的顫動(dòng)。由于振動(dòng)很快，因此慣性力很大，動(dòng)力荷載主要由慣性力平衡。此時(shí)α→1800，位移與荷載反向。

（y與FP反向）（3）、θ≈ω，θ/ω→1，β增加很快,動(dòng)力反應(yīng)即振幅很大。

此時(shí)

α→900，位移y(t)落后于荷載FP(t)大約900，即：FP(t)最大時(shí)，y(t)很小，所以FI(t)和Fe(t)都很小。

此時(shí),FP(t)主要由阻尼力FC(t)來平衡。θ在ω附近時(shí)，阻尼力FC(t)將起重大作用。動(dòng)力系數(shù)明顯受阻尼大小的影響。在0.75＜θ/ω＜1.25之間，阻尼將大大減小簡諧強(qiáng)迫振動(dòng)的位移幅值。

00.51.01.52.0θ/ω4.03.02.01.0βξ=1ξ=0.5ξ=0.2ξ=02、有阻尼一般動(dòng)力荷載作用有阻尼體系（ξ＜1）承受一般動(dòng)力荷載的作用，其反應(yīng)可由杜哈梅積分求出。推導(dǎo)方法與無阻尼體系一致。零初始條件，體系總反應(yīng)：

(13-31)小結(jié)：1、干擾力是否作用在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向上，在動(dòng)力微分方程中只影響右端項(xiàng)。2、強(qiáng)迫振動(dòng)

簡諧荷載：無阻尼：有阻尼：

一般動(dòng)力荷載：無阻尼：有阻尼：（3）、動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)位移，動(dòng)內(nèi)力）的計(jì)算。動(dòng)力設(shè)計(jì)應(yīng)避免在共振區(qū)。共振區(qū)外可按無阻尼計(jì)算。共振區(qū)內(nèi)必須考慮阻尼的影響。EI,lEI,lmmFPFPFP0FP0習(xí)題課：單自由度體系振動(dòng)要求：1、掌握建立動(dòng)力微分方程的方法。2、掌握單自由度體系自振頻率，自振周期的計(jì)算方法。3、會進(jìn)行結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)位移，動(dòng)內(nèi)力等）的計(jì)算。習(xí)題1、求出下圖所示結(jié)構(gòu)（a）、（b）的自振頻率，并比較。（要求列運(yùn)動(dòng)微分方程）lFPsinθtllFPsinθt注意兩結(jié)構(gòu)的變形曲線FPsinθtFPsinθt習(xí)題2：

試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和自振周期。

列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

求當(dāng)θ2/ω2=1/2時(shí)的振幅和彎矩。FP

sintEI=常數(shù)l2l2l11m習(xí)題3：試比較圖示兩結(jié)構(gòu)的自振頻率。設(shè)f為左圖所示簡支梁的柔度系數(shù)。右圖中k=4/f。若在質(zhì)點(diǎn)處作用有Psinθt，求兩個(gè)結(jié)構(gòu)中點(diǎn)位移幅值，并進(jìn)行比較。設(shè)θ2=2ω2,ω為簡支梁(a)的自振頻率，ω2=1/mf

。FP

sintFP

sint習(xí)題4:試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和自振周期。

列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。EI=常數(shù)ml/2l/2Msinθt習(xí)題5：圖示體系各桿EA=24kN，m=1000kg，求水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率ωH，豎向振動(dòng)時(shí)的自振頻率ωV

。（說明：當(dāng)不考慮桿AB的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，本題為兩個(gè)自由度體系。在此，水平位移與豎向位移相互之間不耦連，故可分成兩個(gè)單自由度體系振動(dòng)問題）。習(xí)題6:習(xí)題4結(jié)構(gòu),AB桿跨中作用垂直向下的突加荷載FP(t)=30kN,求Nmax。FP(t)=30kNFP+FI0=60kNmm§13-5、多自由度體系的自由振動(dòng)一、兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)1、建立運(yùn)動(dòng)微分方程（1）、列位移方程(柔度法)：

在運(yùn)動(dòng)的某一瞬時(shí)t,列出質(zhì)量m1，m2所在位置y1(t),y2(t)。即質(zhì)點(diǎn)m1，m2的位移。即：質(zhì)點(diǎn)m1，m2的位移y1(t),y2(t)，是在慣性力FI1(t),FI2(t)共同作用下所產(chǎn)生的“靜力”位移。EI1EI2

mm體系平衡位置y1(t)y2(t)自由振動(dòng)的任一時(shí)刻t，質(zhì)量m1，m2的位移y1(t)、y2(t)，應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)的慣性力FI1(t),FI2(t)作用下所產(chǎn)生的靜力位移。FI1(t)FI2(t)

列位移方程：

y1(t)=-m1?1(t)δ11-m2?2(t)δ12y2(t)=-m1?1(t)δ21–m2?2(t)δ22

(13-47)EI1EI2

mm體系平衡位置y1(t)y2(t)m1?1(t)δ11+m2?2(t)δ12+y1(t)=0m1?1(t)δ21+m2?2(t)δ22+y2(t)=0δij——在自由度j方向加單位力，沿自由度i方向產(chǎn)生的位移系數(shù)。（柔度系數(shù)）寫成矩陣形式：[δ][M]{?}+{y}={0}1δ11δ211δ12δ22y1(t)=-m1?1(t)δ11-m2?2(t)δ12y2(t)=-m1?1(t)δ21–m2?2(t)δ22（1）、列動(dòng)力平衡方程(剛度法)：在運(yùn)動(dòng)的某一瞬時(shí)t，取質(zhì)量m1，m2作為隔離體直接列出運(yùn)動(dòng)微分方程。FI1(t)r1r2FI2(t)慣性力FI1(t)，F(xiàn)I2(t)分別與位移y1，y2方向相反。

彈性力r1，r2分別與位移y1，y2方向相反。r1，r2是質(zhì)量m1、m2與結(jié)構(gòu)之間相互作用力。

FI1(t)+r1=0

FI2(t)+r2=0ri

的大小取決于結(jié)構(gòu)的剛度。FI1(t)r1r2FI2(t)r1r2

r1=k11y1+k12y2

r2=k21y1+k22y2

kij—結(jié)點(diǎn)j發(fā)生單獨(dú)的單位位移⊿j=1時(shí)，在結(jié)點(diǎn)i所需施加的力。（剛度系數(shù)）m1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=0m2?2(t)+k21y1(t)+k22y2(t)=0（13-38）寫成矩陣形式：

k11k21k22k12[M]{?}+[K]{y}={0}(a)

mi

——沿yi

運(yùn)動(dòng)方向的（所有）質(zhì)量。也可不將質(zhì)點(diǎn)分離，按第八章所述的位移法來處理。R1=0R2=0-m1

?1(t)-m2

?2(t)k11k21k22k12R1=k11y1(t)+k12y2(t)+m1

?1(t)=0R2=k21y1(t)+k22y2(t)+m2

?2(t)=0注：（1）、兩個(gè)自由度的各種體系，自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的形式完全相同。只是系數(shù)的值不同。（2）、比較兩式，若：

[δ]-1[δ][M]{?}+[δ]-1{y}={0}則：[M]{?}+[δ]-1{y}={0}可知：[δ]-1=[K]

剛度矩陣與柔度矩陣互逆。2、兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)

的頻率（周期）方程設(shè)二階線性齊次微分方程組的特解為：

y1(t)=Y1sin(ωt+α)

y2(t)=Y2sin(ωt+α)

(a)

即：設(shè)所有質(zhì)點(diǎn)按同一頻率，同一相位作同步簡諧振動(dòng)。但各質(zhì)點(diǎn)的振幅各不相同。

Y1，Y2—質(zhì)點(diǎn)m1，m2的振幅，與初始條件有關(guān)，Y1/Y2=常數(shù)。運(yùn)動(dòng)微分方程k11y1(t)+k12y2(t)+m1?1(t)=0k21y1(t)+k22y2(t)+m2?2(t)=0ω

—體系自振頻率。α

—初相角。

將特解代入公式（13-38），消去公因子。（13-39）稱為自由振動(dòng)基本方程。是幅值Y1，Y2的齊次線性方程。當(dāng)Y1=Y2=0，對應(yīng)于靜止?fàn)顟B(tài)。若要的非零解，則上式中的系數(shù)行列式為零。（13-39）稱為特征方程，或頻率特征方程。展開：上式為ω2的二次方程，可解出：其中：ω1

＜

ω2

不為負(fù)數(shù)?；绢l率

第二圓頻率第一圓頻率相應(yīng)的：

T1=2π/ω1;T2=2π/ω2

由于D=0，方程（13-38）是線性相關(guān)的。因此，只可確定Y1，Y2的比值。即只能確定多自由度體系的振動(dòng)形式，不能確定各質(zhì)點(diǎn)的振幅值。多自由度體系的振型，就是多自由度體系相應(yīng)于各自振頻率的振動(dòng)形式。3、主振型將ω1代入自由振動(dòng)基本方程第一式：

第一振型：

將ω2代入自由振動(dòng)基本方程第一式：第二振型：（13-40a）（13-40b）頻率的數(shù)目與振動(dòng)自由度的數(shù)目相同。主振型特點(diǎn)：（1）、兩質(zhì)點(diǎn)按同一自振頻率ωi

振動(dòng)，只同步振動(dòng)。（2）、位移比（振幅比）為常數(shù)，振型（振動(dòng)形式）不變。Y11Y21Y12Y22主振型即為體系按某一頻率所作的簡諧振動(dòng)。第一振型可視為由慣性力幅值ω21m1Y11和ω21m2Y21所產(chǎn)生的靜力位移。第二振型可視為由慣性力幅值ω22m1Y12和ω22m2Y22所產(chǎn)生的靜力位移。ω12m1Y11ω1

2m2Y21Y11Y21ω22m1Y12ω22m2Y22Y12Y22由上述兩種靜力平衡狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理：(ω12m1Y11)Y12

+(ω12m2Y21)Y22

=(ω22m1Y12)Y11

+(ω22m2Y22)Y21移項(xiàng)后,可得：(ω12

-ω22)(m1Y11

Y12

-m2Y21Y22)=0

如果

ω12≠ω22，則有：m1Y11

Y12-m2Y21

Y22

=0或?qū)憺椋骸苖iYi(1)Yi(2)

=0i=12兩個(gè)主振型之間的正交關(guān)系。主振型即為質(zhì)點(diǎn)位移

y1(i)(t)=Y1(i)sin(ωit+α

i)y2(i)(t)=Y2(i)sin(ωit+α

i)

多自由度體系如果按某個(gè)主振型自由振動(dòng),由于振型保持不變,因此，這個(gè)多自由度體系實(shí)際上是象一個(gè)單自由度體系那樣振動(dòng)。發(fā)生主振動(dòng)的條件：初位移和初速度應(yīng)與主振型相對應(yīng)。4、運(yùn)動(dòng)方程的一般解y1

(t)=A1Y11

sin(ω1t+α1)+A2Y12

sin(ω2t+α2)y2(t)=A1Y21

sin(ω1t+α1)+A2Y22

sin(ω2t+α2)

即為一般情況任意初始條件下的解。A1

，α1，A2，α2由初始條件定。在一般情況下，體系的自由振動(dòng)不再是一個(gè)單一的簡諧振動(dòng)，而是由不同頻率的簡諧振動(dòng)疊加而成的。歸納如下：（1）、在多自由度體系自由振動(dòng)問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。（2）、多自由度體系自振頻率不止一個(gè)，其個(gè)數(shù)與自由度的個(gè)數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。（3）、每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型就是多自由度體系能夠按單自由度體系振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。（4）、與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型也是體系本身的固有性質(zhì)。自振頻率只與體系本身的剛度（柔度）系數(shù)及其質(zhì)量的分布情形有關(guān)，而與外部荷載無關(guān)。

例:

求圖示剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率和相應(yīng)的主振型。m1m2k1k2y1y2解：1、計(jì)算剛度系數(shù)注：將剛度系數(shù)代入（13-39）k11=k1+k2k21=-k2

11k12=-k2k22=k2

（1）、當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=k

時(shí)(2k-ω2m)(k-ω2m)-k2=0解出：第一主振型：將ω1代入（13-40a）：第二主振型：將ω2代入（13-40b）振型示意圖第一主振型第二主振型11.6181-0.618(2)、當(dāng)m1=nm2,k1=nk2

時(shí)[(n+1)k2-ω2

nm2](k2-ω2

nm2)-k22=0主振型：當(dāng)n=90時(shí)：m1=nm2m2k1=nk2k2注意：上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度很小時(shí)，結(jié)構(gòu)頂部位移很大。建筑結(jié)構(gòu)中，由于剛度突變，導(dǎo)致反響巨大，這種現(xiàn)象稱為“鞭稍效應(yīng)”。二、n個(gè)自由度體系m1mimkmn1kik參照（13-38）可寫出動(dòng)平衡方程k11y1(t)+k12y2(t)+…+k1n

yn(t)+m1?1(t)=0k21y1(t)+k22y2(t)+…+k2n

yn(t)+m2?2(t)=0………kn1y1(t)+kn2y2(t)+…+knnyn(t)+mn?n(t)=0寫成矩陣形式：[M]{?}+[K]{y}={0}(13-43b)(13-43a)可縮寫為：（13-43）的解，設(shè)：

{y}

={Y}sin(ωt+α)代入（13-43），消去公因子后，得自由振動(dòng)基本方程：([K]-ω2[M]){Y}={0}(13-44)欲使{Y}有非零解，則必有：[K]-ω2[M]=0（13-45a）解此頻率方程，可以求得n個(gè)頻率。然后，,即可確定體系的振型。令：{Y(i)}表示與頻率ωi相應(yīng)的主振型向量：

把頻率ωi和{Y(i)}代入式(13-44)([K]-ωi2[M]){Y(i)}={0}(13-46)令i=1，2，······，n，可得出n個(gè)向量方程，由此求出n個(gè)主振型向量{Y(1)}，{Y(2)}，······，{Y(n)}。每一個(gè)向量方程([K]-ωi2[M]){Y(i)}={0}均代表n個(gè)聯(lián)立代數(shù)方程，以Y1i，Y2i，······

Yni

，為未知數(shù)。這是一組齊次方程，如果

Y1i，Y2i，······

YnI是方程組的解，則：CY1i，CY2i，······

CYni也是方程組的解。由（13-46）可以唯一地確定主振型{Y(i)}的形狀，但不能唯一地確定它的振幅。標(biāo)準(zhǔn)化主振型：規(guī)定主振型{Y(i)}中的某個(gè)元素為某個(gè)給定值。例如規(guī)定第一個(gè)元素Y1i等于1，或規(guī)定最大的元素等于1。作法2：規(guī)定主振型{Y(i)}滿足下式：{Y(i)}T[M]{Y(i)}=1還有其他作法。作法1：例:

(書例13-5)求圖示體系的自振頻率和主振型。

k,k/3,k/5

分別為一、二、三層的層剛度。解：（1）、自振頻率20-50[K]=k/15-58-30-33200[M]=m010001K11=4k/3K21=-k/3K31=0K22=8k/15K12=-k/3K32=-k/5K33=k/5K23=-k/5K13=0由自由振動(dòng)基本方程：

([K]–ω2[M]){Y}={0}其中，頻率方程：[K]–ω2[M]=0令η=15mω2/k

20-2η-50-58-η-3=00-33-η展開:

2η3-42η2+225η

–225=0由試算法:

η1

=1.293η2

=6.680η3

=13.0272、主振型在此，規(guī)定主振型中的第三個(gè)元素Y3i=1

將η1代入自由振動(dòng)基本方程：

([K]–ω2[M]){Y（1）}={0}

20-2η1-50Y110k/15-58-η1-3Y21=

00-33-η1Y310

17.414-50Y11

0k/15-56.707-3

Y21=

00-31.707

Y310保留后兩個(gè)方程

-5Y11

+6.707Y21

-3Y31

=0

-3Y21+1.707Y31

=0由Y31=1將η2代入自由振動(dòng)基本方程：

Y12-0.924

{Y(2)}=Y22=-1.227Y321.000

Y110.163

{Y(1)}=Y21

=0.569

Y311.000將η3代入自由振動(dòng)基本方程：

Y132.760

{Y(3)}=Y23=-3.342

Y331.000畫出三個(gè)主振型的大致形狀；三、柔度法1、柔度法方程：y1(t)=-m1?1(t)δ11-m2?2(t)δ12y2(t)=-m1?1(t)δ21–m2?2(t)δ22

(13-47)即：設(shè)所有質(zhì)點(diǎn)按同一頻率，同一相位作同步簡諧振動(dòng)。但各質(zhì)點(diǎn)的振幅各不相同。2、設(shè)二階線性齊次微分方程組的特解為：

y1(t)=Y1sin(ωt+α)

y2(t)=Y2sin(ωt+α)(a)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：將（a），（b）代入（13-47）消去公因子后，得：或：為了得到Y(jié)1、

Y2不全為零的解，應(yīng)使系數(shù)行列式等于零，即：稱為特征方程，或頻率特征方程。展開：令：λ=1/ω2

λ2-(δ11m1+δ22m2)λ+m1m2

(δ11δ22-δ12δ21)=0

解得：（13-49）可以求得頻率的兩個(gè)值為：λ1＞λ2ω1＜ω2其中最小頻率ω1稱為第一頻率或基本頻率，而ω2稱為第二頻率。將ω1代入（c）第一式，有：將ω2代入（b）第一式，有：

主振型例:求圖示體系的頻率和主振型。EI=常數(shù)。l/3l/3l/3mmFP1=1FP2=12l/92l/9δ11=δ22=4l3/243EIδ12=δ21=7l3/486EI解：（1）（2）代入（13-49）得：

λ2=（δ11-δ22）m=486EI1ml3

λ1=（δ11+δ22）m=486EI15ml3求得兩個(gè)自振圓頻率：（3）求主振型。由（13-50）振型圖：11第一振型：11第二振型：

可利用對稱性求解:利用對稱性求解,須先估計(jì)大致振型。對于對稱結(jié)構(gòu)，振型必分為正對稱和反對稱兩類。如上題：δ11=15l3/486EIml/6l/31l/3δ22=l3/486EIml/6l/31l/93、n個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)微分方程在運(yùn)動(dòng)的任一時(shí)刻t,作用在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力為FIi=-mi

?i,可列出位移方程。m1mimkmn-m1?1

-mi?i-mk?k

-mn

?n

y1=-m1?1

δ11–m2?2

δ12-…–mi?iδ1i-…–mn?n

δ1n

y2=-m1?1

δ21–m2?2

δ22-…–mi?iδ2i-…–mn?n

δ2n

yi=-m1?1

δi1–m2?2

δi2-…–mi?iδii-…–mn?n

δin

………………yn=-m1?1

δn1–m2?2

δn2-…–mi?iδni-…–mn?n

δnn

(a)可寫成矩陣形式：可縮寫為：[δ][M]{?}+{y}={0}[δ]——稱為柔度矩陣。由位移互等定理δik

=δki可知是一個(gè)對稱方陣。

[M]——質(zhì)量矩陣。在集中質(zhì)量體系中，是一個(gè)對角矩陣。2、運(yùn)動(dòng)微分方程的解設(shè)特解為：

{Y}

={Y}sin(ωt+α)其中：{Y}=[Y1Y2…Yi…Yn]T

稱為

幅值列向量將上式代入微分方程-ω2[δ][M]{Y}+{Y}={0}令：λ=1/ω2,得自由振動(dòng)的基本方程。

（[δ][M]–λ[I]）{Y}={0}（13-51）上式為一個(gè)齊次線形代數(shù)方程組,欲使{Y}有非零解,則系數(shù)行列式必為零，即：D=[δ][M]–λ[I]=0 （13-52）展開式為：………(m1δ11-λ)m2δ12…

mnδ1n(m2δ22-λ)…m1δ21

mnδ2n(mnδnn-λ)…m1δn1m2δn2=0(13-52)

展開(13-52)式：

可解出n個(gè)正的實(shí)根:λ1、

λ2、

λ3、…λn。

求出n個(gè)頻率：ω1、ω2、