《機(jī)械制圖》課件第2章

第二章投影的基本知識(shí)第一節(jié)三投影面體系第二節(jié)點(diǎn)、線、平面的投影基本規(guī)律表達(dá)空間形體形狀結(jié)構(gòu)的工程圖，是采用一種稱為投影法的方法繪制的。了解投影法的基本規(guī)律，是繪制和識(shí)讀工程圖，想象形體空間形狀結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。本章主要介紹投影法的概念，多面投影的形成，點(diǎn)、直線、平面和基本形體的投影規(guī)律。

第一節(jié)三投影面體系

1.1投影法及其分類1.投影法的基本概念將投射線通過(guò)物體向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法稱為投影法。根據(jù)投影法所得到的圖形稱為投影圖(簡(jiǎn)稱投影)。可以想象，要得到投影必須要有三個(gè)元素：光線、形體和承影面。光線可以是平行的(如日光)或者從一個(gè)中心點(diǎn)發(fā)出的(如白熾燈泡發(fā)出的光線)，形體可以是平面的或者是一個(gè)空間立體。投影法中得到投影的承影面通常采用平面，稱為投影面，如圖2-1所示。2．投影法的種類1)中心投影法投影線交匯于一點(diǎn)的投影法稱為中心投影法，如圖2-1所示。投影線的交匯點(diǎn)稱為投影中心，如圖2-1中的S點(diǎn)。用中心投影法繪制出的圖形，符合人的視覺(jué)規(guī)律，因此經(jīng)常用此方法繪制一些需要強(qiáng)調(diào)視覺(jué)效果的圖形，比如建筑效果圖等。由于用中心投影法繪制圖形，方法復(fù)雜，效率低，又不容易進(jìn)行尺寸標(biāo)注，所以在機(jī)械制圖中很少使用。2)平行投影法投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。在平行投影法中，又以投射線與投影面的相對(duì)位置不同分為正投影法和斜投影法。投射線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法，如圖2-2(a)所示，由此法得到的投影圖稱為正投影圖(正投影)。投射線相互平行又不垂直于投影面的平行投影法稱為斜投影法，如圖2-2(b)所示。由此法得到的圖形稱為斜投影圖(斜投影)。由于用正投影法得到的正投影圖能真實(shí)地表達(dá)空間物體的形狀和大小，不僅度量性好，作圖也比較方便，故在機(jī)械工程圖中廣泛應(yīng)用。因此，本課程主要研究正投影法。本書后面各章除特別說(shuō)明外，所述投影均指正投影。1.2正投影的特性制作正投影時(shí)，當(dāng)形體與投影面之間處于某種特殊位置時(shí)，這些形體的投影會(huì)表現(xiàn)出不同的特性。研究這些特性，對(duì)繪制和理解形體的投影圖，有非常重要的作用。1.真實(shí)性當(dāng)物體上的平面(或直線)與投影面平行時(shí)，其投影反映實(shí)形(或?qū)嶉L(zhǎng))，這種投影特性稱為真實(shí)性，如圖2-3(a)所示。2．積聚性當(dāng)物體上的平面(或直線)與投影面垂直時(shí)，則在投影面上的投影積聚為一條線(或一個(gè)點(diǎn))，這種投影特性稱為積聚性，如圖2-3(b)所示。3．類似性當(dāng)物體上的平面(或直線)與投影面傾斜時(shí)，其投影的面積變小(或長(zhǎng)度變短)，但投影的形狀仍與原來(lái)形狀類似，這種投影特性稱為類似性，如圖2-3(c)所示。1.3三面投影如圖2-4所示，三個(gè)不同物體向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此說(shuō)明，一個(gè)投影是不能確定物體的唯一形狀和結(jié)構(gòu)的。為了確定物體的唯一結(jié)構(gòu)形狀，需要采用多個(gè)投影面進(jìn)行正投影。從多個(gè)方向?qū)π误w進(jìn)行觀察和描述，繪制出的視圖可以確定形體的唯一形狀和大小。1．三投影面體系通常選用三個(gè)互相垂直相交的投影面，建立一個(gè)三投影面體系，如圖2-5所示。三個(gè)投影面分別稱為：正立投影面，簡(jiǎn)稱正面，以V表示；水平投影面，簡(jiǎn)稱水平面，以H表示；側(cè)立投影面，簡(jiǎn)稱側(cè)面，以W表示。三個(gè)投影面之間的交線OX、OY、OZ稱為投影軸，三根互相垂直的投影軸的交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)。2．三視圖的形成如圖2-6所示，將物體放在三投影面體系中，用正投影法向三個(gè)投影面投影，就得到了物體的三面投影。該三面投影圖也叫三面視圖，簡(jiǎn)稱三視圖。這是因?yàn)榧傧肴?觀察者)的視線為正投影時(shí)的投射線，并由此觀察得到的結(jié)果而得名。其中：由前向后投射在V面所得的視圖稱為主視圖；由上向下投射在H面所得的視圖稱為俯視圖；由左向右投射在W面所得的視圖稱為左視圖。3．三面投影體系的展開(kāi)為了方便畫圖和看圖，三個(gè)投影面必須假想展開(kāi)、攤平在同一平面(紙面)上。展開(kāi)方法按照規(guī)定為：正面V不動(dòng)；水平面H繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°；側(cè)面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°，如圖2-7所示。三視圖展開(kāi)完成后的配置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方，如圖2-8(a)所示。畫圖時(shí)，投影面的邊框線和投影軸均不必畫出，按上述方法展開(kāi)后，即按投影關(guān)系配置視圖時(shí)，也不需要注明視圖名稱，其名稱由其所在位置即可得出，最后得到的三視圖如圖2-8(b)所示。4．視圖與物體之間的關(guān)系物體上有上、下、左、右、前、后六個(gè)方向的位置關(guān)系，如圖2-9(a)所示。每一個(gè)視圖只反映四個(gè)方向的位置關(guān)系，如圖2-9(b)所示。其中：主視圖反映了物體的左、右、上、下之間的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和高度；俯視圖反映了物體的前、后、左、右之間的位置關(guān)系，即反映物體的寬度和長(zhǎng)度；左視圖反映了物體的前、后、上、下之間的位置關(guān)系，即反映了物體的寬度和高度，如圖2-9(c)所示。5．三視圖之間的投影關(guān)系由上面的討論可知，在三視圖中：主、俯視圖均可反映物體的長(zhǎng)度；主、左視圖均可反映物體的高度；俯、左視圖均可反映物體的寬度，如圖2-10所示。同時(shí)，三視圖又是按上述的規(guī)定方法展開(kāi)的，所以，三個(gè)視圖之間的投影關(guān)系可以總結(jié)為：主、俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正，不僅尺寸相同，位置也要豎直對(duì)齊。主、左視圖——高平齊，不僅尺寸相同，位置也要水平對(duì)齊。俯、左視圖——寬相等，僅為尺寸相同。這個(gè)“三等”關(guān)系就是物體三視圖的投影規(guī)律。它對(duì)于物體整體和局部均是如此，同時(shí)對(duì)于物體上的直線、點(diǎn)也都是適用的，如圖2-10所示。6．畫物體的三視圖下面舉例說(shuō)明運(yùn)用三視圖之間的位置關(guān)系和投影關(guān)系畫出三視圖的方法和步驟。(1)分析物體。分析物體上的面、線與三個(gè)投影面的位置關(guān)系，再根據(jù)正投影特性判斷其投影情況，然后綜合想象出各個(gè)視圖形狀。(2)確定圖幅和比例。根據(jù)物體上最大的長(zhǎng)度、寬度和高度及物體的復(fù)雜程度確定繪圖的圖幅和比例。(3)選擇主視圖的投影方向。以最能反映物體形狀特征和位置特征且使三個(gè)視圖投影虛線少的方向作為主視圖投影方向。(4)布圖畫底圖；畫作圖基準(zhǔn)線、定位線；畫三視圖底圖。從主視圖畫起，三個(gè)視圖配合著畫圖。要保證三個(gè)視圖之間符合長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等的投影關(guān)系。(5)檢查、修改底圖。(6)加深描粗圖線完成三視圖，如圖2-11所示。畫三視圖時(shí)，作圖所需尺寸可在模型(在軸測(cè)圖中可以沿前后、左右或上下三個(gè)方向)上去量，每個(gè)尺寸測(cè)量一次即可。相鄰視圖之間相應(yīng)的投影尺寸關(guān)系可用丁字尺來(lái)保持高相等，用三角板與丁字尺配合起來(lái)保持長(zhǎng)相等，用分規(guī)或作45°斜線來(lái)保持寬相等。模型的三視圖舉例如圖2-12、圖2-13所示。

第二節(jié)點(diǎn)、線、平面的投影基本規(guī)律

2.1點(diǎn)的投影如圖2-15(a)所示，設(shè)有一空間點(diǎn)A，由點(diǎn)A分別向H、V和W面投影，可得到A點(diǎn)的水平投影a、正面投影a′和側(cè)面投影a″。圖中每?jī)蓷l投影線確定一個(gè)平面，它們與三個(gè)投影軸分別相交于aX、aY和aZ，以空間點(diǎn)A、三個(gè)投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原點(diǎn)O為頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體。將各投影面展開(kāi)(展開(kāi)方法如上節(jié)所述)可得A點(diǎn)的投影圖，如圖2-15(b)所示。在點(diǎn)的投影圖中一般不畫出投影面的邊界線，也不標(biāo)出投影面的名稱和投射線與投影軸的交點(diǎn)aX、aY、aZ等，而只畫出坐標(biāo)軸OX、OY、OZ(簡(jiǎn)稱X、Y、Z軸)及點(diǎn)的投影a、a′和a″，如圖2-15(c)所示。如果將三投影面體系看作空間直角坐標(biāo)系，將投影面H、V、W視為坐標(biāo)面，投影軸OX、OY、OZ視為坐標(biāo)軸，則空間點(diǎn)A分別到三個(gè)坐標(biāo)面的距離Aa″、Aa′、Aa可用A點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)XA、YA和ZA表示，記為A(XA、YA、ZA)。同時(shí)，A點(diǎn)的三個(gè)投影a、a′、a″也可用坐標(biāo)來(lái)確定，即水平投影a由XA和YA確定，反映了空間點(diǎn)A到W面和V面的距離Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA確定，反映了空間點(diǎn)A到W面和H面的距離Aa″和Aa；側(cè)面投影a″由YA和ZA確定，反映了空間點(diǎn)A到V面和H面的距離Aa′和Aa。根據(jù)上述分析，可以得到點(diǎn)在三面投影體系中的投影規(guī)律：(1)點(diǎn)的正面、水平投影連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX軸。(2)點(diǎn)的正面、側(cè)面投影連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ軸。(3)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aaX=a″aZ=YA。為了表示aaX?=?a″aZ?=?YA的關(guān)系，常用過(guò)原點(diǎn)O的45°斜線或以O(shè)為圓心的圓弧把水平投影和側(cè)面投影之間的投影連線聯(lián)系起來(lái)，如圖2-15(c)所示。兩種方法只采用一種即可，不必同時(shí)全部繪制出。2.2直線的投影1.直線的投影常見(jiàn)的直線是平面立體的棱線，即兩平面的交線，如圖2-20所示。直線的投影一般仍為直線，也有可能成為一個(gè)點(diǎn)。作直線的投影時(shí)，只需作出確定該直線的任意兩點(diǎn)的投影，將這兩點(diǎn)的同面投影相連，便可得直線的三面投影，如圖2-19(b)和圖2-20所示。另外，已知直線上一點(diǎn)的投影和該直線的方向，也可作出該直線的投影。2．直線分類及其投影特性根據(jù)直線相對(duì)投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線，投影面平行線，投影面垂直線。后兩類線統(tǒng)稱為特殊位置線。空間直線與它的水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角，分別稱為該直線對(duì)投影面H、V、W的傾角，本書中分別用α、β、γ表示，如圖2-20(a)所示。1)一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線，如圖2-20所示。AB為一般位置直線，它與H、V、W的傾角分別用α、β、γ表示，則直線的投影與其實(shí)長(zhǎng)有如下關(guān)系：ABcosα=ab，ABcosβ=a'b'，ABcosγ=a"b"由此可知，一般位置直線的投影特性如下：三個(gè)投影都傾斜于投影軸；三個(gè)投影長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)；三個(gè)投影與各投影軸的夾角不反映直線對(duì)投影面的真實(shí)傾角。2)投影面平行線平行于一個(gè)投影面而與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線稱為投影面的平行線。投影面平行線有水平線、正平線和側(cè)平線三種，表2-1列出了它們的立體圖、投影圖和投影特性。投影面平行線的投影特性如下：直線在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)和對(duì)另兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角；直線的另兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且均小于實(shí)長(zhǎng)。3)投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面(必與另兩個(gè)投影面平行)的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線有鉛垂線、正垂線和側(cè)垂線三種，表2-2列出了它們的立體圖、投影圖和投影特性。投影面垂直線的投影特性如下：直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；直線在另兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸(或同平行于一個(gè)投影軸)，且反映實(shí)長(zhǎng)；垂直位置直線與投影面之間的夾角也是固定的，即此直線與和它垂直的投影面之間的夾角是90°，另外兩個(gè)夾角是0°。例如鉛垂線的α角為90°，另外兩個(gè)夾角為0°，正垂線β角為90°，另外兩個(gè)夾角為0°等等，其余可以類推。3．直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)有以下特性：點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各投影必在該直線的各同面(名)投影上，且點(diǎn)分割直線長(zhǎng)度之比等于點(diǎn)的投影分割直線投影長(zhǎng)度之比。反之，如果點(diǎn)的各面投影均在直線的同面投影上，且分割直線各投影長(zhǎng)度成相同比例，則該點(diǎn)必在此直線上，如圖2-21。如果點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)的投影中至少有一個(gè)投影不在直線的同面投影上，如圖2-22所示。對(duì)于投影面的平行線，必須確定點(diǎn)的投影落在反映直線實(shí)長(zhǎng)的同面投影上，才可確定點(diǎn)在直線上，否則還不能確定。如圖2-23所示，點(diǎn)M和點(diǎn)K的H面投影和V面投影都在直線的同面投影上，僅根據(jù)H面投影和V面投影還不能確定這兩個(gè)點(diǎn)是否在直線上，必須根據(jù)W面投影才能得出結(jié)論，確定點(diǎn)K在直線上，點(diǎn)M不在直線上。如果只有點(diǎn)M和點(diǎn)K的H面投影和V面投影，則可根據(jù)投影分割比例進(jìn)行判斷，如a'k'/k'b'?=?ak/kb，可判斷點(diǎn)K在直線上，a'm'/m'b≠am/mb，可判斷點(diǎn)M不在直線上。4．兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行和相交兩直線均屬于同一平面(共面)的直線，而交叉兩直線則不屬于同一平面(異面)的直線，表2-3列出了它們的投影圖及投影特性。4．兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行和相交兩直線均屬于同一平面(共面)的直線，而交叉兩直線則不屬于同一平面(異面)的直線，表2-3列出了它們的投影圖及投影特性。5．一般位置直線求實(shí)長(zhǎng)和傾角下面介紹兩個(gè)求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角的方法。方法一：利用直角三角形法求直線的實(shí)長(zhǎng)、直線和投影面的夾角。觀察直線兩投影的直觀圖，如圖2-24(a)所示。直線AB在H面和V面上分別有投影ab和a'b'，兩個(gè)投影都不平行于投影軸，這是一個(gè)一般直線。過(guò)空間直線的其中一個(gè)端點(diǎn)B做一條平行于水平投影ab的直線，交A點(diǎn)的投影線于A0點(diǎn)，這樣構(gòu)成一個(gè)直角三角形A0BA。這個(gè)三角形的構(gòu)成情況是：一個(gè)直角邊AA0長(zhǎng)度等于直線的水平投影ab，另一個(gè)直角邊長(zhǎng)度等于直線兩端點(diǎn)A、B到水平投影面的距離之差。由于BA0是一條水平線，在正面的投影平行于OX軸，因此在正面投影中可以很容易地找到兩端點(diǎn)A、B到水平投影面的距離之差。直角三角形A0BA的斜邊即直線的空間實(shí)際長(zhǎng)度，斜邊AB與直角邊BA0的夾角即直線與水平面的夾角α。清楚這個(gè)直角三角形的關(guān)系之后，可以很容易地利用直線的水平投影和正面投影求出直線的實(shí)長(zhǎng)以及直線與水平面的夾角。如圖2-(b)所示，已知直線的兩個(gè)投影ab和a'b'，如圖2-24(c)所示作圖，過(guò)直線的一個(gè)端點(diǎn)的投影繪制一條與直線水平投影ab垂直的直線，在正面投影中求出直線AB到水平投影面距離之差(過(guò)直線的一個(gè)端點(diǎn)畫直線平行與OX軸即可)，在水平投影中繪制的與ab垂直的直線上截取這段長(zhǎng)度(可以用圓規(guī)畫弧的方法)，找到A1點(diǎn)，連接A1點(diǎn)與另一個(gè)端點(diǎn)，繪制斜邊，即可求得直線的實(shí)長(zhǎng)。直線實(shí)長(zhǎng)與直線水平投影ab之間的夾角就是直線的α角。同樣也可以利用直線的水平投影和正面投影求直線的實(shí)長(zhǎng)以及直線的β角。此時(shí)直角三角形的兩個(gè)直角邊分別是直線的正面投影和直線兩端點(diǎn)到正面距離之差。利用直角三角形求直線的實(shí)長(zhǎng)以及直線的β角的空間概念和作圖方法如圖2-25所示。讀者可以根據(jù)圖2-25自己總結(jié)空間推理以及作圖方法。同樣的道理，可以利用直線的側(cè)面投影和另一個(gè)投影求直線的實(shí)長(zhǎng)以及直線的γ角，只是此時(shí)必須利用直線的側(cè)面投影做直角三角形的一個(gè)直角邊?？臻g推理和作圖方法讀者可以自己總結(jié)。方法二：利用換面法求直線的實(shí)長(zhǎng)、直線和投影面的夾角。如圖2-26(a)所示，做一個(gè)新的投影面V1與H面垂直并平行于直線AB，V1與H面的交線為O1X1，O1X1與直線的水平投影ab平行。將直線兩端點(diǎn)A、B分別向新投影面V1投影，得到投影、。從前面已經(jīng)總結(jié)出的投影規(guī)律可以得出：到O1X1的距離反映A點(diǎn)的高度，與a'到OX軸的距離相等；到O1X1的距離反映B點(diǎn)的高度，與b'到OX軸的距離相等；與a點(diǎn)的連線垂直于O1X1；與b點(diǎn)的連線垂直于O1X1。可以利用前面學(xué)習(xí)過(guò)的作圖方法對(duì)圖2-26(b)中的直線投影求實(shí)長(zhǎng)和夾角。作圖方法如圖2-26(c)所示，做軸線O1X1平行于a、b(此距離不限)，分別過(guò)a點(diǎn)和b點(diǎn)做軸線O1X1的垂線，截取到O1X1等于a'到OX軸的距離，截取到O1X1等于b'到OX軸的距離，得到投影、，連接和，即可得到直線AB的實(shí)長(zhǎng)。、與O1X1的夾角，即為直線的α角。同樣，也可以利用換面法在求出直線的實(shí)長(zhǎng)同時(shí)求出直線的β角。這時(shí)要求新投影面垂直于V面同時(shí)平行于直線。作圖時(shí)，要利用直線的正面投影a'b'繪制軸線O1X1，新的投影a1、b1度量時(shí)要利用直線的水平投影a、b到OX軸的距離。空間構(gòu)思過(guò)程和繪圖方法如圖2-27所示。2.3平面的投影1．平面的表示法平面可以用各種幾何要素表示。圖2-28畫出了用不同幾何要素表示平面的直觀圖和投影圖：圖(a)表示用不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一平面；圖(b)表示用一直線與直線外一點(diǎn)確定一平面；圖(c)表示用相交兩直線確定一平面；圖(d)表示用平行兩直線確定一平面；圖(e)表示用任意平面圖形如三角形、四邊形、圓形等確定一平面。2．各種位置平面的投影特性根據(jù)空間平面對(duì)三個(gè)投影面的相對(duì)位置，平面可分為三類：投影面平行面，投影面垂直面，一般位置平面。前兩類平面被稱為特殊平面。1)投影面平行面平行于一個(gè)投影面而垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面分為水平面、正平面和側(cè)平面三種，表2-4列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。投影面平行面的投影特性如下：平面在所平行的投影面上的投影反映空間平面的實(shí)形；平面的另兩個(gè)投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。2)投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面而傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面的垂直面。投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面和側(cè)垂面三種，表2-5列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。投影面垂直面的投影特性如下：平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，該投影與投影軸的夾角分別反映平面對(duì)另兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角；平面的另兩個(gè)投影均為類似形。3)一般位置平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的空間平面稱為一般位置平面。其投影特性為：三個(gè)投影都為縮小的類似形，如圖2-29所示，圖2-19(a)中立體上的三角形截面也是一般位置平面。3．平面上的直線和點(diǎn)1)平面上的直線平面上直線的投影，一定通過(guò)該平面內(nèi)的已知兩點(diǎn)的投影，或通過(guò)該平面上的一個(gè)已知點(diǎn)的投影且平行于該平面內(nèi)的任一直線的投影。如圖2-30所示，在平面ABC中的兩條邊線AB和AC上分別選擇點(diǎn)M、N，找到這兩個(gè)點(diǎn)的兩面投影，連接這兩個(gè)投影即可完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影。由于M、N兩點(diǎn)都在平面ABC內(nèi)，所以直線MN一定在平面ABC內(nèi)。在平面DEF中選擇點(diǎn)K，找到點(diǎn)K的兩面投影，在兩個(gè)投影中都過(guò)點(diǎn)K繪制與平面內(nèi)一條直線的平行線，圖中顯示與直線EF平行，完成直線KL的兩面投影，由于點(diǎn)K在平面DEF中(在直線DE上)，直線KL又與平面內(nèi)的一條直線EF平行，因此直線KL一定在平面DEF內(nèi)。2)平面上的點(diǎn)欲完成平面上點(diǎn)的投影，可先在該平面內(nèi)繪制直線，然后按照直線上點(diǎn)的投影方法，完成平面內(nèi)點(diǎn)的投影，如圖2-31所示。圖2-31(a)中顯示已知平面內(nèi)點(diǎn)K的一面投影，可過(guò)該點(diǎn)繪制平面內(nèi)的直線MN，完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影，然后完成點(diǎn)K的另一面投影；圖2-31(b)中顯示已知平面內(nèi)點(diǎn)K的一面投影，可過(guò)該點(diǎn)與平面內(nèi)的已知點(diǎn)(點(diǎn)A)繪制平面內(nèi)的直線AD，完成平面內(nèi)直線AD的兩面投影，然后完成點(diǎn)K的另一面投影；圖2-31(c)中顯示已知平面內(nèi)點(diǎn)K的一面投影，可過(guò)該點(diǎn)繪制與平面內(nèi)的已知直線平行的直線MN，完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影，然后完成點(diǎn)K的另一面投影。4．求投影面垂直位置平面的實(shí)形前面學(xué)