《機械制圖》課件第2章

第二章投影的基本知識第一節(jié)三投影面體系第二節(jié)點、線、平面的投影基本規(guī)律表達空間形體形狀結構的工程圖，是采用一種稱為投影法的方法繪制的。了解投影法的基本規(guī)律，是繪制和識讀工程圖，想象形體空間形狀結構的基礎。本章主要介紹投影法的概念，多面投影的形成，點、直線、平面和基本形體的投影規(guī)律。

第一節(jié)三投影面體系

1.1投影法及其分類1.投影法的基本概念將投射線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法稱為投影法。根據(jù)投影法所得到的圖形稱為投影圖(簡稱投影)。可以想象，要得到投影必須要有三個元素：光線、形體和承影面。光線可以是平行的(如日光)或者從一個中心點發(fā)出的(如白熾燈泡發(fā)出的光線)，形體可以是平面的或者是一個空間立體。投影法中得到投影的承影面通常采用平面，稱為投影面，如圖2-1所示。2．投影法的種類1)中心投影法投影線交匯于一點的投影法稱為中心投影法，如圖2-1所示。投影線的交匯點稱為投影中心，如圖2-1中的S點。用中心投影法繪制出的圖形，符合人的視覺規(guī)律，因此經(jīng)常用此方法繪制一些需要強調(diào)視覺效果的圖形，比如建筑效果圖等。由于用中心投影法繪制圖形，方法復雜，效率低，又不容易進行尺寸標注，所以在機械制圖中很少使用。2)平行投影法投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。在平行投影法中，又以投射線與投影面的相對位置不同分為正投影法和斜投影法。投射線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法，如圖2-2(a)所示，由此法得到的投影圖稱為正投影圖(正投影)。投射線相互平行又不垂直于投影面的平行投影法稱為斜投影法，如圖2-2(b)所示。由此法得到的圖形稱為斜投影圖(斜投影)。由于用正投影法得到的正投影圖能真實地表達空間物體的形狀和大小，不僅度量性好，作圖也比較方便，故在機械工程圖中廣泛應用。因此，本課程主要研究正投影法。本書后面各章除特別說明外，所述投影均指正投影。1.2正投影的特性制作正投影時，當形體與投影面之間處于某種特殊位置時，這些形體的投影會表現(xiàn)出不同的特性。研究這些特性，對繪制和理解形體的投影圖，有非常重要的作用。1.真實性當物體上的平面(或直線)與投影面平行時，其投影反映實形(或實長)，這種投影特性稱為真實性，如圖2-3(a)所示。2．積聚性當物體上的平面(或直線)與投影面垂直時，則在投影面上的投影積聚為一條線(或一個點)，這種投影特性稱為積聚性，如圖2-3(b)所示。3．類似性當物體上的平面(或直線)與投影面傾斜時，其投影的面積變小(或長度變短)，但投影的形狀仍與原來形狀類似，這種投影特性稱為類似性，如圖2-3(c)所示。1.3三面投影如圖2-4所示，三個不同物體向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此說明，一個投影是不能確定物體的唯一形狀和結構的。為了確定物體的唯一結構形狀，需要采用多個投影面進行正投影。從多個方向對形體進行觀察和描述，繪制出的視圖可以確定形體的唯一形狀和大小。1．三投影面體系通常選用三個互相垂直相交的投影面，建立一個三投影面體系，如圖2-5所示。三個投影面分別稱為：正立投影面，簡稱正面，以V表示；水平投影面，簡稱水平面，以H表示；側立投影面，簡稱側面，以W表示。三個投影面之間的交線OX、OY、OZ稱為投影軸，三根互相垂直的投影軸的交點O稱為原點。2．三視圖的形成如圖2-6所示，將物體放在三投影面體系中，用正投影法向三個投影面投影，就得到了物體的三面投影。該三面投影圖也叫三面視圖，簡稱三視圖。這是因為假想人(觀察者)的視線為正投影時的投射線，并由此觀察得到的結果而得名。其中：由前向后投射在V面所得的視圖稱為主視圖；由上向下投射在H面所得的視圖稱為俯視圖；由左向右投射在W面所得的視圖稱為左視圖。3．三面投影體系的展開為了方便畫圖和看圖，三個投影面必須假想展開、攤平在同一平面(紙面)上。展開方法按照規(guī)定為：正面V不動；水平面H繞OX軸向下旋轉90°；側面W繞OZ軸向右旋轉90°，如圖2-7所示。三視圖展開完成后的配置關系為：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方，如圖2-8(a)所示。畫圖時，投影面的邊框線和投影軸均不必畫出，按上述方法展開后，即按投影關系配置視圖時，也不需要注明視圖名稱，其名稱由其所在位置即可得出，最后得到的三視圖如圖2-8(b)所示。4．視圖與物體之間的關系物體上有上、下、左、右、前、后六個方向的位置關系，如圖2-9(a)所示。每一個視圖只反映四個方向的位置關系，如圖2-9(b)所示。其中：主視圖反映了物體的左、右、上、下之間的位置關系，即反映了物體的長度和高度；俯視圖反映了物體的前、后、左、右之間的位置關系，即反映物體的寬度和長度；左視圖反映了物體的前、后、上、下之間的位置關系，即反映了物體的寬度和高度，如圖2-9(c)所示。5．三視圖之間的投影關系由上面的討論可知，在三視圖中：主、俯視圖均可反映物體的長度；主、左視圖均可反映物體的高度；俯、左視圖均可反映物體的寬度，如圖2-10所示。同時，三視圖又是按上述的規(guī)定方法展開的，所以，三個視圖之間的投影關系可以總結為：主、俯視圖——長對正，不僅尺寸相同，位置也要豎直對齊。主、左視圖——高平齊，不僅尺寸相同，位置也要水平對齊。俯、左視圖——寬相等，僅為尺寸相同。這個“三等”關系就是物體三視圖的投影規(guī)律。它對于物體整體和局部均是如此，同時對于物體上的直線、點也都是適用的，如圖2-10所示。6．畫物體的三視圖下面舉例說明運用三視圖之間的位置關系和投影關系畫出三視圖的方法和步驟。(1)分析物體。分析物體上的面、線與三個投影面的位置關系，再根據(jù)正投影特性判斷其投影情況，然后綜合想象出各個視圖形狀。(2)確定圖幅和比例。根據(jù)物體上最大的長度、寬度和高度及物體的復雜程度確定繪圖的圖幅和比例。(3)選擇主視圖的投影方向。以最能反映物體形狀特征和位置特征且使三個視圖投影虛線少的方向作為主視圖投影方向。(4)布圖畫底圖；畫作圖基準線、定位線；畫三視圖底圖。從主視圖畫起，三個視圖配合著畫圖。要保證三個視圖之間符合長對正、高平齊、寬相等的投影關系。(5)檢查、修改底圖。(6)加深描粗圖線完成三視圖，如圖2-11所示。畫三視圖時，作圖所需尺寸可在模型(在軸測圖中可以沿前后、左右或上下三個方向)上去量，每個尺寸測量一次即可。相鄰視圖之間相應的投影尺寸關系可用丁字尺來保持高相等，用三角板與丁字尺配合起來保持長相等，用分規(guī)或作45°斜線來保持寬相等。模型的三視圖舉例如圖2-12、圖2-13所示。

第二節(jié)點、線、平面的投影基本規(guī)律

2.1點的投影如圖2-15(a)所示，設有一空間點A，由點A分別向H、V和W面投影，可得到A點的水平投影a、正面投影a′和側面投影a″。圖中每兩條投影線確定一個平面，它們與三個投影軸分別相交于aX、aY和aZ，以空間點A、三個投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原點O為頂點可構成一個長方體。將各投影面展開(展開方法如上節(jié)所述)可得A點的投影圖，如圖2-15(b)所示。在點的投影圖中一般不畫出投影面的邊界線，也不標出投影面的名稱和投射線與投影軸的交點aX、aY、aZ等，而只畫出坐標軸OX、OY、OZ(簡稱X、Y、Z軸)及點的投影a、a′和a″，如圖2-15(c)所示。如果將三投影面體系看作空間直角坐標系，將投影面H、V、W視為坐標面，投影軸OX、OY、OZ視為坐標軸，則空間點A分別到三個坐標面的距離Aa″、Aa′、Aa可用A點的三個直角坐標XA、YA和ZA表示，記為A(XA、YA、ZA)。同時，A點的三個投影a、a′、a″也可用坐標來確定，即水平投影a由XA和YA確定，反映了空間點A到W面和V面的距離Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA確定，反映了空間點A到W面和H面的距離Aa″和Aa；側面投影a″由YA和ZA確定，反映了空間點A到V面和H面的距離Aa′和Aa。根據(jù)上述分析，可以得到點在三面投影體系中的投影規(guī)律：(1)點的正面、水平投影連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX軸。(2)點的正面、側面投影連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ軸。(3)點的水平投影到OX軸的距離等于側面投影到OZ軸的距離，即aaX=a″aZ=YA。為了表示aaX?=?a″aZ?=?YA的關系，常用過原點O的45°斜線或以O為圓心的圓弧把水平投影和側面投影之間的投影連線聯(lián)系起來，如圖2-15(c)所示。兩種方法只采用一種即可，不必同時全部繪制出。2.2直線的投影1.直線的投影常見的直線是平面立體的棱線，即兩平面的交線，如圖2-20所示。直線的投影一般仍為直線，也有可能成為一個點。作直線的投影時，只需作出確定該直線的任意兩點的投影，將這兩點的同面投影相連，便可得直線的三面投影，如圖2-19(b)和圖2-20所示。另外，已知直線上一點的投影和該直線的方向，也可作出該直線的投影。2．直線分類及其投影特性根據(jù)直線相對投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線，投影面平行線，投影面垂直線。后兩類線統(tǒng)稱為特殊位置線?？臻g直線與它的水平投影、正面投影、側面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面H、V、W的傾角，本書中分別用α、β、γ表示，如圖2-20(a)所示。1)一般位置直線對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線，如圖2-20所示。AB為一般位置直線，它與H、V、W的傾角分別用α、β、γ表示，則直線的投影與其實長有如下關系：ABcosα=ab，ABcosβ=a'b'，ABcosγ=a"b"由此可知，一般位置直線的投影特性如下：三個投影都傾斜于投影軸；三個投影長度均小于實長；三個投影與各投影軸的夾角不反映直線對投影面的真實傾角。2)投影面平行線平行于一個投影面而與另外兩個投影面傾斜的直線稱為投影面的平行線。投影面平行線有水平線、正平線和側平線三種，表2-1列出了它們的立體圖、投影圖和投影特性。投影面平行線的投影特性如下：直線在所平行的投影面上的投影反映實長和對另兩個投影面的真實傾角；直線的另兩個投影分別平行于相應的投影軸，且均小于實長。3)投影面垂直線垂直于一個投影面(必與另兩個投影面平行)的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線有鉛垂線、正垂線和側垂線三種，表2-2列出了它們的立體圖、投影圖和投影特性。投影面垂直線的投影特性如下：直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點；直線在另兩個投影面上的投影垂直于相應的投影軸(或同平行于一個投影軸)，且反映實長；垂直位置直線與投影面之間的夾角也是固定的，即此直線與和它垂直的投影面之間的夾角是90°，另外兩個夾角是0°。例如鉛垂線的α角為90°，另外兩個夾角為0°，正垂線β角為90°，另外兩個夾角為0°等等，其余可以類推。3．直線上的點直線上的點有以下特性：點在直線上，則點的各投影必在該直線的各同面(名)投影上，且點分割直線長度之比等于點的投影分割直線投影長度之比。反之，如果點的各面投影均在直線的同面投影上，且分割直線各投影長度成相同比例，則該點必在此直線上，如圖2-21。如果點不在直線上，則點的投影中至少有一個投影不在直線的同面投影上，如圖2-22所示。對于投影面的平行線，必須確定點的投影落在反映直線實長的同面投影上，才可確定點在直線上，否則還不能確定。如圖2-23所示，點M和點K的H面投影和V面投影都在直線的同面投影上，僅根據(jù)H面投影和V面投影還不能確定這兩個點是否在直線上，必須根據(jù)W面投影才能得出結論，確定點K在直線上，點M不在直線上。如果只有點M和點K的H面投影和V面投影，則可根據(jù)投影分割比例進行判斷，如a'k'/k'b'?=?ak/kb，可判斷點K在直線上，a'm'/m'b≠am/mb，可判斷點M不在直線上。4．兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行和相交兩直線均屬于同一平面(共面)的直線，而交叉兩直線則不屬于同一平面(異面)的直線，表2-3列出了它們的投影圖及投影特性。4．兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行和相交兩直線均屬于同一平面(共面)的直線，而交叉兩直線則不屬于同一平面(異面)的直線，表2-3列出了它們的投影圖及投影特性。5．一般位置直線求實長和傾角下面介紹兩個求一般位置直線的實長和傾角的方法。方法一：利用直角三角形法求直線的實長、直線和投影面的夾角。觀察直線兩投影的直觀圖，如圖2-24(a)所示。直線AB在H面和V面上分別有投影ab和a'b'，兩個投影都不平行于投影軸，這是一個一般直線。過空間直線的其中一個端點B做一條平行于水平投影ab的直線，交A點的投影線于A0點，這樣構成一個直角三角形A0BA。這個三角形的構成情況是：一個直角邊AA0長度等于直線的水平投影ab，另一個直角邊長度等于直線兩端點A、B到水平投影面的距離之差。由于BA0是一條水平線，在正面的投影平行于OX軸，因此在正面投影中可以很容易地找到兩端點A、B到水平投影面的距離之差。直角三角形A0BA的斜邊即直線的空間實際長度，斜邊AB與直角邊BA0的夾角即直線與水平面的夾角α。清楚這個直角三角形的關系之后，可以很容易地利用直線的水平投影和正面投影求出直線的實長以及直線與水平面的夾角。如圖2-(b)所示，已知直線的兩個投影ab和a'b'，如圖2-24(c)所示作圖，過直線的一個端點的投影繪制一條與直線水平投影ab垂直的直線，在正面投影中求出直線AB到水平投影面距離之差(過直線的一個端點畫直線平行與OX軸即可)，在水平投影中繪制的與ab垂直的直線上截取這段長度(可以用圓規(guī)畫弧的方法)，找到A1點，連接A1點與另一個端點，繪制斜邊，即可求得直線的實長。直線實長與直線水平投影ab之間的夾角就是直線的α角。同樣也可以利用直線的水平投影和正面投影求直線的實長以及直線的β角。此時直角三角形的兩個直角邊分別是直線的正面投影和直線兩端點到正面距離之差。利用直角三角形求直線的實長以及直線的β角的空間概念和作圖方法如圖2-25所示。讀者可以根據(jù)圖2-25自己總結空間推理以及作圖方法。同樣的道理，可以利用直線的側面投影和另一個投影求直線的實長以及直線的γ角，只是此時必須利用直線的側面投影做直角三角形的一個直角邊?？臻g推理和作圖方法讀者可以自己總結。方法二：利用換面法求直線的實長、直線和投影面的夾角。如圖2-26(a)所示，做一個新的投影面V1與H面垂直并平行于直線AB，V1與H面的交線為O1X1，O1X1與直線的水平投影ab平行。將直線兩端點A、B分別向新投影面V1投影，得到投影、。從前面已經(jīng)總結出的投影規(guī)律可以得出：到O1X1的距離反映A點的高度，與a'到OX軸的距離相等；到O1X1的距離反映B點的高度，與b'到OX軸的距離相等；與a點的連線垂直于O1X1；與b點的連線垂直于O1X1。可以利用前面學習過的作圖方法對圖2-26(b)中的直線投影求實長和夾角。作圖方法如圖2-26(c)所示，做軸線O1X1平行于a、b(此距離不限)，分別過a點和b點做軸線O1X1的垂線，截取到O1X1等于a'到OX軸的距離，截取到O1X1等于b'到OX軸的距離，得到投影、，連接和，即可得到直線AB的實長。、與O1X1的夾角，即為直線的α角。同樣，也可以利用換面法在求出直線的實長同時求出直線的β角。這時要求新投影面垂直于V面同時平行于直線。作圖時，要利用直線的正面投影a'b'繪制軸線O1X1，新的投影a1、b1度量時要利用直線的水平投影a、b到OX軸的距離。空間構思過程和繪圖方法如圖2-27所示。2.3平面的投影1．平面的表示法平面可以用各種幾何要素表示。圖2-28畫出了用不同幾何要素表示平面的直觀圖和投影圖：圖(a)表示用不在同一條直線上的三點確定一平面；圖(b)表示用一直線與直線外一點確定一平面；圖(c)表示用相交兩直線確定一平面；圖(d)表示用平行兩直線確定一平面；圖(e)表示用任意平面圖形如三角形、四邊形、圓形等確定一平面。2．各種位置平面的投影特性根據(jù)空間平面對三個投影面的相對位置，平面可分為三類：投影面平行面，投影面垂直面，一般位置平面。前兩類平面被稱為特殊平面。1)投影面平行面平行于一個投影面而垂直于另外兩個投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面分為水平面、正平面和側平面三種，表2-4列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。投影面平行面的投影特性如下：平面在所平行的投影面上的投影反映空間平面的實形；平面的另兩個投影均積聚為平行于相應投影軸的直線。2)投影面垂直面垂直于一個投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面的垂直面。投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面和側垂面三種，表2-5列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。投影面垂直面的投影特性如下：平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，該投影與投影軸的夾角分別反映平面對另兩個投影面的真實傾角；平面的另兩個投影均為類似形。3)一般位置平面對三個投影面都傾斜的空間平面稱為一般位置平面。其投影特性為：三個投影都為縮小的類似形，如圖2-29所示，圖2-19(a)中立體上的三角形截面也是一般位置平面。3．平面上的直線和點1)平面上的直線平面上直線的投影，一定通過該平面內(nèi)的已知兩點的投影，或通過該平面上的一個已知點的投影且平行于該平面內(nèi)的任一直線的投影。如圖2-30所示，在平面ABC中的兩條邊線AB和AC上分別選擇點M、N，找到這兩個點的兩面投影，連接這兩個投影即可完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影。由于M、N兩點都在平面ABC內(nèi)，所以直線MN一定在平面ABC內(nèi)。在平面DEF中選擇點K，找到點K的兩面投影，在兩個投影中都過點K繪制與平面內(nèi)一條直線的平行線，圖中顯示與直線EF平行，完成直線KL的兩面投影，由于點K在平面DEF中(在直線DE上)，直線KL又與平面內(nèi)的一條直線EF平行，因此直線KL一定在平面DEF內(nèi)。2)平面上的點欲完成平面上點的投影，可先在該平面內(nèi)繪制直線，然后按照直線上點的投影方法，完成平面內(nèi)點的投影，如圖2-31所示。圖2-31(a)中顯示已知平面內(nèi)點K的一面投影，可過該點繪制平面內(nèi)的直線MN，完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影，然后完成點K的另一面投影；圖2-31(b)中顯示已知平面內(nèi)點K的一面投影，可過該點與平面內(nèi)的已知點(點A)繪制平面內(nèi)的直線AD，完成平面內(nèi)直線AD的兩面投影，然后完成點K的另一面投影；圖2-31(c)中顯示已知平面內(nèi)點K的一面投影，可過該點繪制與平面內(nèi)的已知直線平行的直線MN，完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影，然后完成點K的另一面投影。4．求投影面垂直位置平面的實形前面學