2025屆北京東城55中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆北京東城55中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．等差數(shù)列的前n項和為，且，，則(

)A．10 B．20 C． D．2．已知數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．3．已知底面半徑為1，體積為的圓柱，內(nèi)接于一個高為圓錐（如圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，則從點A繞圓錐的側(cè)面到點B的最短距離為（）A．8 B． C． D．44．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．645．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的傾斜角為（）A． B． C． D．6．下列函數(shù)所具有的性質(zhì)，一定成立的是（）A． B．C． D．7．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐P﹣ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點，則異面直線AB與CE所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形10．某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗該廠家產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A．16 B．24 C．32 D．48二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_______.12．已知是第二象限角，且，且______.13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出結(jié)果_____.14．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.15．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________16．在數(shù)列中，，，，則_____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知在直角三角形ABC中，，（如右圖所示）（Ⅰ）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征并求所得幾何體的表面積.（Ⅱ）一只螞蟻在問題（Ⅰ）形成的幾何體上從點B繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點B，求螞蟻爬行的最短距離.18．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域；（3）令，討論函數(shù)零點的個數(shù).19．已知向量，向量為單位向量，向量與的夾角為.（1）若向量與向量共線，求；（2）若與垂直，求.20．如圖，某小區(qū)有一塊半徑為米的半圓形空地，開發(fā)商計劃在該空地上征地建一個矩形的花壇和一個等腰三角形的水池EDC，其中為圓心，在圓的直徑上，在半圓周上.（1）設(shè)，征地面積為，求的表達式，并寫出定義域；（2）當(dāng)滿足取得最大值時，建造效果最美觀.試求的最大值，以及相應(yīng)角的值.21．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時，求不等式的解集；（2）若，，的最小值為2，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，即可得出．【詳解】解：由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

再遞推一步，兩個等式相減，得到一個等式，進行合理變形，可以得到一個等比數(shù)列，求出通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式，最后求出，選出答案即可.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減化簡得：，而，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此有，所以，故本題選A.【點睛】本題考查了已知數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式的問題，考查了等比數(shù)列的判斷以及通項公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】

先求解圓錐的底面半徑,再根據(jù)側(cè)面展開圖的結(jié)構(gòu)計算扇形中間的距離即可.【詳解】設(shè)圓柱的高為,則,得.因為,所以為的中位線,所以,則.即圓錐的底面半徑為1,母線長為4,則展開后所得扇形的弧長為,圓心角為.所以從點A繞圓錐的側(cè)面到點B的最短距離為.故選：C.【點睛】本題主要考查了圓柱與圓錐內(nèi)切求解有關(guān)量的問題以及圓錐的側(cè)面積展開求距離最小值的問題.屬于中檔題.4、A【解析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.5、B【解析】

設(shè)直線的傾斜角為，，，可得，解得．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，．，解得．故選：B．【點睛】本題考查直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

結(jié)合反三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，對于A中，令，則，所以不正確；對于C中，根據(jù)反正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以是錯誤的；對于D中，函數(shù)當(dāng)時，則滿足，所以不正確，故選：B.【點睛】本題主要考查了反三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記反三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由異面直線所成角的定義及求法，得到為所求，連接，由為直角三角形，即可求解．【詳解】在四棱錐中，，可得即為異面直線與所成角，連接，則為直角三角形，不妨設(shè)，則，所以,故選B．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的作法及求法，其中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】試題分析：的方程變形為，圓心為考點：圓的方程9、C【解析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，與不平行，∴四邊形ABCD為梯形．10、B【解析】

根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因為分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點睛】本題考查分層抽樣，依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故答案為：1.【點睛】本題考查了等差中項的運算，重點考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后利用誘導(dǎo)公式可求出的值.【詳解】是第二象限角，則，由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】

弄清程序框圖的算法功能是解題關(guān)鍵．由模擬執(zhí)行程序，可知，本程序的算法功能是計算的值，依據(jù)數(shù)列求和方法——并項求和，即可求出．【詳解】根據(jù)程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出，輸出的為1．【點睛】本題主要考查了含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的算法功能的理解以及數(shù)列求和的基本方法——并項求和法的應(yīng)用．正確得到程序框圖的算法功能，選擇合適的求和方法是解題的關(guān)鍵．14、【解析】

取半正多面體的截面正八邊形，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，考查了空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.15、2【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，為一個底面是直角梯形的四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，分別求出其底面積和高，求出體積，得到答案.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，幾何體是一個底面是直角梯形的四棱錐，由三視圖可知，其底面積為，高所以幾何體的體積為.故答案為.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體，求四棱錐的體積，屬于簡單題.16、5【解析】

利用遞推關(guān)系式依次求值，歸納出：an+6=an，再利用數(shù)列的周期性，得解.【詳解】∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），∴a3=a2-a1=5-1=4，同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，∴an+6=an．則a2018=a6×336+2=a2=5【點睛】本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）幾何體為以為半徑，高的圓錐，（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．（Ⅱ）利用側(cè)面展開圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【詳解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，則，其表面積為.（Ⅱ）由問題（Ⅰ）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點的距離，，在中，由余弦定理得：【點睛】本題考查了圓錐的表面積以及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有且僅有一個零點【解析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；（2）由題意得，對兩邊同時平方得，求出的取值范圍即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.【詳解】（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域為令，由，可得，所以，，故即，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.（2）由，，故，，當(dāng)時，，有，可得：，故，由，可得，故函數(shù)的值域為，（3）由（2）知，則，令，則，令，①當(dāng)時，，此時函數(shù)沒有零點，故函數(shù)也沒有零點；②當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，，故函數(shù)有一個零點，又由函數(shù)單調(diào)遞增，可得函數(shù)也只有一個零點；③當(dāng)時，，二次函數(shù)開口向下，對稱軸，又，，此時函數(shù)沒有零點，故函數(shù)也沒有零點.綜上，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明、值域的求解和零點問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討論思想，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）共線向量夾角為0°或180°，由此根據(jù)定義可求得兩向量數(shù)量積．（2）由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的當(dāng)量積為0，從而求得，也就求得，再由余弦的二倍角公式可得．【詳解】法一（1），故或向量，向量法二（1），設(shè)即或或（2）法一：依題意，，故法二：設(shè)即，又或【點睛】本題考查向量共線，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查平面向量的數(shù)量積運算．解題時按向量數(shù)量積的定義計算即可．20、(1)(2)最大值為，此時【解析】

（1）連接，在中，求出，進而求出面積以及角的范圍；（2）令，再求出的范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求出最大值，以及相應(yīng)角的值.【詳解】（1）連接，在中，，（2），令，因為，所以，所以因為在上單調(diào)遞增，所以時有最大值為，此時