2025屆甘肅省甘南高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆甘肅省甘南高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數(shù)的部分圖象如圖所示，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．函數(shù)與的圖象均關(guān)于直線對稱C．函數(shù)與的圖象均關(guān)于點對稱D．函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增3．已知，，且，，則的值為（）A． B．1 C． D．4．已知，，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值等于（）.A． B． C． D．5．記為實數(shù)中的最大數(shù).若實數(shù)滿足則的最大值為（）A． B．1 C． D．6．在中，若，，，則（）A．， B．，C．， D．，7．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．8．已知向量，則與夾角的大小為()A． B． C． D．9．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．現(xiàn)有1瓶礦泉水，編號從1至1．若從中抽取6瓶檢驗，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在中，，則____________.12．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.13．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，則x的值為_________.14．在中，已知M是AB邊所在直線上一點，滿足，則________.15．已知函數(shù)的最小正周期為，若將該函數(shù)的圖像向左平移個單位后，所得圖像關(guān)于原點對稱，則的最小值為________.16．為等比數(shù)列，若，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過F1的直線l（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．19．已知直線截圓所得的弦長為．直線的方程為．（1）求圓的方程；（2）若直線過定點，點在圓上，且，為線段的中點，求點的軌跡方程.20．在數(shù)列中，，.（1）分別計算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.21．數(shù)列的前n項和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對不難，注意正弦定理的靈活運用.2、D【解析】

由三角函數(shù)圖像可得，，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)逐一判斷即可得解.【詳解】解：由函數(shù)的部分圖象可得,,即,則，又函數(shù)圖像過點，則，即，又，即，即，則對于選項A，顯然錯誤；對于選項B，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即B錯誤；對于選項C，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即C錯誤；對于選項D，函數(shù)的增區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，又，，即D正確，故選：D.【點睛】本題考查了利用三角函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，重點考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬中檔題.3、A【解析】

由已知求出，的值，再由，展開兩角差的余弦求解，即可得答案．【詳解】由，，且，，，，∴，∴，．故選：A．【點睛】本題考查兩角和與差的余弦、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意“拆角配角”思想的運用.4、A【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當，即時取等號．考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．5、B【解析】

先利用判別式法求出|x|,|y|,|z|的取值范圍，再判斷得解.【詳解】因為，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故選B【點睛】本題主要考查新定義和判別式法求范圍，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】

利用正弦定理列出關(guān)系式，把與代入得出與的關(guān)系式，再與已知等式聯(lián)立求出即可.【詳解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，即，聯(lián)立解得：.故選：A.【點睛】本題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎題.7、D【解析】

根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義逐項判斷.【詳解】選項A：不是奇函數(shù)，不正確；選項B:：在是減函數(shù)，不正確；選項C：定義域上沒有單調(diào)性，不正確；選項D：設，是奇函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增，且在處是連續(xù)的，在上單調(diào)遞增，所以正確.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，對于常用函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握，屬于基礎題.8、D【解析】

。分別求出，，，利用即可得出答案.【詳解】設與的夾角為故選：D【點睛】本題主要考查了求向量的夾角，屬于基礎題.9、C【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得：，結(jié)合題意計算可得的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及誘導公式的應用，屬于基礎題．10、A【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣原則，可知編號成公差為的等差數(shù)列，觀察選項得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣原則，可知所抽取編號應成公差為的等差數(shù)列選項編號公差為；選項編號不成等差；選項編號公差為；可知錯誤選項編號滿足公差為的等差數(shù)列，正確本題正確選項：【點睛】本題考查抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣，關(guān)鍵是明確系統(tǒng)抽樣的原則和特點，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以且，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的符號法則，考查了同角公式中的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系式，屬于基礎題.12、.【解析】

先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【點睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．13、【解析】

根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)和中位數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得.【詳解】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，解得：故答案為：【點睛】本題考查莖葉圖中中位數(shù)相關(guān)問題的求解，屬于基礎題.14、3【解析】

由M在AB邊所在直線上，則，又，然后將，都化為，即可解出答案.【詳解】因為M在直線AB上，所以可設，

可得，即，又，則由與不共線，所以，解得.故答案為：3【點睛】本題考查向量的減法和向量共線的利用，屬于基礎題.15、【解析】

先利用周期公式求出，再利用平移法則得到新的函數(shù)表達式，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出的表達式，即可求出的最小值．【詳解】由得，所以，向左平移個單位后，得到，因為其圖像關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，有，則，故的最小值為．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖像變換，以及型的函數(shù)奇偶性判斷條件．一般地為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則．16、【解析】

將這兩式中的量全部用表示出來，正好有兩個方程，兩個未知數(shù)，解方程組即可求出。【詳解】相當于，相當于，上面兩式相除得代入就得，【點睛】基本量法是解決數(shù)列計算題最重要的方法，即將條件全部用首項和公比表示，列方程，解方程即可求得。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）求出公差，由公式得通項公式；（2）由（1）求出，計算公比，再由等比數(shù)列前項和公式得和．【詳解】（1）在等差數(shù)列中，，故設的公差為，則，即，所以，所以.（2）設數(shù)列的公比為，則，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量法．求出數(shù)列的首項和公差（或公比），則數(shù)列的通項公式與前項和隨之而定．18、（1）x2【解析】

(1)根據(jù)三角形周長為1，結(jié)合橢圓的定義可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當直線斜率斜存在時,聯(lián)立y=kx+b【詳解】（1）由題意知，4a=1，則a=2，由橢圓離心率e=ca=∴橢圓C的方程x2（2）由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B兩點在橢圓C上，∴x0∴點O到直線AB的距離d=12當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b．設A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），滿足△＞3．∴點O到直線AB的距離d=b綜上可知：點O到直線AB的距離d=221【點睛】本題主要考查橢圓的定義及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點到直線的距離公式，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用點到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，利用直線截圓得到的弦長公式可得半徑r，從而得到圓的方程；（2）由已知可得直線l1恒過定點P（1,1），設MN的中點Q（x，y），由已知可得，利用兩點間的距離公式化簡可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，圓的圓心為（0，0），半徑為r，則圓心到直線l的距離，若直線截圓所得的弦長為，則有，解可得，則圓的方程為；（2）直線l1的方程為，即，則有，解得，即P的坐標為（1，1），點在圓上，且，為線段的中點，則，設MN的中點為Q（x，y），則，即，化簡可得：即為點Q的軌跡方程.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線被圓截得的弦長公式的應用，考查直線恒過定點問題和軌跡問題，屬于中檔題.20、(1),；

(2),證明見解析【解析】

(1)分別令即可運算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當時成立,再假設當時,成立,再利用推導出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當時,成立；假設當時,成立,且即當時,,即,化簡得,,即也滿足,當時成立,故對于任意的,有,證畢.所以.【點睛】本題主要考查了數(shù)學歸納法的運用，其中步驟為：(1)證明當取第一個值時命題成立.對于一般數(shù)列取值為0或1；(2)假設當()且為自然數(shù)）時命題成立,證