理學(xué)連接件的計(jì)算與圓軸扭轉(zhuǎn)等

16連接件的實(shí)用計(jì)算與圓軸扭轉(zhuǎn)6.1剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算6.2圓軸扭轉(zhuǎn)的實(shí)例及計(jì)算模型6.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形6.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度、剛度條件6.6圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能2024/6/242m受力特點(diǎn)：在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)承受外力偶（externalcouple）作用。m研究對(duì)象:以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸（shaft）。

相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

（angleoftwist）：任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度。OBA變形特點(diǎn)：各橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

切應(yīng)變

（Shearingstrain）：縱向線傾斜的角度（直角的改變量）。一、扭轉(zhuǎn)(torsion)的概念6.2圓軸扭轉(zhuǎn)的實(shí)例和計(jì)算模型2024/6/243汽車轉(zhuǎn)向軸二、扭轉(zhuǎn)的實(shí)例2024/6/244汽車傳動(dòng)軸主傳動(dòng)軸2024/6/245行車行走機(jī)構(gòu)中的傳動(dòng)軸2024/6/24已知：軸所傳遞的轉(zhuǎn)速n（r/min），功率PK(kW)求:

傳遞的外力偶矩Me(N.m)。6.2.1傳動(dòng)軸外力偶矩（externallyappliedtorque）的計(jì)算1分鐘所做的功:W=PK

t=PK

60W=Me

α(功=外力偶矩.角位移)(功=功率

時(shí)間)PK

60=Me

（2πn）=Me

（2πn）當(dāng)功率用馬力表示時(shí)1hP(馬力)=0.7355kW2024/6/246——扭矩（

Torque/Twistingmoment）(1)截開（cut）：內(nèi)力:力偶,稱為扭矩MMABCMATT'(2)替代（substitute）：(3)平衡（equilibrium）：xMBC注:當(dāng)軸上作用有兩個(gè)以上的外力偶矩時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算軸的扭矩；6.2.2扭轉(zhuǎn)內(nèi)力記為“T”,按正向假設(shè)。2024/6/2478MT扭矩的符號(hào)規(guī)定：右手螺旋法則（Right-handcordscrewrule）右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向,大拇指指向?yàn)榻孛娴耐夥ň€方向時(shí),該扭矩為正,反之為負(fù)。TM扭矩的量綱：N.m，kN.m2024/6/249例：傳動(dòng)軸如下圖所示,已知轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動(dòng)輪A輸入功率PA=45kW,三個(gè)從動(dòng)輪輸出功率分別為PB=10kW,PC=15kW,PD=20kW。求傳動(dòng)軸各橫截面的內(nèi)力。解:（1）計(jì)算外力偶矩2024/6/2410112233T1（2）求截面扭矩：xBC段：CA段：T2xAD段：T32024/6/2411任一橫截面上的扭矩等于保留段上所有外力偶矩的代數(shù)和，外力偶矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：注意:若保留段為右段，則根據(jù)右手螺旋法則確定的大拇指指向向右的外力偶取為正值；若保留段為左段，則根據(jù)右手螺旋法則確定的大拇指指向向左的外力偶取為正值。2024/6/2412已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪A輸入功率PA=500kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率PB=PC=150kW，PD=200kW，試畫軸各段的扭矩。BCADmB

mC

mA

mD解：①計(jì)算外力偶矩2024/6/2413mB

mC

mA

mDBCAD②求各段扭矩BC段：CA段：112233AD段：mA=15.92kN.mmB=mC=4.78kN.mmD=6.37kN.m2024/6/2414扭矩圖Twistingmomentdiagram扭矩圖——沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。T/kN·mxo(2)|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。(1)扭矩變化規(guī)律2024/6/2415xT

–4.786.379.56討論：（1）由圖知：（2）若將主動(dòng)輪A和從動(dòng)輪D位置互換，合理否？BCADmB

mC

mA

mD注意:1)扭矩圖畫在載荷圖的對(duì)應(yīng)位置上2)標(biāo)注數(shù)值大小、單位和正負(fù)號(hào)；3)陰影線垂直于橫坐標(biāo),不是斜線4)封閉的實(shí)線圖2024/6/2416

可見，合理安排主、從動(dòng)輪的位置，可以使軸的最大扭矩值降低。BCADmB

mC

mA

mDBCDAmB

mC

mD

mA

–xT4.78kN·m9.56kN·m6.37kN·mxT4.78kN·m–9.56kN·m15.92kN·m2024/6/24EDCBAm4

m3

m2m1112233解：

已知：m1=30kN·m，m2=20kN·m，m3=15kN·m，

m4=10kN·m，請(qǐng)作出該軸的扭矩圖。AB段：BC段：CD段：DE段：1015305xT/kN·m2024/6/241718EDCBAm4

m3

m2m1(1)求約束反力(2)求各段扭矩并畫扭矩圖注意：若保留左段為研究對(duì)象，則要注意求約束反力！1015305xT/kN·mm1=30kN·m，m2=20kN·m

m3=15kN·m，m4=10kN·mEDCBAm4

m3

m2m1mE2024/6/2419EDCBAm4

m3

m2m1mE參考正向xT/kN·m155和第四章軸力圖畫法類似,也可用簡(jiǎn)捷法畫扭矩圖:從左端開始,標(biāo)出參考正向1030-+15510+-T/kN·m302024/6/24試作如圖所示軸的扭矩圖。DCBA參考正向xT/kN·m2024/6/2420EDCBAm3

m2m1解：3kN.m2kN.m5kN.mTx試作如圖所示軸的扭矩圖,已知m1=3kN·m，m2=2kN·m，m3=7kN·m。2024/6/2421226.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力偶m。2024/6/2423實(shí)驗(yàn)后：矩形方格abcd縱向線(longitudeline)：相互平行，∥軸線圓周線(transverseline)：相互平行，⊥軸線①仍相互平行，⊥軸線,且其形狀、大小、間距不變；②繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),兩端截面有相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。變成螺旋線且傾斜了相同的角度;實(shí)驗(yàn)前：小變形情況下,變成為菱形。橫截面上沒有正應(yīng)力，但有切應(yīng)力存在。切應(yīng)力沿環(huán)向保持不變。2024/6/2424①無(wú)正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。

與的關(guān)系：薄壁圓筒橫截面上：2024/6/2425二、薄壁圓筒剪應(yīng)力

大小：

A0：平均半徑所作圓的面積。2024/6/2426acddxb

dy′′tz

剪應(yīng)力互等定理（剪應(yīng)力雙生定理）:物體內(nèi)任一點(diǎn)處兩相互垂直的截面上,剪應(yīng)力總是同時(shí)存在的,它們大小相等,方向是共同指向或背離兩截面的交線。

′′Adxdy純剪切應(yīng)力狀態(tài):微元各面只有剪應(yīng)力作用的應(yīng)力狀態(tài)。三、剪應(yīng)力互等定理（theoremofconjugateshearingstress)：

2024/6/2427

45°dx

45°

45°

′′AdxdyX=dx+(45°·dx/cos45°)cos45°+(

45°·dx/cos45°)sin45°=0取微元厚度為1，則有：Y=dx-(45°·dx/cos45°)sin45°+(

45°·dx/cos45°)cos45°=0

45°=-

；45°=02024/6/2428剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)

（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。四、剪切胡克定律：2024/6/2429

式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪變模量(shearmodulus)，因

無(wú)量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。

剪變模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：

可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)。2024/6/2430實(shí)驗(yàn)觀測(cè)變形幾何關(guān)系應(yīng)變分布物理關(guān)系應(yīng)力分布靜力學(xué)關(guān)系橫截面應(yīng)力6.4.1圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力應(yīng)力分析過程圖6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形

(Stressanddeformationoftorsionofcircularshaft)扭矩2024/6/2431矩形方格abcd實(shí)驗(yàn)前：(1)變形幾何關(guān)系Geometricalrelationship縱向線(longitudeline)：相互平行，∥軸線實(shí)驗(yàn)后：圓周線(transverseline)：相互平行，⊥軸線①仍相互平行，⊥軸線,且其形狀、大小、間距不變；②繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),兩端截面有相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。變成螺旋線且傾斜了相同的角度;小變形情況下,變成為菱形。2024/6/2432

設(shè)想圓軸由一系列剛性平截面(橫截面)組成，在扭轉(zhuǎn)過程中，相鄰兩剛性橫截面只發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

于是可作如下假設(shè)：

圓軸的橫截面變形后仍保持為平面，其形狀和大小不變，相鄰兩橫截面間的距離不變。——圓軸扭轉(zhuǎn)的剛性平面假設(shè)2024/6/2433依據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象以及上述剛性平面假設(shè)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析：①圓周線的間距未改變②圓周線的形狀、大小不變，繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)縱向線應(yīng)變橫截面上有切應(yīng)力且垂直于半徑橫截面無(wú)正應(yīng)力切應(yīng)變?cè)诖怪庇诎霃降钠矫鎯?nèi)③各縱向線均傾斜同一微小角度

扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只有垂直于半徑方向的切應(yīng)力，且距離圓心相同距離的各點(diǎn)切應(yīng)力大小相等。圓周上各點(diǎn)變形情況相同切應(yīng)力沿環(huán)向保持不變。結(jié)論：2024/6/2434取長(zhǎng)為dx的微段（假定左端面固定）研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角d

。g是B處的直角改變量，即半徑為r處（即軸表面處）的切應(yīng)變。即：對(duì)于圓軸表面處：D′DBmmnnrOT2024/6/2435橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變

與該點(diǎn)到截面中心的距離

成正比。：軸單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,同一截面上d/dx為常數(shù)。D′OGG′DBB′GG′mmnnrO對(duì)于半徑為ρ處：即：結(jié)論:2024/6/2436在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：G是剪切彈性模量（modulusofelasticityinshear）半徑為r處的切應(yīng)力則為：

材料的切應(yīng)力與切應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。(2)物理關(guān)系Physicalrelationship—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系2024/6/2437討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分布同一橫截面上df/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù),單位：Pa,MPa,GPa。trTotrrtmax最大切應(yīng)力在圓軸表面處。截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心的距離r成正比；切應(yīng)力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。2024/6/2438令代入(3)力的平衡關(guān)系trTotrrtmaxdA2024/6/2439T—橫截面上的扭矩(twistingmoment/internaltorqueatthecrosssection)

—該點(diǎn)到圓心的距離(radialdistancefromtheaxisoftheshaft)

Ip—截面對(duì)圓心的極慣性矩(polarmomentofinertiaofthecross-sectionalarea),只與截面幾何相關(guān)。單位：mm4，m4。

（1）僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。討論:（2）盡管由實(shí)心圓軸

(solidcircularshaft)推出，但同樣適用于

空心圓軸(cored/hollowcircularshaft),

只是Ip值不同。2024/6/2440(3)最大和最小切應(yīng)力(maximumandminimumshearstress)

WT—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）sectionmodulusintorsion,單位：mm3或m3。最大切應(yīng)力在圓軸表面處,且有ρ

=0時(shí),τ=0;ρ=ρmax=r時(shí),τ=τmax2024/6/2441Ttmax(4)應(yīng)力分布StressdistributionSolidcircularshaftcored/hollowcircularshafttmaxT2024/6/24426.4.2CalculationofIpandWTForsolidcircularshaft(對(duì)于實(shí)心圓軸

)D

d

O2024/6/2443Forhollow/coredcircularshaft(對(duì)于空心圓軸)dDO

d

工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。2024/6/2444知：長(zhǎng)為

l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為6.4.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形Deformationoftorsionofcircularshaft1）應(yīng)用于T、G、Ip相同的一段；2）T代入代數(shù)值2024/6/2445單位扭轉(zhuǎn)角

：or

theangleoftwistperunitlengthGIp——torsionalstiffness截面的抗扭剛度，反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力Extensionalrigidity（抗拉（壓）剛度）2024/6/2446討論：2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力分布圖是否正確?1）已知二軸長(zhǎng)度及所受外力矩完全相同。若二軸截面尺寸不同，其扭矩圖相同否?

若二軸材料不同、截面尺寸相同，各段應(yīng)力是否相同？變形是否相同？相同相同不同oToToTo

T2024/6/2447例.空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.m

MC=100N.m，材料G=80GPa，試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力；（2）C截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角。解:1)畫扭矩圖。2)計(jì)算各段應(yīng)力:AB段：N-mm-Mpa單位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAT/kN·mxo1001502024/6/2448BC段：故tmax=86.7MPa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMA3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角

ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=rrjT/kN·mxo1001502024/6/24496.5.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。§6.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件和剛度條件

Condition

ofstrengthandstiffnessinaCircularShaft2024/6/24501.點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)

t′t

tasax2024/6/2451(d)

t′t

tasaxnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：x軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為“–”由平衡方程：解得：2024/6/2452分析：當(dāng)

=0°時(shí)，當(dāng)

=45°時(shí)，當(dāng)

=–45°時(shí)，當(dāng)

=90°時(shí)，tt′smaxsmin

由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。45°2024/6/2453here[

]—allowableshearstress許用切應(yīng)力6.5.2強(qiáng)度條件(Strengthcondition)(1)Checkstrength：(2)Designdimensionofsection：(3)Determinateallowableload：三大作用:2024/6/2454例:電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸,功率P=150kW,轉(zhuǎn)速n=15.4r/s,[

]=30MPa,請(qǐng)校核該軸的強(qiáng)度。

T1550N.mSolution:

(1)Determinetwistingmomentanddrawtwistingmomentdiagram

(2)CheckstrengthoftheshaftD3

=135D2=75D1=70ABCmmxSotheshaftissafeforstrength.2024/6/2455解:2.43kNm1.58kNm2024/6/2456or[

]isnamedastheallowableangleoftwistperunitlength.6.5.3剛度條件StiffnessConditioninaCircularShaft2024/6/2457(1)Checkstiffness：(2)Designdimensionofsection(3)Determinateallowableload：Function:2024/6/2458Example:長(zhǎng)為

L=2m的圓桿受均布力偶(uniformcouple)m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比(ratioofinnerdiametertoouterdiameter

=0.8，G=80GPa,[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角φAB。解:

(1)設(shè)計(jì)桿的外徑2024/6/245940NmxT代入數(shù)值得：D

0.0226m。(2)由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度2024/6/246040NmxT(3)右端面轉(zhuǎn)角為：2024/6/2461某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m

，試確定：(1)AB段直徑d1和BC段直徑d2

？(2)若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？(3)主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解:

(1)圖示狀態(tài)下

500400P1P3P2ACB由強(qiáng)度條件：扭矩圖如圖Tx7.024kNm4.21kNm2024/6/2462由剛度條件500400P1P3P2ACB得：Tx7.024kNm4.21kNm2024/6/2463綜上：(2)全軸選同一直徑時(shí)2024/6/2464(3)

軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，