小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題大全

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題大全

小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜?，這樣所形成的

題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分就是已知條件（簡稱

條件），第二部分就是所求問題（簡稱問題）O應(yīng)用題的條件與問題,組成了應(yīng)用題的

結(jié)構(gòu)。

應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。

沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。

題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系,可以用特定的步驟與方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型

應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題：

1\歸一問題11、行船問題21、方陣問題

2、歸總問題12、列車問題22、商品利潤問題

3、與差問題13、時鐘問題23、存款利率問題

4、與倍問題14、盈虧問題24、溶液濃度問題

5、差倍問題15、工程問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題

6、倍比問題16、正反比例問題26、幻方問題

7、相遇問題17、按比例分配27、抽屜原則問題

8、追及問題18、百分?jǐn)?shù)問題28、公約公倍問題

9、植樹問題19、“牛吃草”問題29、最值問題

10、年齡問題20、雞兔同籠問題30、列方程問題

1歸一J可題

【含義】在解題時,先求出一份就是多少（即單一量）,然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出

所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量分?jǐn)?shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量義所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量?（總量分?jǐn)?shù)）=所求份數(shù)

【解題思路與方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出所要求的數(shù)量。

例1買5支鉛筆要0、6元錢,買同樣的鉛筆16支,需要多少錢？

例23臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃,照這樣計算,5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？

O

例35輛汽車4次可以運送100噸鋼材,如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，

需要運幾次？

2歸總問題

【含義】解題時,常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問

題,叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”就是指貨物的總價'幾小時（幾天）的總工作量'

幾公畝地上的總產(chǎn)量'幾小時行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量X份數(shù)=總量總量份數(shù)量=份數(shù)

總量4-另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路與方法】先求出總數(shù)量,再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1服裝廠原來做一套衣服用布3、2米,改進(jìn)裁剪方法后,每套衣服用布2、

8米。原來做791套衣服的布,現(xiàn)在可以做多少套？

例2小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書,幾

天可以讀完《紅巖》？

例3食堂運來一批蔬菜,原計劃每天吃50千克,30天慢慢消費完這批蔬菜。

后來根據(jù)大家的意見,每天比原計劃多吃10千克,這批蔬菜可以吃多少天？

3與差問題

【含義】已知兩個數(shù)量的與與差,求這兩個數(shù)量各就是多少,這類應(yīng)用題叫與

差問題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)=（與+差）+2小數(shù)=（與一差）彳2

【解題思路與方法】簡單的題目可以直接套用公式;復(fù)雜的題目變通后再用公

式。

例1甲乙兩班共有學(xué)生98人,甲班比乙班多6人,求兩班各有多少人？

例2長方形的長與寬之與為18厘米,長比寬多2厘米,求長方形的面積。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩

袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上,結(jié)果甲車比

乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

4與倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的與及大數(shù)就是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)就是大數(shù)的幾分之

幾），要求這兩個數(shù)各就是多少,這類應(yīng)用題叫做與倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】總與《（幾倍+1）=較小的數(shù)

總與一較小的數(shù)=較大的數(shù)較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)

【解題思路與方法】簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1果園里有杏樹與桃樹共248棵,桃樹的棵數(shù)就是杏樹的3倍,求杏樹'桃

樹各多少棵？

例2東西兩個倉庫共存糧480噸,東庫存糧數(shù)就是西庫存糧數(shù)的1、4倍,求兩

庫各存糧多少噸?

例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛,若每天從甲站開往乙站28輛,從乙

站開往甲站24輛,幾天后乙站車輛數(shù)就是甲站的2倍？

O

例4甲乙丙三數(shù)之與就是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)

各就是多少？

5差倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)就是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)就是大數(shù)的幾分之

幾），要求這兩個數(shù)各就是多少,這類應(yīng)用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差彳（幾倍—1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)x幾倍=較大的數(shù)

【解題思路與方法】簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1果園里桃樹的棵數(shù)就是杏樹的3倍,而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、

桃樹各多少棵？

例2爸爸比兒子大27歲，今年,爸爸的年齡就是兒子年齡的4倍,求父子二人

今年各就是多少歲？

例3商場改革經(jīng)營管理辦法后,本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元又知

本月盈利比上月盈利多30萬元,求這兩個月盈利各就是多少萬元?

例4糧庫有94噸小麥與138噸玉米,如果每天運出小麥與玉米各就是9噸，

問幾天后剩下的玉米就是小麥的3倍？

6倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量,其中一個量就是另一個量的若干倍,解題時先

求出這個倍數(shù),再用倍比的方法算出要求的數(shù),這類應(yīng)用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量4■一個數(shù)量=倍數(shù)另一個數(shù)量X倍數(shù)=另一總量

【解題思路與方法】先求出倍數(shù),再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1100千克油菜籽可以榨油40千克,現(xiàn)在有油菜籽3700千克,可以榨油多

少？

例2今年植樹節(jié)這天,某小學(xué)300名師生共植樹400棵,照這樣計算,全縣

48000名師生共植樹多少棵？

例3鳳翔縣今年蘋果大豐收,田家莊一戶人家4畝果園收入11111元,照這樣

計算,全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

7相遇問題

【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行,在途中相遇。這類應(yīng)用題

叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時間=總路程?（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）X相遇時間

【解題思路與方法】簡單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公

式。

例1南京到上海的水路長392千米,同時從兩港各開出一艘輪船相對而行,從

南京開出的船每小時行28千米,從上海開出的船每小時行21千米,經(jīng)過幾小時兩船

相遇？

例2小李與小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉

每秒鐘跑3米,她們從同一地點同時出發(fā),反向而跑,那么,二人從出發(fā)到第二次相遇

需多長時間？

例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行

13千米,兩人在距中點3千米處相遇,求兩地的距離。

8追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不就是同時出

發(fā),或者在不同地點又不就是同時出發(fā)）作同向運動,在后面的，行進(jìn)速度要快些,在

前面的,行進(jìn)速度較慢些,在一定時間之內(nèi),后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就

叫做追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時間=追及路程彳（快速一慢速）

追及路程=（快速一慢速）X追及時間

【解題思路與方法】簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1好馬每天走120千米,劣馬每天走75千米,劣馬先走12天,好馬幾天能追

上劣馬？

例2小明與小亮在200米環(huán)形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,她們從同一地

點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米,求小亮的速度就是每秒

多少米。

例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人,敵人在下午16點開始從甲地以每小

時10千米的速度逃跑,解放軍在晚上22點接到命令,以每小時30千米的速度開始

從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米,問解放軍幾個小時可以追上敵人？

O

例4一輛客車從甲站開往乙站,每小時行48千米;一輛貨車同時從乙站開往甲

站,每小時行40千米,兩車在距兩站中點16千米處相遇,求甲乙兩站的距離。

例5兄妹二人同時由家上學(xué),哥哥每分鐘走90米,妹妹每分鐘走60米。哥哥

到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本,立即沿原路回家去取，行至離校180米處與妹妹相遇。

問她們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校,她以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校,

當(dāng)她走了1千米時,發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn),到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上

課。后來算了一下,如果孫亮從家一開始就跑步,可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求

孫亮跑步的速度。

9植樹問題

【含義】按相等的距離植樹,在距離'棵距'棵數(shù)這三個量之間，已知其中的

兩個量,要求第三個量,這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)=距離?棵距+1

環(huán)形植樹棵數(shù)=距離?棵距方形植樹棵數(shù)=距離?棵距一4

三角形植樹棵數(shù)=距離?棵距一3面積植樹棵數(shù)=面積?（棵距X行距）

【解題思路與方法】先弄清楚植樹問題的類型,然后可以利用公式。

例1一條河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,頭尾都栽,一共要栽多少棵垂柳？

例2一個圓形池塘周長為400米,在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹,一共能栽多

少棵白楊樹？

例3一個正方形的運動場,每邊長220米,每隔8米安裝一個照明燈,一共可以

安裝多少個照明燈？

例4給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚,所用地板磚的長與寬分別就

是60厘米與40厘米,問至少需要多少塊地板磚?

例5一座大橋長500米,給橋兩邊的電桿上安裝路燈,若每隔50米有一個電桿,

每個電桿上安裝2盞路燈,一共可以安裝多少盞路燈？

10年齡問題

【含義】這類問題就是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點就是兩人的年齡

差不變，但就是,兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與與差'與倍'差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍

問題的解題思路就是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路與方法】可以利用“差倍問題”的解題思路與方法。

例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲,今年爸爸的年齡就是亮亮的幾倍？明年

呢？

例2母親今年37歲，女兒今年7歲,幾年后母親的年齡就是女兒的4倍？

例33年前父子的年齡與就是49歲，今年父親的年齡就是兒子年齡的4倍,父

子今年各多少歲？

例4甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)就是您現(xiàn)在的歲數(shù)時，您才4歲”。乙對甲

說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來就是您現(xiàn)在的歲數(shù)時，您將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各就

是多少？

11行,1問題

【含義】行船問題也就就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與

水速,船速就是船只本身航行的速度,也就就是船只在靜水中航行的速度;水速就是

水流的速度,船只順?biāo)叫械乃俣染褪谴倥c水速之與;船只逆水航行的速度就是

船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣?逆水速度）+2=船速

（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?2=水速

順?biāo)?船速X2—逆水速=逆水速+水速X2

逆水速=船速X2—順?biāo)?順?biāo)僖凰賆2

【解題思路與方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1一只船順?biāo)?20千米需用8小時,水流速度為每小時15千米,這只船逆

水行這段路程需用幾小時？

例2甲船逆水行360千米需18小時,返回原地需10小時;乙船逆水行同樣一

段距離需15小時,返回原地需多少時間？

例3—架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，飛機(jī)的速度就是每小時576千米,風(fēng)速為

每小時24千米飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？

12列車問題

【含義】這就是與列車行駛有關(guān)的一些問題,解答時要注意列車車身的長度。

【數(shù)量關(guān)系】火車過橋:過橋時間=（車長+橋長）?車速

火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）

?。总囁僖灰臆囁伲?/p>

火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）

?（甲車速+乙車速）

【解題思路與方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1一座大橋長2400米,一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋,從車頭開

上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋,用了2分5秒鐘時

間,求大橋的長度就是多少米？

例3—列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛,一列長140米的快車以每

秒22米的速度在后面追趕,求快車從追上到追過慢車需要多長時間？

例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛,有一個扳道工人以每秒3

米的速度迎面走來,那么,火車從工人身旁駛過需要多少時間？

例5一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒,以同樣的速度通過一條長

1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速與車身長度各就是多少？

13時鐘問題

【含義】就就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合'兩針垂直、

兩針成一線'兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】分針的速度就是時針的12倍,二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待,也可以按差倍問題來計算。

【解題思路與方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1從時針指向4點開始,再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？

例2四點與五點之間,時針與分針在什么時候成直角？

例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？

14盈虧問題

【含義】根據(jù)一定的人數(shù),分配一定的物品,在兩次分配中，一次有余（盈），-

次不足（虧），或兩次都有余,或兩次都不足,求人數(shù)或物品數(shù),這類應(yīng)用題叫做盈虧

問題。

【數(shù)量關(guān)系】一般地說,在兩次分配中，如果一次盈,一次虧,則有：

參加分配總?cè)藬?shù)=（盈+虧）?分配差

如果兩次都盈或都虧,則有：

參加分配總?cè)藬?shù)=（大盈一小盈）?分配差

參加分配總?cè)藬?shù)=（大虧一小虧）小分配差

【解題思路與方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個;若每人分4個就少1個。

問有多少小朋友？有多少個蘋果？

例2修一條公路,如果每天修260米，修完全長就得延長8天;如果每天修300

米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米?

例3學(xué)校組織春游,如果每輛車坐40人,就余下30人;如果每輛車坐45人，

就剛好坐完。問有多少車？多少人？

15工程問題

【含義】工程問題主要研究工作量'工作效率與工作時間三者之間的關(guān)系。

這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量,只提出“一項工程”'“一

塊土地”'“一條水渠”'“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作

總量。

【數(shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵就是把工作總量瞧作“1”，這樣，工作效率

就就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以

根據(jù)工作量'工作效率'工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量=工作效率x工作時間

工作時間=工作量?工作效率

工作時間=總工作量彳（甲工作效率+乙工作效率）

【解題思路與方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩

隊合作，需要幾天完成？

例2一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做,完成任

務(wù)時甲比乙多做24個,求這批零件共有多少個？

例3一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成,丙獨做15小時完成。

現(xiàn)在甲先做2小時,余下的由乙丙二人合做,還需幾小時才能完成?

例4一個水池,底部裝有一個常開的排水管,上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水

管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時,需要5小時才能注滿水池;當(dāng)打開2個進(jìn)水管時,需要15

小時才能注滿水池;現(xiàn)在要用2小時將水池注滿,至少要打開多少個進(jìn)水管？

16正反比例問題

【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量

中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量,

它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題就是正比例意義與解比例等知識的綜合

、-m

用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的

兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比

例應(yīng)用題就是反比例的意義與解比例等知識的綜合運用。

【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系就是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型

應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決,而且比較簡捷。

【解題思路與方法】解決這類問題的重要方法就是:把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，

應(yīng)用比與比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1修一條公路,已修的就是未修的1/3,再修300米后，已修的變成未修的

1/2,求這條公路總長就是多少米?

例2張哈做4道應(yīng)用題用了28分鐘,照這樣計算,91分鐘可以做幾道應(yīng)用題?

例3孫亮瞧《十萬個為什么》這本書，每天瞧24頁，15天瞧完,如果每天瞧36

頁，幾天就可以瞧完？

例4一個大矩形被分成六個小矩形,其中四個小矩形的面積如圖所示,求大矩

形的面積。

A22

50

36B1

6

17按比例分配問題

【含義】所謂按比例分配,就就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題

的已知條件一般有兩種形式:一就是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù),

另一種就是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】從條件瞧,已知總量與幾個部分量的比;從問題瞧,求幾個部分量

各就是多少?？偡輸?shù)=比的前后項之與

【解題思路與方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾,把比的前

后項相加求出總份數(shù),再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母,比的前后項

分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾就是多少的計算方法,分別求出各部分量

的值。

例1學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班,已知一班有47人,

二班有48人,三班有45人,三個班各植樹多少棵？

例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形,三角形三條邊的比就是3：4：5。三

條邊的長各就是多少厘米？

O

例3從前有個牧民，臨死前留下遺言,要把17只羊分給三個兒子,大兒子分總

數(shù)的1/2,二兒子分總數(shù)的1/3,三兒子分總數(shù)的1/9,并規(guī)定不許把羊宰割分,求三個

兒子各分多少只羊。

例4某工廠第一'二'三車間人數(shù)之比為8：12：21,第一車間比第二車間少

80人,三個車間共多少人？

人數(shù)80人一共多少

人？

對應(yīng)的份數(shù)12-8+12+21

8

18百分?jǐn)?shù)問題

【含義】百分?jǐn)?shù)就是表示一個數(shù)就是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)就是

一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分,而百分?jǐn)?shù)則無需;分?jǐn)?shù)既可以表示“率，

也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子'分母必須就是自然數(shù)，

而百分?jǐn)?shù)的分子可以就是小數(shù);百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號。

在實際中與常用到“百分點”這個概念,一個百分點就就是1%,兩個百分點就就

是2%。

【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”'“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系:

百分?jǐn)?shù)=比較量4■標(biāo)準(zhǔn)量

標(biāo)準(zhǔn)量=比較量:百分?jǐn)?shù)

【解題思路與方法】一般有三種基本類型：

(1)求一個數(shù)就是另一個數(shù)的百分之幾；

(2)已知一個數(shù),求它的百分之幾就是多少；

(3)已知一個數(shù)的百分之幾就是多少,求這個數(shù)。

例1倉庫里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的與剩下的各占

原重量的百分之幾？

例2紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,男職工人數(shù)比女職工少百分

之幾？

例3紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,女職工比男職工人數(shù)多

百分之幾？

例4紅旗化工廠有男職工420人,有女職工525人,男、女職工各占全廠職工

總數(shù)的百分之幾？

例5百分?jǐn)?shù)又叫百分率,百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛,常見的百分率

有：

增長率=增長數(shù)+原來基數(shù)X100%

合格率=合格產(chǎn)品數(shù):產(chǎn)品總數(shù)X100%

出勤率=實際出勤人數(shù)4■應(yīng)出勤人數(shù)X100%

出勤率=實際出勤天數(shù)4■應(yīng)出勤天數(shù)X100%

缺席率=缺席人數(shù)4-實有總?cè)藬?shù)X100%

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)4-試驗種子總數(shù)X100%

成活率=成活棵數(shù)+種植總棵數(shù)X100%

出粉率=面粉重量4■小麥重量X100%

出油率=油的重量4■油料重量X100%

廢品率=廢品數(shù)量+全部產(chǎn)品數(shù)量X100%

命中率=命中次數(shù)4-總次數(shù)X100%

烘干率=烘干后重量4-烘前重量X100%

及格率=及格人數(shù)+參加考試人數(shù)X100%

19“牛吃草”問題

【含義】“牛吃草”問題就是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。

這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關(guān)系】草總量=原有草量+草每天生長量X天數(shù)

【解題思路與方法】解這類題的關(guān)鍵就是求出草每天的生長量。

例1一塊草地,10頭牛20天可以把草吃完,15頭牛10天可以把草吃完。問

多少頭牛5天可以把草吃完？

例2一只船有一個漏洞,水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi),發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)了一些

水。如果有12個人淘水,3小時可以淘完;如果只有5人淘水,要10小時才能淘完。

求17人幾小時可以淘完？

20雞兔同籠問題

【含義】這就是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只與多少只腳,

求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)與雞腳與兔

腳的差,求雞、兔各就是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：

假設(shè)全都就是雞,則有兔數(shù)=(實際腳數(shù)一2X雞兔總數(shù))4-(4-2)

假設(shè)全都就是兔,則有雞數(shù)=(4X雞兔總數(shù)一實際腳數(shù))4-(4-2)

第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都就是雞，則有

兔數(shù)=(2X雞兔總數(shù)一雞與兔腳之差)4-(4+2)

假設(shè)全都就是兔,則有

雞數(shù)=(4X雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差)4-(4+2)

【解題思路與方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法,可以先假設(shè)都就是雞,也

可以假設(shè)都就是兔。如果先假設(shè)都就是雞,然后以兔換雞;如果先假設(shè)都就是兔,然

后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè),再置換，使問題得到解決。

例1長毛兔子蘆花雞,雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五,腳數(shù)共有九十四。

請您仔細(xì)算一算,多少兔子多少雞？

例22畝菠菜要施肥1千克,5畝白菜要施肥3千克,兩種菜共16畝,施肥9

千克，求白菜有多少畝？

例3李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本與日記本共45本，作業(yè)本每本3、20元

日記本每本0、70元。問作業(yè)本與日記本各買了多少本？

例4（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔

各多少只？

例5有100個饃100個與尚吃,大與尚一人吃3個饃,小與尚3人吃1個饃，

問大小與尚各多少人？

21方陣問題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求

總?cè)藬?shù)或總物數(shù),這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)=（每邊人數(shù)一1）X4

每邊人數(shù)=四周人數(shù)+4+1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣:總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)X每邊人數(shù)

空心方陣:總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)）一（內(nèi)邊人數(shù)）

內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)一層數(shù)X2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算,則：

總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)又4

【解題思路與方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法就是以每

邊的數(shù)自乘;空心方陣的變化較多,其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1在育才小學(xué)的運動會上,進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣,每行22人,參加

體操表演的同學(xué)一共有多少人？

例2有一個3層中空方陣,最外邊一層有10人,求全方陣的人數(shù)。

例3有一隊學(xué)生,排成一個中空方陣,最外層人數(shù)就是52人,最內(nèi)層人數(shù)就是

28人,這隊學(xué)生共多少人？

例4一堆棋子，排列成正方形,多余4棋子,若正方形縱橫兩個方向各增加一

層,則缺少9只棋子，問有棋子多少個?

例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，

最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

21方陣問題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求

總?cè)藬?shù)或總物數(shù),這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)=（每邊人數(shù)一1）X4每邊人數(shù)=四周人數(shù):4+1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣:總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)X每邊人數(shù)

空心方陣:總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)）一（內(nèi)邊人數(shù)）

內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)一層數(shù)X2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算,則：

總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X4

【解題思路與方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法就是以每

邊的數(shù)自乘;空心方陣的變化較多,其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1在育才小學(xué)的運動會上,進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣,每行22人,參加

體操表演的同學(xué)一共有多少人？

例2有一個3層中空方陣,最外邊一層有10人,求全方陣的人數(shù)。

例3有一隊學(xué)生,排成一個中空方陣,最外層人數(shù)就是52人,最內(nèi)層人數(shù)就是

28人,這隊學(xué)生共多少人?

例4一堆棋子，排列成正方形,多余4棋子,若正方形縱橫兩個方向各增加一

層,則缺少9只棋子，問有棋子多少個？

例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，

最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

22商品利潤問題

【含義】這就是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本'利潤'利潤

率與虧損'虧損率等方面的問題。

【數(shù)量關(guān)系】利潤=售價一進(jìn)貨價

利潤率=（售價一進(jìn)貨價）《進(jìn)貨價X100%

售價=進(jìn)貨價X（1+利潤率）虧損=進(jìn)貨價一售價

虧損率=（進(jìn)貨價一售價）+進(jìn)貨價X100%

【解題思路與方法】簡單的題目可以直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公

式。

例1某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%,到二月份又下調(diào)了10%,這種商

品從原價到二月份的價格變動情況如何？

例2某服裝店因搬遷,店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元,已知

衣服原來按期望盈利30%定價,那么該店就是虧本還就是盈利？虧（盈）率就是多

少？

例3成本0、25元的作業(yè)本1200冊,按期望獲得40%的利潤定價出售，當(dāng)銷售

出80%后,剩下的作業(yè)本打折扣,結(jié)果獲得的利潤就是預(yù)定的86%o問剩下的作業(yè)本

出售時按定價打了多少折扣？

例4某種商品，甲店的進(jìn)貨價比乙店的進(jìn)貨價便宜10%,甲店按30%的利潤定

價，乙店按20%的利潤定價,結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元求乙店的定價。

23存款利率問題

【含義】把錢存入銀行就是有一定利息的,利息的多少,與本金'利率'存期

這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率與月利率兩種。年利率就是指存期一年本金所

生利息占本金的百分?jǐn)?shù);月利率就是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。

【數(shù)量關(guān)系】年（月）利率=利息4■本金小存款年（月）數(shù)X100%

利息=本金X存款年（月）數(shù)X年（月）利率

本利與=本金+利息=本金X[1+年（月）利率X存款年（月）數(shù)]

【解題思路與方法】簡單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公

式。

例1李大強(qiáng)存入銀行1200元,月利率0、8%,到期后連本帶利共取出1488元,

求存款期多長。

例2銀行定期整存整取的年利率就是:二年期7、92%,三年期8、28%,五年期

9%o如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期,到期后連本帶利改存三年期；

乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？

化學(xué)典型應(yīng)用題

24溶液濃度問題

【含義】在生產(chǎn)與生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的

主要就是溶劑（水或其它液體）'溶質(zhì)'溶液'濃度這幾個量的關(guān)系。例如,水就是

一種溶齊I,被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所

占的百分?jǐn)?shù)叫濃度,也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】溶液=溶劑+溶質(zhì)濃度=溶質(zhì)4■溶液X100%

【解題思路與方法】簡單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公

式。

例1爺爺有16%的糖水50克，⑴要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？

⑵若要把它變成30%的糖水,需加糖多少克?

例2要把30%的糖水與15%的糖水混合,配成25%的糖水600克，需要30%與15%

的糖水各多少克？

例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一

半倒入乙中,混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分

鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。

25構(gòu)圖布數(shù)問題

【含義】這就是一種數(shù)學(xué)游戲,也就是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學(xué)問題。所謂“構(gòu)

圖”，就就是設(shè)計出一種圖形;所謂“布數(shù)”，就就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)

圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵就是要符合所給的條件。

【數(shù)量關(guān)系】根據(jù)不同題目的要求而定。

【解題思路與方法】通常多從三角形、正方形、圓形與五角星等圖形方面考

慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。

例1十棵樹苗子,要栽五行子,每行四棵子,請您想法子。

例2九棵樹苗子,要栽十行子,每行三棵子,請您想法子。

例3九棵樹苗子,要栽三行子,每行四棵子,請您想法子。

例4把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的與,有幾種寫法？請設(shè)計一種

圖形，填入這七個數(shù),每個數(shù)只填一處,且每條線上三個數(shù)的與都等于12o

26幻方問題

【含義】把nXn個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行'各列以及對角線上

的各數(shù)之與都相等,這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方就是三級幻方。

【數(shù)量關(guān)系】每行'每列'每條對角線上各數(shù)的與都相等,這個“與”叫做“幻

與”。

三級幻方的幻與=45?3=15五級幻方的幻與=325?5=65

【解題思路與方法】首先要確定每行'每列以及每條對角線上各數(shù)的與(即幻與)，

其次就是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。

例1把1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行'每列'每條

對角線上三個數(shù)的與相等。

解幻與的3倍正好等于這九個數(shù)的與，所以幻與為

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4-3=454-3=15

九個數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻與時,每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同,最中心

的那個數(shù)要用到四次(即出現(xiàn)在中行'中列、與兩條對角線這四條線上)，四角的四

個數(shù)各用到三次,其余的四個數(shù)各用到兩次。瞧來,用到四次的“中心數(shù)”地位重要,

宜優(yōu)先考慮。

設(shè)“中心數(shù)”為X,因為X出現(xiàn)在四條線上,而每條線上三個數(shù)之與等于15,所

以(1+2+3+4+5+64-7+8+9)+(4-1)X=15X4

即45+3X=60所以X=5

438

接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置,它們

分別在四個角,再確定其余四個奇數(shù)的位置,它們分別

在中行'中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。

例2把2,3,4,5,6,7,8,9,10這九個數(shù)填到九個方格中,

使每行'每列'以及對角線上的各數(shù)之與都相等。

27抽屜原則問題

【含義】把3只蘋果放進(jìn)兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果

放進(jìn)一個抽屜,剩下的一個放進(jìn)另一個抽屜;要么把3只蘋果都放進(jìn)同一個抽屜中。

這兩種情況可用一句話表示:一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就

就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問題。

【數(shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則就是:如果把n+1個物體（也叫元素）放到n個

抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）o

抽屜原則可以推廣為:如果有m個抽屜,有kXm+r（OVrWm）個元素那么至少有

一個抽屜中要放（k+1）個或更多的元素。

通俗地說,如果元素的個數(shù)就是抽屜個數(shù)的k倍多一些,那么至少有一個抽屜要

放（k+1）個或更多的元素。

【解題思路與方法】（1）改造抽屜，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說明理由，得出結(jié)論。

例1育才小學(xué)有367個1999年出生的學(xué)生,那么其