2024年上海楊浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中上海楊浦區(qū)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級模擬質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、填空題1.已知集合，，則________.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為________.3.計算________（其中為虛數(shù)單位）.4.已知，則________.5.已知二項式，其展開式中含項的系數(shù)為________.6.各項為正的等比數(shù)列滿足：，，則通項公式為________.7.正方體中，異面直線與所成角的大小為________.8.若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)，的值域為________.9.設(shè)復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點(diǎn)為與，若，，則________.10.有5名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有________種.11．某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米．現(xiàn)將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，堆放高度不得高于米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為________.12.已知實數(shù)滿足：①；②存在實數(shù)，使得，，是等差數(shù)列，，，也是等差數(shù)列.則實數(shù)的取值范圍是________.二、選擇題13.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.14.已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（）A. B. C. D.15.某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（）A.350 B.400 C.450 D.50016.平面上的向量、滿足：，，.定義該平面上的向量集合.給出如下兩個結(jié)論：①對任意，存在該平面的向量，滿足②對任意，存在該平面向量，滿足則下面判斷正確的為（）A.①正確，②錯誤 B.①錯誤，②正確 C.①正確，②正確 D.①錯誤，②錯誤三、解答題17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面中心，，，均在底面圓周上，且為等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）若圓錐底面半徑為2，高為，求點(diǎn)到平面的距離.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知.（1）若的最小正周期為，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）已知，中，，，分別是角，，所對的邊，若，，，求的值.19.（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題6分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：（1）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的第75百分?jǐn)?shù)；（2）獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率；（3）根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間，兩種生產(chǎn)方式優(yōu)秀與合格的人數(shù)填入下面的2×2列聯(lián)表：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計優(yōu)秀合格總計根據(jù)上面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異？（.其中，）.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、.（1）求橢圓的方程；（2）已知命題“對任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為直命題，求的重心坐標(biāo)；（3）是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.（其中、分別表示、的面積）21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對.（1）判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；（2）已知與為相關(guān)函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均有.求證：存在實數(shù)，使得對任意，均有.參考答案：一、填空題1.已知集合，，則________.【答案】2.拋物線的準(zhǔn)線方程為________.【答案】3.計算________（其中為虛數(shù)單位）.【答案】4.已知，則________.【答案】5.已知二項式，其展開式中含項的系數(shù)為________.【答案】，令，6.各項為正的等比數(shù)列滿足：，，則通項公式為________.【答案】或（舍），故7.正方體中，異面直線與所成角的大小為________.【答案】8.若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)，的值域為________.【答案】當(dāng)時，，所以值域為9.設(shè)復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點(diǎn)為與，若，，則________.【答案】，故，10.有5名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有________種.【答案】11．某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米．現(xiàn)將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，堆放高度不得高于米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為________.【答案】設(shè)第一層有根，共有層，則得：，因為和中一個奇數(shù)一個偶數(shù)，故可能，，，因為每增加一層高度增加厘米當(dāng)時，厘米厘米，此時最下層有根；當(dāng)時，厘米厘米，此時最下層有根；當(dāng)時，厘米，超過綜上所述：根占用場地面積最小.12.已知實數(shù)滿足：①；②存在實數(shù)，使得，，是等差數(shù)列，，，也是等差數(shù)列.則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】設(shè)公差為，由題意：，故隨增大而增大，由圖像分析知：，，所以當(dāng)?shù)竭_(dá)時是臨界值，此時，代入（舍）或，則，綜上所述實數(shù)的取值范圍是二、選擇題13.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D14.已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C15.某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（）A.350 B.400 C.450 D.500【答案】B16.平面上的向量、滿足：，，.定義該平面上的向量集合.給出如下兩個結(jié)論：①對任意，存在該平面的向量，滿足②對任意，存在該平面向量，滿足則下面判斷正確的為（）A.①正確，②錯誤 B.①錯誤，②正確 C.①正確，②正確 D.①錯誤，②錯誤【答案】C設(shè)，，，，而，①②直線和間的距離為，到這兩條直線距離相等的距離為，因此無論是否屬于，都有，選C三、解答題17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面中心，，，均在底面圓周上，且為等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）若圓錐底面半徑為2，高為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，面，又面，所以平面平面；（2）作，又，，則平面.又，，，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知.（1）若的最小正周期為，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）已知，中，，，分別是角，，所對的邊，若，，，求的值.【答案】（1）由知：，此時；；，所以非奇非偶（2），則，，因為，所以，由正弦定理得：，若為銳角，；此時；若為鈍角，；此時；19.（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題6分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：（1）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的第75百分?jǐn)?shù)；（2）獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率；（3）根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間，兩種生產(chǎn)方式優(yōu)秀與合格的人數(shù)填入下面的2×2列聯(lián)表：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計優(yōu)秀合格總計根據(jù)上面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異？（.其中，）.【答案】（1），故取第30人和第31人時間的平均值為；（2）；（3）第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計優(yōu)秀21012合格181028總計202040，故有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、.（1）求橢圓的方程；（2）已知命題“對任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求的重心坐標(biāo)；（3）是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.（其中、分別表示、的面積）【答案】（1），，所以橢圓的方程為；（2）因為命題“對任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，可以取直線為，與聯(lián)立得，，則，得，，故重心坐標(biāo)為，，即（3）設(shè)，，，則直線：，令，得；同理得：，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，，，，，因為，故得，則，，代入得，解得，由圖知道，故直線的方程為：21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對.（1）判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；（2）已知與為相關(guān)函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均