2025屆云南省玉溪市民中高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2025屆云南省玉溪市民中高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（）A． B． C． D．3．公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,，則等于（）A．18 B．24 C．60 D．904．在等差數(shù)列中,，則（）A．5 B．8 C．10 D．145．已知函數(shù)向左平移個單位長度后，其圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為()A． B． C． D．6．已知兩條直線，，兩個平面，，下面說法正確的是()A． B． C． D．7．從3位男運動員和4位女運動員中選派3人參加記者招待會，至少有1位男運動員和1位女運動員的選法有（）種A． B． C． D．8．已知是圓上的三點，（）A． B． C． D．9．在區(qū)間上隨機選取一個實數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的通項為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．2036二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線平分圓的周長，則實數(shù)________．12．如圖，矩形中，，，是的中點，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為__________．13．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為.14．已知數(shù)列的前項和滿足，則______．15．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)______16．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在直角中，，延長至點D，使得，連接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.18．已知向量，向量.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時，向量與向量共線.19．解下列方程（1）；（2）；20．對于函數(shù)和實數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)關(guān)于的一個“生長點”.若為函數(shù)關(guān)于的一個“生長點”，則______.21．2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3+1+2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉(zhuǎn)化得到的等級分，學(xué)科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高小明同學(xué)是2018級的高一學(xué)生.已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了化學(xué)與生物近10大聯(lián)考的成績百分比排名數(shù)據(jù)x(如x=19的含義是指在該次考試中，成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數(shù)的19%)繪制莖葉圖如下.(1)分別計算化學(xué)、生物兩個學(xué)科10次聯(lián)考的百分比排名的平均數(shù)；中位數(shù)；(2)根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計知識，并結(jié)合上面的數(shù)據(jù)，幫助小明作出選擇.并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

設(shè)與的夾角為，計算出、、的值，再利用公式結(jié)合角的取值范圍可求出的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算平面向量的夾角，解題的關(guān)鍵就是計算出、、的值，考查計算能力，屬于中等題.2、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)得出、、、成等差數(shù)列，并將和都用表示，可得出的值．【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列；又，則數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故選D．【點睛】本題考查等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)，再利用片斷和的性質(zhì)時，要注意下標(biāo)之間的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合性質(zhì)進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題．3、C【解析】

由等比中項的定義可得，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，列方程解出和，進而求出.【詳解】因為是與的等比中項，所以，即，整理得，又因為，所以，故，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列求和問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項，等比中項的定義，等差數(shù)列的求和公式，正確應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，所以，所以，故選B.考點：等差數(shù)列通項公式.5、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,即為偶函數(shù).，求得的最小值．【詳解】把函數(shù)向左平移個單位長度后.可得的圖象.再根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對稱,即為偶函數(shù).所以即，當(dāng)時，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

滿足每個選項的條件時能否找到反例推翻結(jié)論即可?！驹斀狻緼：當(dāng)m,n中至少有一條垂直交線才滿足。B：很明顯m,n還可以異面直線不平行。C:只有當(dāng)m垂直交線時，否則不成立。故選：D【點睛】此題考查直線和平面位置關(guān)系，一般通過反例排除法即可解決，屬于較易題目。7、C【解析】

利用分類原理，選出的3人中，有1男2女，有2男1女，兩種情況相加得到選法總數(shù).【詳解】（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；所以選法總數(shù)為，故選C.【點睛】分類加法原理和分步乘法原理進行計算時，要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，不出現(xiàn)重復(fù)或遺漏情況，本題若是按先選1個男的，再選1個女的，最后從剩下的5人中選1人，則會出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象.8、C【解析】

先由等式，得出，并計算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可計算出的值．【詳解】由于是圓上的三點，，則，，故選C．【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計算，解題的關(guān)鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計算能力，屬于中等題．9、B【解析】

根據(jù)求出的范圍，再由區(qū)間長度比即可得出結(jié)果.【詳解】區(qū)間的長度為；由，解得，即，區(qū)間長度為，事件“”發(fā)生的概率是.故選B.【點睛】本題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型，熟記概率計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)運算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項和公式進行求和.【詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【點睛】本題考查新定義問題，本質(zhì)是考查對數(shù)的運算，等比數(shù)列前項和公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由題得圓心在直線上，解方程即得解.【詳解】由題得圓心（1，a）在直線上，所以.故答案為1【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

取中點為，中點為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長關(guān)系得到余弦值.【詳解】由題意，取中點，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結(jié)合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【點睛】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.13、【解析】

設(shè)球的半徑為r,則,，，所以，故答案為.考點：圓柱，圓錐，球的體積公式.點評：圓柱，圓錐，球的體積公式分別為.14、5【解析】

利用求得，進而求得的值.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時上式也滿足，故的通項公式為，故.【點睛】本小題主要考查已知求，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、①④⑤【解析】為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設(shè)圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l(即AC1)的垂面．對比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBlDl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內(nèi)點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．16、【解析】

令，解得的范圍即為所求的單調(diào)區(qū)間.【詳解】令，，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來進行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再結(jié)合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及兩角和的余弦可得，然后結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，所以；（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因為，所以，即，即，根據(jù)三角函數(shù)有界性得，及，解得，所以角D的最大值為.【點睛】本題考查了正弦定理，重點考查了三角函數(shù)的有界性，屬中檔題.18、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)向量坐標(biāo)運算公式計算；（2）求出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線與坐標(biāo)的關(guān)系列方程解出k;試題解析：（1）（2），∵與共線，∴∴19、（1）或；（2）；【解析】

（1）由，得，解方程即可.（2）由已知得到，解得即可.【詳解】（1），，或，或.（2），，解得.【點睛】本題考查了指數(shù)型、對數(shù)型方程，考查了指數(shù)、對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.20、【解析】

由為函數(shù)關(guān)于的一個“生長點”，得到由誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】解：為函數(shù)關(guān)于的一個“生長點”，，故答案為：.【點睛】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值，及函數(shù)的創(chuàng)新題型，屬于中檔題.21、（1）化學(xué)平均數(shù)30.2；中位數(shù)26；生物平均數(shù)29.6；中位數(shù)31；（2）見解析【解析】

（1）直接利用平均數(shù)的公式和中位數(shù)的定義計算化