河南省十所重點名校2025屆數學高一下期末質量檢測模擬試題含解析

河南省十所重點名校2025屆數學高一下期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，將邊長為的正方形沿對角線折成大小等于的二面角分別為的中點，若，則線段長度的取值范圍為（）A． B．C． D．2．若，則（）A． B． C．2 D．3．高一數學興趣小組共有5人，編號為.若從中任選3人參加數學競賽，則選出的參賽選手的編號相連的概率為（）A． B． C． D．4．在△ABC中，點D在邊BC上，若，則A．+ B．+ C．+ D．+5．已知數列滿足：，，則該數列中滿足的項共有（）項A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序語句，輸出的結果為()A． B．C． D．7．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，b＝c，且滿足＝，若點O是△ABC外一點，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()A． B． C．3 D．9．已知函數，若方程有5個解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在中，，則是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，向量，，若，則__________．12．在平面直角坐標系中，點在第二象限，，，則向量的坐標為________.13．和的等差中項為__________．14．在等比數列中，，，則_____．15．在《九章算術·商功》中將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點為______.16．設變量x、y滿足約束條件，則目標函數的最大值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數是指數函數．(1)求的表達式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明(3)解不等式：．18．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化簡f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．19．在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．如圖所示，在平面直角坐標系中，角和的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于點、兩點，點的縱坐標為.（Ⅰ)求的值；（Ⅱ)若，求的值.21．若是各項均為正數的數列的前項和，且．（1）求，的值；（2）設，求數列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

連接和，由二面角的定義得出，由結合為的中點，可知是的角平分線且，由的范圍可得出的范圍，于是得出的取值范圍．【詳解】連接，可得，即有為二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，則，故答案為，故選A．【點睛】本題考查線段長度的取值范圍，考查二面角的定義以及銳角三角函數的定義，解題的關鍵在于充分研究圖形的幾何特征，將所求線段與角建立關系，借助三角函數來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．2、D【解析】

將轉化為，結合二倍角的正切公式即可求出.【詳解】故選D【點睛】本題主要考查了二倍角的正切公式，關鍵是將轉化為，利用二倍角的正切公式求出，屬于基礎題.3、A【解析】

先考慮從個人中選取個人參加數學競賽的基本事件總數，再分析選出的參賽選手的編號相連的事件數，根據古典概型的概率計算得到結果.【詳解】因為從個人中選取個人參加數學競賽的基本事件有：，共種，又因為選出的參賽選手的編號相連的事件有：，共種，所以目標事件的概率為.故選：A.【點睛】本題考查古典概型的簡單應用，難度較易.求解古典概型問題的常規(guī)思路：先計算出基本事件的總數，然后計算出目標事件的個數，目標事件的個數比上基本事件的總數即可計算出對應的概率.4、C【解析】

根據向量減法和用表示，再根據向量加法用表示.【詳解】如圖：因為，所以，故選C.【點睛】本題考查向量幾何運算的加減法，結合圖形求解.5、C【解析】

利用累加法求出數列的通項公式，然后解不等式，得出符合條件的正整數的個數，即可得出結論.【詳解】，，，解不等式，即，即，，則或.故選：C.【點睛】本題考查了數列不等式的求解，同時也涉及了利用累加法求數列通項，解題的關鍵就是求出數列的通項，考查運算求解能力，屬于中等題.6、B【解析】

通過解讀算法框圖功能發(fā)現是為了求數列的和，采用裂項相消法即可得到答案.【詳解】由已知中的程序語句可知:該程序的功能是求的值，輸出的結果為，故選B.【點睛】本題主要考查算法框圖基本功能，裂項相消法求和，意在考查學生的分析能力和計算能力.7、D【解析】

利用夾角公式計算出兩個向量夾角的余弦值，進而求得兩個向量的夾角.【詳解】設兩個向量的夾角為，則，故.故選：D.【點睛】本小題主要考查兩個向量夾角的計算，考查向量數量積和模的坐標表示，屬于基礎題.8、A【解析】

根據正弦和角公式化簡得是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成的三角函數，利用三角函數求得最值.【詳解】由已知得：即所以即又因為所以所以又因為所以是等邊三角形.所以在中，由余弦定理得且因為平面四邊形OACB面積為當時，有最大值，此時平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【點睛】本題關鍵在于把所求面積表示成角的三角函數，屬于難度題.9、D【解析】

利用因式分解法，求出方程的解，結合函數的性質，根據題意可以求出的取值范圍.【詳解】，，或，由題意可知：，由題可知：當時，有2個解且有2個解且，當時，，因為，所以函數是偶函數，當時，函數是減函數，故有，函數是偶函數，所以圖象關于縱軸對稱，即當時有，，所以，綜上所述；的取值范圍是，故本題選D.【點睛】本題考查了已知方程解的情況求參數取值問題，正確分析函數的性質，是解題的關鍵.10、D【解析】

先由可得，然后利用與三角函數的和差公式可推出，從而得到是直角三角形【詳解】因為，所以所以因為所以即所以所以因為，所以因為，所以，即是直角三角形故選：D【點睛】要判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要有以下兩條途徑：①角化邊：把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得到邊的對應關系，從而判斷三角形形狀，②邊化角：把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】從題設可得，即，應填答案．12、【解析】

由三角函數的定義求出點的坐標，然后求向量的坐標.【詳解】設點，由三角函數的定義有，得，，得，所以，所以故答案為：【點睛】本題考查三角函數的定義的應用和已知點的坐標求向量坐標，屬于基礎題.13、【解析】

設和的等差中項為，利用等差中項公式可得出的值.【詳解】設和的等差中項為，由等差中項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查等差中項的求解，解題時要充分利用等差中項公式來求解，考查計算能力，屬于基礎題.14、1【解析】

由等比數列的性質可得，結合通項公式可得公比q,從而可得首項.【詳解】根據題意，等比數列中，其公比為，，則，解可得，又由，則有，則，則；故答案為：1．【點睛】本題考查等比數列的通項公式以及等比數列性質（其中m+n=p+q）的應用，也可以利用等比數列的基本量來解決.15、【解析】

根據，可得平面，進而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點.【詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點為.故答案為：.【點睛】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應用問題，屬于基礎題.16、3【解析】

可通過限定條件作出對應的平面區(qū)域圖，再根據目標函數特點進行求值【詳解】可行域如圖所示;則可化為,由圖象可知,當過點時，有最大值，則其最大值為:故答案為:3.【點睛】線性規(guī)劃問題關鍵是能正確畫出可行域，目標函數可由幾何意義確定具體含義（最值或斜率）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見證明；（3）【解析】

(1)根據指數函數定義得到，檢驗得到答案.(2)，判斷關系得到答案.(3)利用函數的單調性得到答案.【詳解】解：（1）∵函數是指數函數，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函數；（3）不等式：，以2為底單調遞增，即，∴，解集為．【點睛】本題考查了函數的定義，函數的奇偶性，解不等式，意在考查學生的計算能力.18、(1)(2)【解析】

（1）直接利用三角函數的誘導公式，化簡運算，即可求解；（2）由，得，進一步求得，得到sin2與cos2，再由sin（2+）展開兩角和的正弦求解．【詳解】（1）由題意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡求值，及誘導公式及兩角差的正弦公式的應用，其中解答中熟記三家函數的恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．19、(1)證明見解析；(2)【解析】

(1)取中點,連接,可得四邊形為平行四邊形.再證明平面得到,進而得到即可.(2)利用等體積法,求出三棱錐的體積,進而求得到平面的距離,再得出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】(1)取中點,連接,則.又,故.故四邊形為平行四邊形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因為底面,故.又,,.故.設到平面的距離為,則,解得.故直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題主要考查了線線垂直的證明以及利用等體積法求點到面的距離以及線面角的求解,需要根據題意利用線面線線垂直的判定與性質證明,同時也需要在等體積法時求解對應的面的面積等.屬于中檔題.20、（Ⅰ)；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）由題意知的值，可求得和的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由題意知的值，由的值求得的值．【詳解】（Ⅰ)由題意可得，，∴（Ⅱ)因為即，∵，∴，∴∴【