遼寧省錦州市新海新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

遼寧省錦州市新海新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程，則滿足（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)≥0 D．全體實(shí)數(shù)2．下列關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．3．在以下四個(gè)圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)E為菱形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并延A→B→C→D的路徑移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為x，△ADE的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．5．下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四邊形 D．正方形6．為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸和軸上，的內(nèi)切圓的半徑長為（）A． B． C． D．7．一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形按如圖方式擺放，它們都有一邊在直線l上，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)，則的度數(shù)是A． B． C． D．8．已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=40°，則∠F的度數(shù)為（）A．40 B．60 C．80 D．1009．方程（x+1）2=4的解是（）A．x1=﹣3，x2=3 B．x1=﹣3，x2=1 C．x1=﹣1，x2=1 D．x1=1，x2=310．若雙曲線的圖象的一支位于第三象限，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤111．一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)，其中ab＜0，a、b為常數(shù)，它們在同一坐標(biāo)系中的圖象可以是（）A． B． C． D．12．拋物線y=2x2，y=﹣2x2，y=2x2+1共有的性質(zhì)是（）A．開口向上 B．對稱軸都是y軸C．都有最高點(diǎn) D．頂點(diǎn)都是原點(diǎn)二、填空題（每題4分，共24分）13．請寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，－1）的拋物線的表達(dá)式：______14．方程x2＝1的解是_____．15．直線y＝2被拋物線y＝x2﹣3x+2截得的線段長為_____．16．若二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n=______．17．一天晚上，小偉幫助媽媽清洗兩個(gè)只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉只好把杯蓋和茶杯隨機(jī)地搭配在一起，則顏色搭配正確的概率是_____．18．已知甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均數(shù)相等，若甲種棉花的纖維長度的方差，乙種棉花的纖維長度的方差，則甲、乙兩種棉花質(zhì)量較好的是▲．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，已知A(﹣4，0)，B(0，4)，現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心，相似比為9：4，將OB向右側(cè)放大，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為C．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的解析式：（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以每秒2個(gè)單位長度的速度勻速沿著x軸向右運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間用t秒表示．△BCP的面積用S表示，請你直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系．20．（8分）解方程:;二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，求二次函數(shù)的解析式．21．（8分）如圖，有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份，分別標(biāo)上三個(gè)數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份，分別標(biāo)上四個(gè)數(shù)字.有人為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲規(guī)則；自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A與B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字，將指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字相加，如果和是6，那么甲獲勝，否則為乙獲勝.你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則是否公平？如果公平，請說明理由；如果不公平，怎樣修改規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平？22．（10分）為了加強(qiáng)學(xué)校的體育活動(dòng)，某學(xué)校計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種籃球，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果購進(jìn)甲籃球2個(gè)和乙籃球3個(gè)共需270元；購進(jìn)甲籃球3個(gè)和乙籃球2個(gè)共需230元．（1）求甲、乙兩種籃球每個(gè)的售價(jià)分別是多少元？（2）為滿足開展體育活動(dòng)的需求，學(xué)校計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種籃球共100個(gè)，由于購貨量大，和商場協(xié)商，商場決定甲籃球以九折出售，乙籃球以八折出售，學(xué)校要求甲種籃球的數(shù)量不少于乙種籃球數(shù)量的4倍，甲種籃球的數(shù)量不多于90個(gè)，請你求出學(xué)?；ㄗ钌馘X的進(jìn)貨方案；（3）學(xué)校又拿出省下的290元購買跳繩和毽子兩種體育器材，跳繩10元一根，毽子5元一個(gè)，在把錢用盡的情況下，有多少種進(jìn)貨方案？23．（10分）（如圖1，若拋物線l1的頂點(diǎn)A在拋物線l2上，拋物線l2的頂點(diǎn)B也在拋物線l1上（點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合）．我們稱拋物線l1，l2互為“友好”拋物線，一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．（1）如圖2，拋物線l3：與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）求以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的l3的“友好”拋物線l4的表達(dá)式，并指出l3與l4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；（3）若拋物線y＝a1(x－m)2＋n的任意一條“友好”拋物線的表達(dá)式為y＝a2(x－h(huán))2＋k，寫出a1與a2的關(guān)系式，并說明理由．24．（10分）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D(2，3)在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線AD上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).（1）求該拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)F到直線AD距離最大時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，n)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形.①求n的值；②若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo).25．（12分）為進(jìn)一步深化基教育課程改革，構(gòu)建符合素質(zhì)教育要求的學(xué)校課程體系，某學(xué)校自主開發(fā)了A書法、B閱讀，C足球，D器樂四門校本選修課程供學(xué)生選擇，每門課程被選到的機(jī)會(huì)均等．（1）學(xué)生小紅計(jì)劃選修兩門課程，請寫出所有可能的選法；（2）若學(xué)生小明和小剛各計(jì)劃送修一門課程，則他們兩人恰好選修同一門課程的概率為多少？26．在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且是和的比例中項(xiàng)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段之間，聯(lián)結(jié)，且與互相垂直，求的長；（3）聯(lián)結(jié)，如果與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)所組成的三角形相似，求的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解析】根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為1．【詳解】由于關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝1是一元二次方程，所以二次項(xiàng)系數(shù)不為零，即a≠1．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程滿足的條件即可正確解題.2、D【解析】利用一元二次方程的根的判別式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】一元二次方程的根的判別式為，逐項(xiàng)判斷如下：A、，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符題意B、，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意C、，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符題意D、，方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，對于一般形式有：（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.3、B【分析】旋轉(zhuǎn)180后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．4、D【解析】點(diǎn)E沿A→B運(yùn)動(dòng)，△ADE的面積逐漸變大；點(diǎn)E沿B→C移動(dòng)，△ADE的面積不變；點(diǎn)E沿C→D的路徑移動(dòng)，△ADE的面積逐漸減?。蔬xD.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象.分三段依次考慮△ADE的面積變化情況是解題的關(guān)鍵.5、D【分析】在一個(gè)平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形.【詳解】根據(jù)定義可得A、B為軸對稱圖形；C為中心對稱圖形；D既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故選：D.考點(diǎn)：軸對稱圖形與中心對稱圖形6、A【分析】先運(yùn)用勾股定理求得的長，證得四邊形為正方形，設(shè)半徑為，利用切線長定理構(gòu)建方程即可求解.【詳解】如圖，過內(nèi)心C作CD⊥AB、CE⊥AO、CF⊥BO，垂足分別為D、E、F，∵，∴，，∵CE⊥AO、CF⊥BO，∴四邊形為正方形，設(shè)半徑為，則∵AB、AO、BO都是的切線，∴，，∴，即：，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，證得四邊形為正方形以及利用切線長定理構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.7、B【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解決問題；【詳解】由題意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，∠OEF=72°，∠OFE=60°，∴∠EOF=180°?72°?60°=48°，∴∠AOB=360°?108°?48°?120°=84°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.8、C【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C，然后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠C的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，∴∠F=80°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)角相等．9、B【解析】利用直接開平方的方法解一元二次方程得出答案．【詳解】（x＋1）2＝4則x＋1＝±2，解得：x1＝?1-2＝-3，x2＝?1+2＝1．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確開平方是解題關(guān)鍵．10、B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵雙曲線的圖象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)y（k≠0），當(dāng)k＞0時(shí)，圖象在第一、三象限，且在每一個(gè)象限y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)圖象在第二、四象限，且在每一個(gè)象限y隨x的增大而增大，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11、C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的位置確定a、b的大小，看是否符合ab<0，計(jì)算a-b確定符號，確定雙曲線的位置．【詳解】A.由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab<0，∴a?b>0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，所以此選項(xiàng)不正確；B.由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，滿足ab<0，∴a?b<0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過二、四象限，所以此選項(xiàng)不正確；C.由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab<0，∴a?b>0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，所以此選項(xiàng)正確；D.由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab>0，與已知相矛盾所以此選項(xiàng)不正確；故選C.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵在于確定a、b的大小12、B【詳解】（1）y=2x2開口向上，對稱軸為y軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)；（2）y=﹣2x2開口向下，對稱軸為y軸，有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)；（3）y=2x2+1開口向上，對稱軸為y軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)為（0，1）．故選B．二、填空題（每題4分，共24分）13、y=x2-1（答案不唯一）．【解析】試題分析：拋物線開口向上，二次項(xiàng)系數(shù)大于0，然后寫出即可．拋物線的解析式為y=x2﹣1．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．14、±1【解析】方程利用平方根定義開方求出解即可.【詳解】∵x2＝1∴x＝±1．【點(diǎn)睛】本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法.15、1【分析】求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得截得的線段的長即可．【詳解】解：令y＝2得：x2﹣1x+2＝2，解得：x＝0或x＝1，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）和（1，2），所以截得的線段長為1﹣0＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得直線與拋物線的交點(diǎn)，難度不大．16、1．【解析】】解：y=x2﹣1x+n中，a=1，b=﹣1，c=n，b2﹣1ac=16﹣1n=0，解得n=1．故答案為1．17、【解析】分析：根據(jù)概率的計(jì)算公式．顏色搭配總共有4種可能，分別列出搭配正確和搭配錯(cuò)誤的可能，進(jìn)而求出各自的概率即可．詳解：用A和a分別表示第一個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；用B和b分別表示第二個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯、經(jīng)過搭配所能產(chǎn)生的結(jié)果如下：Aa、Ab、Ba、Bb．所以顏色搭配正確的概率是．故答案為：．點(diǎn)睛：此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．18、甲．【解析】方差的運(yùn)用．【分析】方差就是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┰跇颖救萘肯嗤那闆r下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定．由于，因此，甲、乙兩種棉花質(zhì)量較好的是甲．三、解答題（共78分）19、（1）C點(diǎn)坐標(biāo)為，y＝x+1；（2）S＝5t（t＞0）【分析】（1）過C點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質(zhì)可知：△ABO∽△ACD，且．由已知A(﹣1，0)，B(0，1)，可知：AO=BO=1．根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；（2）根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）過C點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為D．由位似圖形性質(zhì)可知：△ABO∽△ACD，∴．由已知A(﹣1，0)，B(0，1)，可知：AO=BO=1，∴AD=CD=9，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(5，9)．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線BC的解析是為：y=x+1；（2）由題意得：∴S=5t(t＞0)．【點(diǎn)睛】本題把一次函數(shù)與位似圖形相結(jié)合，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力，是一道綜合性較好的題目．20、；【分析】（1）根據(jù)題意利用因式分解法進(jìn)行一元二次方程求解；（2）根據(jù)題意確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出頂點(diǎn)形式，將（4，-3）代入即可確定出解析式．【詳解】解:;解:由題意可知此拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)其解析式為，將點(diǎn)代入得:，解得:，此拋物線解析式為:.【點(diǎn)睛】考查一元二次方程求解以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握一元二次方程的解法和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．21、不公平，理由詳見解析；規(guī)則改為：和是6或7，甲勝；否則乙勝．【分析】根據(jù)題意可知游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．【詳解】解：不公平，游戲結(jié)果可能性列表如下：和為，∴甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，∴甲、乙獲勝的概率不相等，∴游戲不公平．規(guī)則改為：和是6或7，甲勝；否則乙勝．（和為奇數(shù)，甲勝；和為偶數(shù)，乙勝；或和小于7，甲勝；和大于等于7，乙勝．答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之．22、（1）甲種籃球每個(gè)的售價(jià)為30元，乙種籃球每個(gè)的售價(jià)為70元；（2）花最少錢的進(jìn)貨方案為購進(jìn)甲種籃球90個(gè)，乙種籃球10個(gè)；（3）有28種進(jìn)貨方案．【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題；（2）設(shè)學(xué)校計(jì)劃購進(jìn)甲種籃球m個(gè)，則學(xué)校計(jì)劃購進(jìn)乙種籃球（100?m）個(gè)；根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論；（3）設(shè)購買跳繩a根，毽子b個(gè)，根據(jù)題意得方程10a＋5b＝290，求得b＝58?2a＞0，解不等式即可得到結(jié)論．．【詳解】（1）設(shè)甲種籃球每個(gè)的售價(jià)為元，乙種籃球每個(gè)的售價(jià)為元．依題意，得解得答：甲種籃球每個(gè)的售價(jià)為30元，乙種籃球每個(gè)的售價(jià)為70元．（2）設(shè)學(xué)校購進(jìn)甲種籃球個(gè)，則購進(jìn)乙種籃球個(gè)．由已知，得.解得．又，∴．設(shè)購進(jìn)甲、乙兩種籃球?qū)W?；ǖ腻X為元，則，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，花最少錢為2990元．花最少錢的進(jìn)貨方案為購進(jìn)甲種籃球90個(gè)，乙種籃球10個(gè)．（3）設(shè)購買跳繩根，毽子個(gè)，則，．解得．∵為正整數(shù)，∴有28種進(jìn)貨方案．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用不等式的性質(zhì)解答問題．23、（1）；（2）的函數(shù)表達(dá)式為，；（3），理由詳見解析【分析】（1）設(shè)x=1，求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線L3：得到拋物線的對稱軸，由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）由（1）可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進(jìn)而可求出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據(jù)：拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上，可以列出兩個(gè)方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=1．可得．【詳解】解：（1）∵拋物線l3：，

∴頂點(diǎn)為（2，-1），對稱軸為x=2，

設(shè)x=1，則y=1，

∴C（1，1），

∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，1）；（2）解：設(shè)的函數(shù)表達(dá)式為由“友好”拋物線的定義，過點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式為與中同時(shí)隨增大而增大的自變量的取值范圍是（3）理由如下：∵拋物線與拋物線互為“友好”拋物線，①+②得：【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的對稱變換、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及新定義的問題，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，特別是（3）問根據(jù)已知條件得出方程組求解，有一定難度．24、（1）y=－x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）作FH⊥AD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當(dāng)S△FAD最大時(shí)，點(diǎn)F到直線AD距離FH最大，求出直線AD的解析式，設(shè)F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分AP為對角線和AM為對角線兩種情況求解即可.【詳解】解：（1）∵拋物線x軸相交于點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），∴設(shè)該拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+1)(x－3)，∵點(diǎn)D（2，3）在拋物線上，∴3=a×(2+1)×(2－3)，∴3=－3a，∴a=－1，∴y=－(x+1)(x－3)，即y=－x2+2x+3；（2）如圖1，作FH⊥AD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當(dāng)S△FAD最大時(shí)，點(diǎn)F到直線AD距離FH最大，設(shè)直線AD為y=kx+b，∵A(－1，0)，D(2，3)，∴，∴，∴直線AD為y=x+1.設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，則F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，∵S△FAD=S△AMF+S△DMF=MF(Dx-Ax)=×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)=－(t－)2+，∴即當(dāng)t=時(shí)，S△FAD最大，∵當(dāng)x=時(shí)，y=－()2+2×+3=，∴F(，)；（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴頂點(diǎn)M(1，4).當(dāng)AP為對角線時(shí)，如圖2，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)R，作PS⊥MR，∵∠PMS+∠AMR=90°，∠MAR+∠AMR=90°，∴∠PMA=∠MAR，∵∠PSM=∠ARM=90°，∴△PMS∽△MAR，∴，∴，∴MS=，∴OP=RS=4+=，∴n=；延長QA交y軸于T，∵PM∥AQ，∴∠MPO=∠OAM，∵∠MPS+∠MPO=90°，∠OAT+∠OAM=90°，∴∠MPS=∠OAT.又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，∴△PSM≌△AOT，∴AT=PM=AQ，OT=MS=.∵AM⊥AQ，∴T和Q關(guān)于AM對稱，∴T(0，-)；當(dāng)AQ為對角線時(shí)，如圖3，過A作SR⊥x軸，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，∵∠RAM+∠SAP=90°，∠SAP+∠SPA=90°，∴∠RAM=∠SPA，∵∠PSA=∠ARM=90°，∴△PSA∽△ARM