專題01 二次根式全章復(fù)習(xí)攻略（3個概念4個性質(zhì)1個運(yùn)算2個技巧專練）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點大串講（人教版）

專題01二次根式全章復(fù)習(xí)攻略（3個概念4個性質(zhì)1個運(yùn)算2個技巧專練）3個概念【考查題型一】二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.【例1】．（22-23八年級下·新疆克孜勒蘇·期中）下列各式中，不是二次根式的是()A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二次根式的定義，根據(jù)定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．，是二次根式，故本選項不符合題意；B．被開方數(shù)為無意義，不是二次根式，故本選項符合題意；C．由于，是二次根式，故本選項不符合題意；D．，是二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-1】．（22-23八年級下·新疆烏魯木齊·期中）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】且/且【分析】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，能根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出和是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出且，再求出答案即可．【詳解】解：代數(shù)式有意義，且，解得：且，實數(shù)x的取值范圍是且．故答案為：且．【變式1-2】．（22-23八年級上·江蘇無錫·期中）若都是實數(shù)，且，的值為．【答案】4【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，求代數(shù)式的值，由題意得：，，從而得出代入式子求得，即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，，解得：，將代入得：，，故答案為：．【變式1-3】．（23-24八年級上·廣東揭陽·期中）已知，求的值．【答案】13【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、化簡絕對值、二次根式的性質(zhì)等知識，熟練掌握相知識是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，進(jìn)而化簡絕對值，可得，然后求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得，解得，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗為方程的解，所以的值為13．【考查題型二】代數(shù)式【例2】．（23-24八年級下·山東煙臺·期中）已知，．(1)分別求，的值；(2)利用（1）的結(jié)果求下列代數(shù)式的值：①；②．【答案】(1)，(2)①；②【分析】本題考查的是二次根式的化簡求值，平方差公式的運(yùn)用，二次根式的混合運(yùn)算，熟知二次根式的加減法則是解題的關(guān)鍵．（1）直接把x，y的值代入進(jìn)行計算即可；（2）把（1）中的，的值代入進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）知，，①；②．【變式2-1】．（23-24八年級下·廣西玉林·期中）已知，則代數(shù)式的值是．【答案】/【分析】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．把的值代入原式，根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【變式2-2】．（23-24八年級下·四川綿陽·期中）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則代數(shù)式．【答案】/【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算及代數(shù)式化簡求值．先由得到，進(jìn)而得出a和b，代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，∴，，∴，故答案為：．【變式2-3】．（23-24八年級下·湖南永州·期中）閱讀下列一段文字，回答問題．【材料閱讀】平面內(nèi)兩點，則由勾股定理可得，這兩點間的距離．例如．如圖1，，則．

【直接應(yīng)用】(1)已知，求P、Q兩點間的距離；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中的兩點，P為x軸上任一點，求的最小值；(3)利用上述兩點間的距離公式，求代數(shù)式的最小值是多少？【答案】(1)(2)的最小值為(3)【分析】本題三角形綜合題，考查了最短路徑，兩點間的距離公式，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．（1）由兩點間的距離公式可求出答案；（2）利用軸對稱求最短路線方法得出P點位置，進(jìn)而求出的最小值．（3）把看成點到兩點和的距離之和，求出兩點和的距離便是的最小值．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）如圖，作點B關(guān)于x軸對稱的點C，連接，則，由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∴當(dāng)A、P、C三點共線時，最小，即此時最小，最小值為的長，∵，∴，∴的最小值為；（3）∵把看成點到兩點和的距離之和，∴兩點和的距離便是的最小值，∴最小值為：．【考查題型三】最簡二次根式最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．【例3】（22-23八年級下·四川瀘州·期末）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了最簡二次根式的概念．最簡二次根式應(yīng)該根號里沒分母（或小數(shù)），分母里沒根式．被開方數(shù)是多項式時，還需將被開方數(shù)進(jìn)行因式分解，然后再觀察判斷．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；B、，不能化簡，是最簡二次根式，本選項符合題意；C、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；D、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；故選：B．【變式3-1】．（22-23八年級下·湖北咸寧·期末）當(dāng)時，和兩個最簡二次根式是同類二次根式．【答案】3【分析】根據(jù)同類二次根式的定義列一元一次方程求解即可．【詳解】解：∵和兩個最簡二次根式是同類二次根式，∴，解得：．故答案為3．【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，根據(jù)同類二次根式的定義列出一元一次方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】．（22-23八年級上·河北滄州·期末）若與最簡二次根式是同類二次根式，則.【答案】4【分析】此題考查了同類二次根式的概念，解答本題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的被開方數(shù)相同這個知識點．根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，解出即可得出答案．【詳解】解：∵，又∵是最簡二次根式，∴根據(jù)同類二次根式的性質(zhì)有：，解得：，故答案為：4．【變式3-3】．（23-24八年級上·四川成都·期末）下列二次根式，，，，中，是最簡二次根式的為．【答案】，【分析】本題考查最簡二次根式，掌握化簡二次根式的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行解題即可．【詳解】解：，，，故這些二次根式中是最簡二次根式的為：，．故答案為：，4個性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點詮釋：（1）一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時，=.【考查題型四】【例4】．化簡(－3eq\r(7))2的結(jié)果為()A．21 B．－21C．147 D．63【變式4-1】．化簡：(eq\r(3))2＝；(eq\r(\f(1,2)))2＝.【答案】3，eq\f(1,2)【變式4-2】.計算：(1)(eq\r(\f(3,5)))2；(2)(－eq\r(7))2；(3)(4eq\r(3))2.【解析】(1)原式＝eq\f(3,5)；(2)原式＝7；(3)原式＝42·(eq\r(3))2＝16×3＝48.【變式4-3】．計算下列各題：(1)2(eq\r(5))2;(2)(2eq\r(5))2；(3)(－2eq\r(\f(2,3)))2;(4)(eq\r(a2＋1))2.【解析】（1）原式＝10;（2）原式＝20；（3）原式＝eq\f(8,3)；（4）原式＝a2＋1.【考查題型五】eq\r(a2)＝a(a≥0)【例5】計算：(1)eq\r(\f(49,36))；(2)eq\r(－\f(4,5)2)；(3)eq\r(1－\r(3)2).【解析】(1)原式＝eq\r(\f(7,6)2)＝eq\f(7,6)；(2)原式＝eq\r(\f(16,25))＝eq\r(\f(4,5)2)＝eq\f(4,5)；(3)原式＝eq\r(\r(3)－12)＝eq\r(3)－1.【考查題型六】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)【例6】．（21-22八年級下·廣西梧州·期中）計算正確的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：故選：C【點睛】本題考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】．（22-23八年級下·廣西南寧·期中）計算的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的乘法法則．熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）化簡：．【答案】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式6-3】．（23-24八年級上·廣東茂名·期中）計算：；【答案】【分析】先計算乘法，再化簡，即可求解；【詳解】解：【考查題型七】商的算術(shù)平方根的性質(zhì)【例7】．（23-24八年級下·吉林·階段練習(xí)）化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握二次根式的除法法則．根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行運(yùn)算即可得解．【詳解】解：原式=，故答案為．【變式7-1】．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：．【答案】【分析】本題考查的知識點是二次根式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式除法法則．直接進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算即可，然后再化簡．【詳解】．故答案為：．【變式7-2】．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）化簡：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式乘的除法及二次根式的化簡．（1）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計算得出答案；（3）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【變式7-3】．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法法則逐個計算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）．1個運(yùn)算【考查題型八】二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【例8】．（22-23八年級下·云南昆明·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．（1）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進(jìn)行計算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計算即可；（2）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【變式8-1】．（22-23八年級下·云南昆明·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查算術(shù)平方根、立方根，平方差公式以及實數(shù)的運(yùn)算，理解算術(shù)平方根、立方根的定義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征以及實數(shù)的運(yùn)算法則是正確解答的前提．（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義以及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)平方差公式，二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式8-2】．（22-23八年級下·四川廣安·期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：（1）根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：【變式8-3】．（22-23八年級下·四川南充·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、立方根、完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算方法是關(guān)鍵．（1）先化簡，再計算減法即可；（2）先利用完全平方公式展開，再計算加減即可．【詳解】（1）；（2）．【考查題型九】倒數(shù)法比較大小【例9】．（23-24八年級上·四川宜賓·期中）觀察下列一組等式，然后解答后面的問題．，，，，……(1)觀察上面的規(guī)律，計算下面的式子：(2)利用上面的規(guī)律，試比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】本題考查了二次根式的分母有理化，熟練掌握公式，正確進(jìn)行分母有理化是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)給出式子的規(guī)律，進(jìn)行分母有理化，后計算即可．（2）根據(jù)給出式子的規(guī)律，進(jìn)行分母有理化，后計算即可．【詳解】（1）∵，，，，∴．（2）∵,,∴,,∵,∴,∴．【變式9-1】．（22-23八年級下·湖南湘西·期中）已知：分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，(1)求：的值；(2)比較與的大小．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可得出、的值；（2）利用倒數(shù)法比較即可．【詳解】（1）解：，，，的整數(shù)部分，小數(shù)部分，∴，；（2）；，，．．【點睛】本題考查了無理數(shù)的大小估算，含有減號的無理數(shù)大小比較，倒數(shù)法比較能轉(zhuǎn)化成加法再比較更容易一些．【變式9-2】．（21-22八年級下·江西宜春·期中）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們你這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如，與，與，與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．例如：(1)化簡：_______；________；(2)比較與的大小，并說明理由；(3)解方程：【答案】(1)；(2)(3)【分析】(1)直接進(jìn)行分母有理化即可；(2)通過變形得到，，比較分母的大小即可求出原來兩個式子的大小關(guān)系；(3)設(shè)，再與原方程相乘得到，進(jìn)而求出；再將與原方程相加得到，求出，最后檢驗即可．【詳解】（1）解：；．（2）解：∵，，又∵，∴，即：．（3）解：設(shè)，與原方程相乘得：，整理得到：，解之得，∴，與原方程相加得：，，即：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，∴方程的根是11．【點睛】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算，二次根式的分母有理化計算，熟練掌握運(yùn)算法則，計算過程中細(xì)心即可．【變式9-3】．（21-22八年級上·山東濟(jì)南·期中）觀察下列一組等式，解答后面的問題：(1)化簡：______，______（n為正整數(shù)）(2)比較大?。篲_____（填“”，“”或“”）(3)根據(jù)上面的結(jié)論，找規(guī)律，請直接寫出下列算式的結(jié)果：______【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，分子分母分別乘以，，即可求解；（2）先求出和，即可求解；（3）根據(jù)題意，原式可變形為，即可求解．【詳解】（1）解：；，故答案是：，；（2）解：∵，，且，∴，∴，∴，故答案是：＜；（3）解：．【點睛】本題主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，比較二次根